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xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 2 2011, 09:55 PM Publicado: #71
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	si hay 3 personas A,B,C se puede dar que A conoce a B, B conoce a C y C conoce a A, donde se ve que no se cumple lo que dices, a menos que digas que el conocimiento es mutuo, lo cual no es evidente. -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 2 2011, 09:59 PM Publicado: #72
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Pasten @ May 2 2011, 10:17 PM) Termine mis ocupaciones. Problema: En una sala hay 2N+1 personas. Por cada grupo de N personas en la sala, hay una persona que no esta en ese grupo pero que conoce a los N integrantes del grupo. Muestre que hay una persona que conoce a todas las personas de la sala. Saludos Hago la siguiente aclaracion: A conoce a B significa que tambien B conoce a A. "Conocerse" es conocerse de verdad, no solo que A ubica de nombre a B sin que B tenga idea de la existencia de A. Saludos. -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

Kamelot Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 4 2011, 08:06 PM Publicado: #73
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 165 Registrado: 8-February 06 Desde: Toronto Miembro Nº: 561 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Pasten @ May 2 2011, 09:17 PM) Problema: En una sala hay 2N+1 personas. Por cada grupo de N personas en la sala, hay una persona que no esta en ese grupo pero que conoce a los N integrantes del grupo. Muestre que hay una persona que conoce a todas las personas de la sala. Dado un conjunto $TEX: $a_1,\ldots,a_i$$ de personas que se conocen entre si (con $TEX: $0<i<N+1$$ ) podemos formar un conjunto de $TEX: $N$$ personas que las contenga, utilizando la hipótesis encontramos una persona $TEX: $a_{i+1}$$ fuera de este conjunto que conoce a $TEX: $a_1,\ldots,a_i$$ . A partir de esto concluimos que existe un conjunto $TEX: $A$$ de $TEX: $N+1$$ personas que se conocen todas entre si. Como quedaron $TEX: $N$$ personas fuera de $TEX: $A$$ , existe una persona en $TEX: $A$$ que las conoce. Por la construcción de $TEX: $A$$ esta persona conoce a todas las del conjunto. Saludos -------------------- The Little Kitty

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 4 2011, 08:07 PM Publicado: #74
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Kamelot @ May 4 2011, 09:06 PM) Dado un conjunto $TEX: $a_1,\ldots,a_i$$ de personas que se conocen entre si (con $TEX: $0<i<N+1$$ ) podemos formar un conjunto de $TEX: $N$$ personas que las contenga, utilizando la hipótesis encontramos una persona $TEX: $a_{i+1}$$ fuera de este conjunto que conoce a $TEX: $a_1,\ldots,a_i$$ . A partir de esto concluimos que existe un conjunto $TEX: $A$$ de $TEX: $N+1$$ personas que se conocen todas entre si. Como quedaron $TEX: $N$$ personas fuera de $TEX: $A$$ , existe una persona en $TEX: $A$$ que las conoce. Por la construcción de $TEX: $A$$ esta persona conoce a todas las del conjunto. Saludos Muy bien! respuesta impecable. Ahora propone Kamelot. Saludos ------ EDIT: sacado de una olimpiada nacional rusa del 2000 y algo. Mensaje modificado por Pasten el May 4 2011, 09:17 PM -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

Kamelot Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 4 2011, 08:23 PM Publicado: #75
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 165 Registrado: 8-February 06 Desde: Toronto Miembro Nº: 561 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Sea $TEX: $n$$ un entero positivo. Demostrar que los coeficientes del desarrollo de la expresión $TEX: $(a+b)^n$$ son todos impares si y sólo si $TEX: $n$$ es de la forma $TEX: $2^k-1$$ . Saludos -------------------- The Little Kitty

