Maraton Opciones

[coquitao]

...de donde lo saque no tenia fuente (si, de nuevo)

...creo que con "fuente" no se refieren al lugar donde la propuesta apareció por vez primera. Más bien, al lugar de donde el que propone lo ha retomado. En este caso, considero que es suficiente con que anotes "del pdf tal".

[Pasten]

Sea . Por Cauchy-Schwarz se tiene que



----------(1)

Estudiemos la expresión en términos de y .

Si entonces

Si y entonces . Lo mismo ocurre en los casos en que y .

Ahora bien, si , con , entonces

Finalmente, si el par cae en ninguno de los casos anteriores, se cumple que





Las desigualdades en (1), dan en vista del análisis anterior que,



y de aquí el resultado que se pedía...

OBSERVACIONES.

1. es el inverso multiplicativo mod p de .
2. Utilizamos el hecho de que la suma de los símbolos de Legendre sobre un sistema completo de restos mod p es 0. También utilizamos el hecho conocido de que si entonces (líneas 8-10).

Bueno, la solucion a grandes rasgos esta correcta pero creo que hay un pequeño error en el caso y=0=y1 donde deberia dar p. Ademas, deberias explicar la notacion de la funcion caracteristica (no es tan estandar), explicar como usas las desigualdades en (1) para el ultimo paso (expandir el cuadrado de esa suma) y da una demostracion del ultimo "hecho conocido" que mencionas, que puede no ser tan conocido y la demsotracion es realmente simple.

Esperando esas modificaciones antes de darlo por resuelto.

Saludos

[coquitao]

Corregido el error en el caso mencionado. Se agregaron un par de explicaciones y la prueba solicitada.

Saludos.

[Pasten]

Como basicamente estaba todo correcto, se da por resuelto el problema.

Ahora propone coquitao.

Saludos

[coquitao]

El problema que propongo es:

Exhiba una conjunto infinito de pares ordenados tales que tanto a como b sean número irracionales y (probar cada una de sus afirmaciones).

Saludos.

[Pasten]

El problema que propongo es:

Exhiba una conjunto infinito de pares ordenados tales que tanto a como b sean número irracionales y (probar cada una de sus afirmaciones).

Saludos.

Tomemos los pares de la forma (e, ln k) para k=2,3,4,...

Sabemos que e es trascendente asi que es irracional. Si ln(k) fuera racional para algun k=2,3,..., digamos ln(k)=p/q con p>0, p, q enteros, entonces tendriamos

lo que no puede ser porque e es trascendente. Esto prueba que los ln(k) son irracionales para k=2,3,... resolviendo el problema.

Ahora, si uno no quiere usar la trascendencia de e porque su demostracion es complicada, podemos tomar cualquier real r>0 que sea trascendente y usar logaritmos base r, la misma demostracion funciona. Si aun no esta contento porque no sabe construir numeros trascendentes, entonces puede usar en lugar de e el numero y trabajar con logaritmos base s. Esto funciona porque s no es raiz de un polinomio del tipo pues esos polinomios tienen sus ceros todos con el mismo modulo en los complejos, mientras que s tiene un conjugado que tiene valor absoluto distinto al valor absoluto de s.

Saludos

[xD13G0x]

Vamos a demostrar que los pares donde es un entero positivo que no es cuadrado perfecto, cumplen lo pedido.
Es obvio que . Es un hecho conocido que si la raiz n-esima de un entero no es entera, entonces es irracional de donde es irracional. Ahora solo nos queda demostrar que es irracional, suponga lo contrario, es decir que existen enteros positivos tales que . Elevando a se tiene que lo cual es una contradiccion pues .
Como hay infinitos enteros positivos que no son cuadrados perfectos, tenemos infinitos pares con tal propiedad.

[coquitao]

Pasten respondió primero, Pasten propone.

P.D. Mi solución es como la de diego, pero un tanto más concreta. Si con denotamos al n-ésimo primo positivo entonces, para , haga y considere .

Saludos.

[Pasten]

Estoy muy ocupado ahora completando un formulario como para pensar en un problema. Cedo mi turno a cualquiera, el que postee primero cuenta.

Saludos

[Pasten]

Estoy muy ocupado ahora completando un formulario como para pensar en un problema. Cedo mi turno a cualquiera, el que postee primero cuenta.

Saludos

Termine mis ocupaciones.

Problema:
En una sala hay 2N+1 personas. Por cada grupo de N personas en la sala, hay una persona que no esta en ese grupo pero que conoce a los N integrantes del grupo. Muestre que hay una persona que conoce a todas las personas de la sala.

Saludos