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The Lord Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 5 2011, 09:23 PM Publicado: #81
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 374 Registrado: 16-September 06 Desde: New Haven, CT, USA. Miembro Nº: 2.275 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	El 2 no era problema, el 4 si. Efectivamente me salte los que no tiene factores impares jajaja. Saludos,

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 5 2011, 09:43 PM Publicado: #82
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	Ok, voy a validar la cuestion pero medio chambona la solucion. Yo pensaba algo asi Si $TEX: $n=p_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k}$$ y $TEX: $r_i$$ es la cantidad de soluciones a la congruencia $TEX: $x^2\equiv 1 \mod{p_i^{e_i}}$$ . Entonces la congruencia (esto se demuestra en realidad) $TEX: $x^2\equiv 1 \mod n$$ tiene $TEX: $r_1\cdots r_k$$ soluciones de donde (esto es bastante obvio) $TEX: $P_n\equiv -1 \mod n$$ si y solo si $TEX: $r_1\cdots r_k/2$$ es impar. Esto es un boceto nomas. El problema es de un shorlist imo del 2004. Proponga Mensaje modificado por xD13G0x el May 5 2011, 09:46 PM -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

The Lord Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 5 2011, 09:47 PM Publicado: #83
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 374 Registrado: 16-September 06 Desde: New Haven, CT, USA. Miembro Nº: 2.275 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	No tiene nada de chambona, no fui tan preciso con la prueba porque pense que la ibas a entender. Me equivoque. Sea $TEX: $s_1, s_2, s_3, \ldots$$ una secuencia estrictamente creciente de enteros positivos tal que las sub-secuencias $TEX: $s_{s_1}, s_{s_2}, s_{s_3}, \ldots$$ y $TEX: $s_{s_1+1}, s_{s_2+1}, s_{s_3+1}, \ldots$$ son ambas progresiones aritméticas. Demuestre que la secuencia $TEX: $s_1, s_2, s_3, \ldots$$ es una progresión aritmética.

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 6 2011, 02:18 AM Publicado: #84
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	CITA(The Lord @ May 5 2011, 10:47 PM) No tiene nada de chambona, no fui tan preciso con la prueba porque pense que la ibas a entender. Me equivoque. Sea $TEX: $s_1, s_2, s_3, \ldots$$ una secuencia estrictamente creciente de enteros positivos tal que las sub-secuencias $TEX: $s_{s_1}, s_{s_2}, s_{s_3}, \ldots$$ y $TEX: $s_{s_1+1}, s_{s_2+1}, s_{s_3+1}, \ldots$$ son ambas progresiones aritméticas. Demuestre que la secuencia $TEX: $s_1, s_2, s_3, \ldots$$ es una progresión aritmética. Yo pense que sabia una solucion con series de potencias pero parece que me confundi de problema... ahora lo hice y tengo que reconocer que este si me costo. Aqui va la solucion: $TEX: <br />Es calro que $\{s_{s_i}\}_i$ y $\{s_{s_i+1}\}_i$ son p.a. con la misma diferencia que llamamos $d$. Esto es simple, lo dejo al lector y el punto qes que $\{s_i\}_i$ es creciente.