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Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 30 2011, 12:08 PM Publicado: #41
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	CITA(xD13G0x @ Apr 30 2011, 12:25 PM) Era que le hayas dado al nager para proponer xd. Propondre uno no tan facil pero tampoco tan dificil. Encontrar todos enteros positivos n tal que para todo entero x $TEX: $x^{25}\equiv x \mod n$$ Queremos los n tal que para todo entero x se cumple $TEX: $n\|x^{25}-x$$ . Entonces primero buscamos los n que son potencia de primos, y depsues los productos de los numeros que obtengamos seran los n buscados. Si $TEX: $p^r\|x^{25}-x$$ para todo x, entonces $TEX: $p^r\|x^{24}-1$$ para x coprimo con p. Es decir, todos los inversibles modulo $TEX: $p^r$$ son de orden que divide a 24. Si p>2 tomamos g raiz primitiva modulo $TEX: $p^r$$ y como $TEX: $g^{24}\equiv 1\mod p^r$$ tenemos que el orden de g (que es $TEX: $\phi(p^r)=p^r-p^{r-1}$$ ) divide a 24. Probamos todos los casos (que son pocos!) y obtenemos solo las soluciones (p,r)=(3,1),(5,1),(7,1),(13,1),(3,2), lo que nos da en este caso $TEX: $p^r=3,5,7,9,13$$ . Esto fue solo con x los inversibles asi que aun debemos chequear si para estos modulos se cumple $TEX: $p^r\|x^{25}-x$$ para todo x. Probamos todos los casos y el unico que no funciona es 9 (por ejemplo con x=3). Asi que cuando p>2 los unicos $TEX: $p^r$$ que sirven son 3,5,7,13. Veamos ahora para p=2. Si r=1 entonces claramente se puede. Si r>1 entonces x=2 es un contraejemplo pues el exponente de 2 en $TEX: $2^{25}-2$$ es 1. Asi que en este caso solo obtenemos $TEX: $p^r=2$$ . Por lo tento los n pedidos son todos los 32 productos (contando 1) que se pueden hacer usando factores distintos de 2,3,5,7,13. Saludos ------------ EDIT: de orden 24 ---> de orden que divide a 24 Mensaje modificado por Pasten el Apr 30 2011, 12:13 PM -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 30 2011, 12:21 PM Publicado: #42
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	Correcto, podrias haber dicho que si n tuviera un factor primo (digamos p) con exponente mayor a 1, p\|\|p^25-p, luego todos los factores primos de n tienen exponente 1. De aqui usabas las raices primitivas y llegabas a la misma conclusion. En donde lo saque no tenia fuente xd, te toca pasten! -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 30 2011, 12:38 PM Publicado: #43
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	Sea q>1 un numero entero. Determine, en funcion de q, todos los N>0 con la siguiente propiedad: Si X es un conjunto con N elementos, y si $TEX: $f:X\to X$$ es una funcion biyectiva que no es la identidad pero con la propiedad que al aplicarla q veces se obtiene la identidad (o sea, hay q-1 composiciones), entonces f(u)=u para algun u en X. Saludos -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

The Lord Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 30 2011, 10:06 PM Publicado: #44
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 374 Registrado: 16-September 06 Desde: New Haven, CT, USA. Miembro Nº: 2.275 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Sea $TEX: $q=\Pi_{k=1}^m p_k^{\alpha_k}$$ su factorizacion prima. Voy a encontrar los N del problema que no satisfacen lo pedido, osea que existe una biyeccion f de X a X que al componerla q veces tengo la identidad pero no deja fijo ningun elemento de X. Por comodidad pensaremos en X como el conjunto {1,...,N}. Esta permutacion se puede descomponer trivialmente en ciclos disjuntos (donde cada ciclo es el conjunto generado por la iteracion de la funcion sobre algun elemento de X). Digamos que los largos de los ciclos de la permutacion son $TEX: $c_1,...,c_k$$ . Para que la funcion sea la identidad al componerla q veces es necesario y suficiente que se tenga $TEX: $c_i\|q$$ para cada $TEX: $i\in\{1,...,k\}$$ . El problema es equivalente a encontrar los N tales que cualquier particion de N, digamos $TEX: $N=c_1+c_2+...+c_k$$ tal que $TEX: $c_i\|q$$ , forzosamente alguno de los $TEX: $c_k=1$$ . En particular los N que no satisfacen esta condicion pueden ser escritos como suma de divisores distintos de 1 de q (los N requeridos son los que no se pueden escribir de tal forma). De esta forma es facil caracterizar los numeros N que no cumplen lo pedido, osea los de la forma $TEX: $N=\sum_{p=1}^m d_p$$ , donde $TEX: $d_p\|q,d_p\ne 1$$ . En particular este conjunto podemos caracterizarlo solo en funcion de los factores primos de q, siempre podemos agrupar los sumandos de modo de obtener una expresion del estilo $TEX: $N=\sum_{k=1}^m p_k A_k, A_k\in \mathbb{N}_0$$ , cualquier N que no es de esa forma satisface la condicion pedida. En verda es abismante la cantidad de naturales que se puede escribir de esta forma, de echo no es complicado convencerse que desde cierto M>0 en adelante siempre puedo escribir el natural de esa forma. Sea S el conjunto de naturales de esa forma. Digamos que $TEX: $p_1<p_2<...<p_m$$ . Afirmo que $TEX: $\{P\in\mathbb{N}: P>(p_1-1)p_2\}\subset S$$ . Basta tomar $TEX: $P>p_2(p_1-1)$$ y considerar el conjunto $TEX: $P,P-p_2,P-2p_2,...,P-(p_1-1)p_2$$ , estos numeros son mayores a cero y forman un residuo completo modulo $TEX: $p_1$$ , se sigue que alguno es multiplo de $TEX: $p_1$$ , se tiene una igualdad de la forma $TEX: $P-kp_2=rp_1>0$$ , claramente $TEX: $P\in S$$ . Luego nos restringimos a buscar en el intervalo $TEX: $[1,(p_1-1)p_2]$$ , para encontrar a $TEX: $S^c$$ , osea los N que necesitamos. No se si esto bastara para dar por resuelto el problema, si es necesario escribir de manera las exacta los N que satisfacen el problema me avisas. Saludos.