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 4 2011, 09:59 PM Publicado: #76
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	Escribimos $TEX: $n=2^r+s$$ para un (unico) par de enteros no negativos $TEX: $r,s$$ con $TEX: $0\le s\le 2^r-1$$ $TEX: $\dbinom{n}{k}$$ es impar para todo $TEX: $k$$ si y solo si para todo $TEX: $k\le 2^r-1$$ $TEX: $$0=\sum_{i=1}^r ([\frac{n}{2^i}-[\frac{k}{2^i}]-[\frac{n-k}{2^i}]=\sum_{i=1}^r [\{\frac{k}{2^i}\}+\{\frac{n-k}{2^i}\}]=\sum_{i=1}^r [\{\frac{k}{2^i}\}+\{\frac{2^r+s-k}{2^i}\}]=\sum_{i=1}^r [\{\frac{k}{2^i}\}+\{\frac{s-k}{2^i}\}]$$$ si y solo si para todo $TEX: $k\le 2^r-1$$ y para todo $TEX: $i\le r$$ el residuo de la division de $TEX: $k$$ entre $TEX: $2^i$$ mas el residuo de la division de $TEX: $s-k$$ entre $TEX: $2^i$$ es menor a $TEX: $2^i$$ . Supongamos que $TEX: $s<2^r-1$$ . Haciendo $TEX: $i=r$$ y $TEX: $k=2^r-1$$ , se tiene que el residuo de la division de $TEX: $2^r-1$$ entre $TEX: $2^r-1$$ es simplemente $TEX: $2^r-1$$ y el residuo de la division de $TEX: $s-2^r+1$$ entre $TEX: $2^r$$ es $TEX: $s+1$$ (pues $TEX: $2^r>s+1\ge 1$$ ), luego la suma de ambos residuos es al menos $TEX: $2^r$$ , osea si $TEX: $s<2^r-1$$ no se cumple la propiedad. Ahora si $TEX: $s=2^r-1$$ , el residuo de la division de $TEX: $2^r-1-k$$ entre $TEX: $2^i$$ es el residuo de la division de $TEX: $2^i-1-k$$ entre $TEX: $2^i$$ y luego es obvio que la suma de este residuo mas el residuo de la division de $TEX: $k$$ entre $TEX: $2^i$$ es menor a $TEX: $2^i$$ (es solo ver un analisis parecido al anterior, viendo los casos limite) Mensaje modificado por xD13G0x el May 4 2011, 10:00 PM -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

Kamelot Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 5 2011, 11:32 AM Publicado: #77
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 165 Registrado: 8-February 06 Desde: Toronto Miembro Nº: 561 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Me gustaría que escribieras con más detalle la última parte de la demostración, pero está correcta (Además, al comienzo de la tercera línea hay escasez de paréntesis derechos, y en el penúltimo párrafo hay un $TEX: $2^r-1$$ que debería ser $TEX: $2^r$$ ) El problema lo obtuve de "Fundamentos de la Teoría de los Números" de Vinogradov. Ahora propone xD13G0x. Mensaje modificado por Kamelot el May 5 2011, 11:33 AM -------------------- The Little Kitty

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 5 2011, 07:06 PM Publicado: #78
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	Subamos un poco la dificultad. Dado un entero $TEX: $n>1$$ , sea $TEX: $P_n$$ el producto de todos los enteros positivos $TEX: $x$$ , menores que $TEX: $n$$ tales que $TEX: $n\|x^2-1$$ . Para cada entero $TEX: $n>1$$ , encontrar el residuo de $TEX: $P_n$$ en la division entre $TEX: $n$$ -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