<br /><br />Ahora sabemos que $s_{s_i+1}-s_i=a$ para alguna constante $a>0$ y para todo $i$ pues las p.a. $\{s_{s_i}\}_i$ y $\{s_{s_i+1}\}_i$ tienen la misma diferencia. Por otro lado como $\{s_i\}_i$ es creciente sabemos que $s_m-s_n\ge m-n$ para todo $m>n$ (si no es claro, hacer induccion en $m$), y en particular<br />$$<br />d=s_{s_{i+1}}-s_{s_i}\ge s_{i+1}-s_i\ge i+1-i=1<br />$$<br />para todo $i$, asi que $s_{i+1}-s_i$ es acotado por arriba y por abajo por enteros positivos. Pero no olvidemos que los $s_i$ son enteros asi que estas cotas se alcanzan, digamos que $U$, $L$ son respectivamente la menor cota superior y la mayor cota inferior de $s_{i+1}-s_i$, y mas aun, digamos que $U$ se alcanza para $i=u$ y que $L$ se alcanza para $i=\ell$.<br /><br />Queremos mostrar $L=U$ porque esto implica que $s_{i+1}-s_i$ es constante, o sea $\{s_i\}_i$ es p.a.<br /><br />\noindent\textbf{Lema.} \textit{Para $m>n$ se cumple}<br />$$<br />U\ge \frac{s_{m}-s_n}{m-n}\ge L.<br />$$<br />\textit{Mas aun, si ocurre la igualdad con $U$ para ciertos $m>n$ entonces ocurre para cada par $m'>n'$ con $m\ge m'>n'\ge n$, y analogamente para $L$.}<br /><br />\noindent\textbf{Dem.} Esto es verdad para $m=n+1$. Para el caso general, mirar el grafico de $n\mapsto s_n$ y pensar un minuto en las pendientes. $\blacksquare$<br /><br />Ahora, por el lema tenemos<br />$$<br />\frac{s_{s_u+U}-s_{s_u}}{(s_u+U)-s_u}\times U\ge LU<br />$$<br />es decir <br />$$<br />s_{s_u+U}-s_{s_u}\ge LU<br />$$<br />pero no olvidar que $s_{u+1}-s_u=U$ por definicion de $u$, asi que $s_u+U=s_{u+1}$ y obtenemos $d=s_{s_{u+1}}-s_{s_u}=s_{s_u+U}-s_{s_u}$ (reemplazando en el subindice). Por lo tanto las desigualdades anteriores se convierten en<br />$$<br />d\ge LU.<br />$$<br />$ $TEX: <br />Similarmente uno tiene $d=s_{s_{\ell}+L}-s_{s_{\ell}}$ y se demuestra<br />$$<br />UL\ge d.<br />$$<br />Esto se resume en <br />$$<br /> d\ge LU\ge d<br />$$<br />es decir<br />$$<br /> d =LU<br />$$<br />y ademas no olvidar que <br />$$<br />s_{s_u+U}-s_{s_u}=d=s_{s_{\ell}+L}-s_{s_{\ell}}.<br />$$<br /><br />Ahora invocamos la parte "Mas aun..." del lema. Como <br />$$<br />L=\frac{d}{U}=\frac{s_{s_{u}+U}-s_{s_{u}}}{(s_u+U)-s_u}<br />$$<br />obtenemos en particular (por definicion de $a$):<br />$$<br />L=\frac{s_{s_u+1}-s_{s_u}}{(s_u+1)-s_u}=a<br />$$<br />y similarmente<br />$$<br />U=\frac{s_{s_{\ell}+1}-s_{s_{\ell}}}{(s_{\ell}+1)-s_{\ell}}=a<br />$$<br />de donde se obtiene $L=U$. Esto finaliza la demostracion.<br />$ Saludos. -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

The Lord Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 6 2011, 08:31 PM Publicado: #85
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 374 Registrado: 16-September 06 Desde: New Haven, CT, USA. Miembro Nº: 2.275 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Muy bien, linda prueba. Este era un problema de la IMO 2009. Saludos,

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 6 2011, 08:35 PM Publicado: #86
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	Decidir si es verdad o no que la ecuacion $TEX: $x^xy^y=z^z$$ tiene soluciones enteras positivas con x,y,z>1. Saludos. -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

nagernager Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 13 2011, 07:14 PM Publicado: #87
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 192 Registrado: 23-August 10 Miembro Nº: 75.906 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Hay que seguir con la maraton.

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 14 2011, 12:09 AM Publicado: #88
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	CITA(nagernager @ May 13 2011, 08:14 PM) Hay que seguir con la maraton. Asi es. Dare la solucion otro dia porque ahora tengo mucho trabajo, pero este problema se da por NO RESUELTO y les dare el siguiente ahora: C es una circunferencia de radio 1, y AB es un segmento con A,B en la circunferencia tal que el arco AB mide 60°. Sea S la circunferencia de diametro AB y sea P un punto en el arco AB de C. Sea Q el punto medio del arco AB en S, tal que Q es exterior a C. Calcular el minimo de AP+BP+PQ cuando P se mueve en el arco AB de C. Mensaje modificado por Pasten el May 14 2011, 12:11 AM -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 15 2011, 03:24 PM Publicado: #89
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	Veamos si mi generalizacion esta bien. Sea O el centro de C y sea $TEX: $a=AOB/2$$ un angulo menor o igual a 90º. Sea $TEX: $x=POQ$$ . Usando un monton de trigo. $TEX: $PA+PB=\sin(\frac{a}{2}+\frac{x}{2})+\sin(\frac{a}{2}-\frac{x}{2})=2\cos \frac{x}{2}\sin \frac{a}{2}=2\sqrt{(\frac{\cos x+1}{2})(\frac{1-\cos a}{2})}=\sqrt{(\cos x+1)(1-\cos a)}$$ y que $TEX: $PQ=\sqrt{1+(\cos a+\sin a)^2-2(\cos a+\sin a)\cos x}=\sqrt{2+2\cos a\sin a-2(\cos a+\sin a)\cos x}$$ . Queremos ver cuando se alcanza el minimo de $TEX: $PA+PB+PQ$$ , pero vamos a elevar al cuadrado y ver el minimo de $TEX: $(PA+PB+PQ)^2$$ . $TEX: $(PA+PB+PQ)^2=\\<br />2+2\cos a\sin a-2(\cos a+\sin a)\cos x+2\sqrt{(2+2\cos a\sin a-2(\cos a+\sin a)\cos x)(\cos x+1)(1-\cos a)}+(\cos x+1)(1-\cos a)=\\<br />(3+2\cos a\sin a-\cos a)+(1-3\cos a-2\sin a)\cos x+2\sqrt{(2+2\cos a\sin a-2(\cos a+\sin a)\cos x)(\cos x+1)(1-\cos a)}$$ Lo que esta dentro del primer parentesis es un termino constante pues $TEX: $a$$ esta fijo, asi que no lo tomamos en cuenta. Ahora veamos $TEX: $(1-3\cos a-2\sin a)\cos x$$ . Se tiene que $TEX: $1-3\cos a-2\sin a$$ es negativo, luego el valor minimo de $TEX: $(1-3\cos a-2\sin a)\cos x$$ se da cuando $TEX: $\cos x$$ es maximo, osea cuando $TEX: $x=0$$ . Nos queda analizar $TEX: $2\sqrt{(2+2\cos a\sin a-2(\cos a+\sin a)\cos x)(\cos x+1)(1-\cos a)}=\\2\sqrt{1-\cos a}\sqrt{(1+\cos a\sin a-(\cos a+\sin a)\cos x)(\cos x+1)}$$ $TEX: $2\sqrt{1-\cos a}$$ es positivo, asi que queremos ver el minimo de $TEX: $(1+\cos a\sin a-(\cos a+\sin a)\cos x)(\cos x+1)=\\1+\cos a\sin a +(1+\cos a\sin a-\cos a-\sin a)\cos x-(\cos a+\sin a)\cos^2 x$$ osea el minimo de $TEX: $(1+\cos a\sin a-\cos a-\sin a)\cos x-(\cos a+\sin a)\cos^2 x$$ a esta ultima expresion le añadimos vamos a añadir algunos terminos constantes para que se pueda factorizar, ahora queremos hallar el minimo de $TEX: $(1+\cos a\sin a-\cos a-\sin a)(\cos x-1)-(\cos a+\sin a)(\cos^2 x-1)=\\<br />(\cos x-1)(1+\cos a\sin a -\cos a-\sin a-(\cos x+1)(\cos a+\sin a))=\\<br />(1-\cos x)((\cos x+1)(\cos a+\sin a)-1+\cos a+\sin a-\cos a\sin a)=\\<br />(1-\cos x)((\cos x+1)(\cos a+\sin a)-(1-\cos a)(1-\sin a))$$ Se tiene que $TEX: $(\cos x+1)(\cos a+\sin a)\ge 1$$ y que $TEX: $(1-\cos a)(1-\sin a)< 1$$ , luego $TEX: $(\cos x+1)(\cos a+\sin a)-(1-\cos a)(1-\sin a)$$ es positivo y por lo tanto el minimo de $TEX: $(1-\cos x)((\cos x+1)(\cos a+\sin a)-(1-\cos a)(1-\sin a))$$ se da cuando $TEX: $1-\cos x$$ es minimo, osea cuando $TEX: $x=0$$ . Luego se concluye que el minimo de $TEX: $PA+PB+PC$$ se da cuando $TEX: $x=0$$ osea cuando $TEX: $P$$ es el punto medio del arco $TEX: $AB$$ Mensaje modificado por xD13G0x el May 15 2011, 03:30 PM -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 15 2011, 06:09 PM Publicado: #90