The Lord Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 5 2011, 08:55 PM Publicado: #79
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 374 Registrado: 16-September 06 Desde: New Haven, CT, USA. Miembro Nº: 2.275 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	El problema se entiende como dado $TEX: $S:=\{x\in \mathbb{Z}_n: x^2=1\}$$ , encontrar $TEX: $P=\prod_{x\in S}x$$ . Sea $TEX: $n=2^rp_1^{\alpha_1}...p_k^{\alpha_k}$$ . Observemos que para que $TEX: $x^2\equiv{1}$$ (mod n) se necesita que $TEX: $x^2\equiv{1}$$ (mod $TEX: $p_t^{\alpha_t}$$ ) para cada primo impar y tambien para el caso aparte del 2. Observar que MCD(x-1,x+1)=1, 2 se sigue que $TEX: $x\equiv{\pm 1}$$ (mod $TEX: $p_t^{\alpha_t}$$ ) para cada primo impar. No es complicado ver que tambien se debe dar forzosamente alguna de las igualdades $TEX: $x\equiv{\pm 1,\pm (2^{r-1}-1)}$$ (mod $TEX: $2^{r}$$ ), cuando r>2. En el caso en que r=0 no se considera esta posible congruencia, cuando r=1 solo nos quedamos con $TEX: $x\equiv{1}$$ (mod 2), cuando r=2 nos quedamos con $TEX: $x\equiv{\pm 1}$$ (mod 4) (queda claro que para los demas casos hay 4 posibles valores de x modulo la potencia de 2). Ahora observemos que estas congruencias caracterizan todas las soluciones, todos los elementos de S (teorema chino del resto). Ahora solo falta hacer las distinciones respectivas para cada caso dependiendo del valor de r. Si r=0, tendre k factores primos donde cada numero de S esta unicamente determinado por una k upla de $TEX: $\pm 1$$ , donde la h-esima coordenada nos dice la congruencia en modulo $TEX: $p_h^{\alpha_h}$$ , al sacar el producto total de los elementos de S tendre $TEX: $2^{k-1}$$ apariciones de una k-upla con un -1 en la posicion j-esima (donde j es arbitrario), en otras palabras si es que k>1 entonces tendre que el producto viendolo modulo potencia de un primo es 1 (ya que tengo una cantidad par de apariciones), osea $TEX: $P\equiv{1}$$ (mod $TEX: $p_t^{\alpha_t}$$ ) (1) para cada t, se sigue que P=1, por otro lado para k=1, osea para $TEX: $n=p^{\alpha}$$ por lo mencionado anteriormente tengo que P=-1. Supongamos que r=1, en este caso tengo una k+1-upla donde cada coordenada me dice el resto de n modulo cada uno de sus potencias primas, como la primera coordenada (el resto que deja modulo 2) esta ya fijo no va a cambiar en nada al caso anterior se sigue que para k>1 se tiene que P=1 y que para k=1 tendremos que P=-1 (ademas para n=2 se ve trivialmente que P=1). Ahora consideremos r=2, para este caso nuestras k+1-uplas tienen dos posibilidades para cada posicion osea la cantidad de uplas en que aparece -1 en la posicion j-esima es $TEX: $2^k$$ , un numero par, luego tambien tenemos (1) para cada t (aqui tambien se incluye el dos), osea P=1. Si r>2 la coordenada asociada al 2 de la k+1-upla tiene 4 posibilidades y todas las demas como es usual tienen 2, bajo el mismo tipo de argumentos la cantidad de uplas en que aparece -1 en la posicion j-esima es $TEX: $2^{k+1}$$ , un numero par por ende el producto P en cuestion satisface (1), osea P=1. Hasta aqui considere k>0, ahora si $TEX: $n=2^m$$ , nos remontamos a la acotacion sobre los restos necesarios para que el cuadrado sea igual a 1 y obtenemos que para n=2, P=1, cuando n=4 los restos posibles son $TEX: $\pm 1$$ osea P=-1, finalmente para m>2 tengo que los restos son $TEX: $x\equiv{\pm 1,\pm (2^{m-1}-1)}$$ (mod $TEX: $2^{m}$$ ), osea P=1 (basta multiplicarlos solamente) . En resumen para $TEX: $n=4,p^{\alpha},2p^{\alpha}$$ tengo que P=-1, para todos los demas tengo que P=1. Mensaje modificado por The Lord el May 5 2011, 09:22 PM

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 5 2011, 09:12 PM Publicado: #80
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	No esta del todo correcto, no lo he leido pero al ver tu conclusion, para n=2,4 tambien P_n es -1, pero la cosa va por buen recaudo, asi que esperare que corrijas y ahi reviso todo -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

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