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	CITA(xD13G0x @ May 15 2011, 04:24 PM) Veamos si mi generalizacion esta bien. Sea O el centro de C y sea $TEX: $a=AOB/2$$ un angulo menor o igual a 90º. Sea $TEX: $x=POQ$$ . Usando un monton de trigo. $TEX: $PA+PB=\sin(\frac{a}{2}+\frac{x}{2})+\sin(\frac{a}{2}-\frac{x}{2})=2\cos \frac{x}{2}\sin \frac{a}{2}=2\sqrt{(\frac{\cos x+1}{2})(\frac{1-\cos a}{2})}=\sqrt{(\cos x+1)(1-\cos a)}$$ y que $TEX: $PQ=\sqrt{1+(\cos a+\sin a)^2-2(\cos a+\sin a)\cos x}=\sqrt{2+2\cos a\sin a-2(\cos a+\sin a)\cos x}$$ . Queremos ver cuando se alcanza el minimo de $TEX: $PA+PB+PQ$$ , pero vamos a elevar al cuadrado y ver el minimo de $TEX: $(PA+PB+PQ)^2$$ . $TEX: $(PA+PB+PQ)^2=\\<br />2+2\cos a\sin a-2(\cos a+\sin a)\cos x+2\sqrt{(2+2\cos a\sin a-2(\cos a+\sin a)\cos x)(\cos x+1)(1-\cos a)}+(\cos x+1)(1-\cos a)=\\<br />(3+2\cos a\sin a-\cos a)+(1-3\cos a-2\sin a)\cos x+2\sqrt{(2+2\cos a\sin a-2(\cos a+\sin a)\cos x)(\cos x+1)(1-\cos a)}$$ Lo que esta dentro del primer parentesis es un termino constante pues $TEX: $a$$ esta fijo, asi que no lo tomamos en cuenta. Ahora veamos $TEX: $(1-3\cos a-2\sin a)\cos x$$ . Se tiene que $TEX: $1-3\cos a-2\sin a$$ es negativo, luego el valor minimo de $TEX: $(1-3\cos a-2\sin a)\cos x$$ se da cuando $TEX: $\cos x$$ es maximo, osea cuando $TEX: $x=0$$ . Nos queda analizar $TEX: $2\sqrt{(2+2\cos a\sin a-2(\cos a+\sin a)\cos x)(\cos x+1)(1-\cos a)}=\\2\sqrt{1-\cos a}\sqrt{(1+\cos a\sin a-(\cos a+\sin a)\cos x)(\cos x+1)}$$ $TEX: $2\sqrt{1-\cos a}$$ es positivo, asi que queremos ver el minimo de $TEX: $(1+\cos a\sin a-(\cos a+\sin a)\cos x)(\cos x+1)=\\1+\cos a\sin a +(1+\cos a\sin a-\cos a-\sin a)\cos x-(\cos a+\sin a)\cos^2 x$$ osea el minimo de $TEX: $(1+\cos a\sin a-\cos a-\sin a)\cos x-(\cos a+\sin a)\cos^2 x$$ a esta ultima expresion le añadimos vamos a añadir algunos terminos constantes para que se pueda factorizar, ahora queremos hallar el minimo de $TEX: $(1+\cos a\sin a-\cos a-\sin a)(\cos x-1)-(\cos a+\sin a)(\cos^2 x-1)=\\<br />(\cos x-1)(1+\cos a\sin a -\cos a-\sin a-(\cos x+1)(\cos a+\sin a))=\\<br />(1-\cos x)((\cos x+1)(\cos a+\sin a)-1+\cos a+\sin a-\cos a\sin a)=\\<br />(1-\cos x)((\cos x+1)(\cos a+\sin a)-(1-\cos a)(1-\sin a))$$ Se tiene que $TEX: $(\cos x+1)(\cos a+\sin a)\ge 1$$ y que $TEX: $(1-\cos a)(1-\sin a)< 1$$ , luego $TEX: $(\cos x+1)(\cos a+\sin a)-(1-\cos a)(1-\sin a)$$ es positivo y por lo tanto el minimo de $TEX: $(1-\cos x)((\cos x+1)(\cos a+\sin a)-(1-\cos a)(1-\sin a))$$ se da cuando $TEX: $1-\cos x$$ es minimo, osea cuando $TEX: $x=0$$ . Luego se concluye que el minimo de $TEX: $PA+PB+PC$$ se da cuando $TEX: $x=0$$ osea cuando $TEX: $P$$ es el punto medio del arco $TEX: $AB$$ Iba a escribirte que no se ven las ecuaciones pero al citar el mensaje pude leerlo bien. Me parece correcto y es buna esa idea de sumar constantes adecuadas para minimizar/maximizar. No puedo evitar poner la solucion que tenia en mente: Sea T el punto en C tal que TAB es equilatero. Por Ptolomeo (o rotando cierto triangulo) obtenemos que TP=AP+PB. Entonces PA+PB+PQ=TP+PQ pero esto es mayor o igual que TQ por la desigualdad triangular. La igualdad se alcanza si y solo si P esta alineado con TQ o sea cuando P es el punto medio del arco AB. (no todos los problemas que propongo son dificiles) Esperando el nuevo propuesto. Fuente: modificacion de cierto problema de una IMO (en la version original habia que hacer esto varias veces en un hexagono). Saludos -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

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