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 30 2011, 10:32 PM Publicado: #45
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	CITA(The Lord @ Apr 30 2011, 11:06 PM) Sea $TEX: $q=\Pi_{k=1}^m p_k^{\alpha_k}$$ su factorizacion prima. Voy a encontrar los N del problema que no satisfacen lo pedido, osea que existe una biyeccion f de X a X que al componerla q veces tengo la identidad pero no deja fijo ningun elemento de X. Por comodidad pensaremos en X como el conjunto {1,...,N}. Esta permutacion se puede descomponer trivialmente en ciclos disjuntos (donde cada ciclo es el conjunto generado por la iteracion de la funcion sobre algun elemento de X). Digamos que los largos de los ciclos de la permutacion son $TEX: $c_1,...,c_k$$ . Para que la funcion sea la identidad al componerla q veces es necesario y suficiente que se tenga $TEX: $c_i\|q$$ para cada $TEX: $i\in\{1,...,k\}$$ . El problema es equivalente a encontrar los N tales que cualquier particion de N, digamos $TEX: $N=c_1+c_2+...+c_k$$ tal que $TEX: $c_i\|q$$ , forzosamente alguno de los $TEX: $c_k=1$$ . En particular los N que no satisfacen esta condicion pueden ser escritos como suma de divisores distintos de 1 de q (los N requeridos son los que no se pueden escribir de tal forma). De esta forma es facil caracterizar los numeros N que no cumplen lo pedido, osea los de la forma $TEX: $N=\sum_{p=1}^m d_p$$ , donde $TEX: $d_p\|q,d_p\ne 1$$ . En particular este conjunto podemos caracterizarlo solo en funcion de los factores primos de q, siempre podemos agrupar los sumandos de modo de obtener una expresion del estilo $TEX: $N=\sum_{k=1}^m p_k A_k, A_k\in \mathbb{N}_0$$ , cualquier N que no es de esa forma satisface la condicion pedida. En verda es abismante la cantidad de naturales que se puede escribir de esta forma, de echo no es complicado convencerse que desde cierto M>0 en adelante siempre puedo escribir el natural de esa forma. Sea S el conjunto de naturales de esa forma. Digamos que $TEX: $p_1<p_2<...<p_m$$ . Afirmo que $TEX: $\{P\in\mathbb{N}: P>(p_1-1)p_2\}\subset S$$ . Basta tomar $TEX: $P>p_2(p_1-1)$$ y considerar el conjunto $TEX: $P,P-p_2,P-2p_2,...,P-(p_1-1)p_2$$ , estos numeros son mayores a cero y forman un residuo completo modulo $TEX: $p_1$$ , se sigue que alguno es multiplo de $TEX: $p_1$$ , se tiene una igualdad de la forma $TEX: $P-kp_2=rp_1>0$$ , claramente $TEX: $P\in S$$ . Luego nos restringimos a buscar en el intervalo $TEX: $[1,(p_1-1)p_2]$$ , para encontrar a $TEX: $S^c$$ , osea los N que necesitamos. No se si esto bastara para dar por resuelto el problema, si es necesario escribir de manera las exacta los N que satisfacen el problema me avisas. Saludos. Correcto. Solucion altamente satisfactoria, pues no solo se da una formula para los numeros N malos en funcion de q (y por ende se deduce cuales son los N buenos) sino ademas se demuestra que los N pedidos son finitos y se da un rango explicito para encontrarlos. Propones tu el siguiente, The Lord. -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

The Lord Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 30 2011, 10:36 PM Publicado: #46
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 374 Registrado: 16-September 06 Desde: New Haven, CT, USA. Miembro Nº: 2.275 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Calcular la probabilidad de que al tirar N veces al aire una moneda no cargada el numero de caras que salga sea congruente a q modulo p. Opcionalmente vea que pasa si la moneda esta cargada.

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 30 2011, 10:40 PM Publicado: #47
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	que es una moneda cargada, nunca escuche algo asi xd -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

The Lord Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 30 2011, 10:42 PM Publicado: #48
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 374 Registrado: 16-September 06 Desde: New Haven, CT, USA. Miembro Nº: 2.275 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Es cuando la probabilidad de que aparesca cara o sello no esta dada por 1/2, podria ser que la probabilidad de dar cara sea 1/3 y la de sello sea 2/3, como nos gustaria si queremos apostar todo nuestro dinero que salga sello jajaja.

Gastón Burrull	Apr 30 2011, 10:54 PM Publicado: #49
Invitado	$TEX: \noindent Dado $q$ natural, buscamos $N>0$ tal que cualquier permutación de orden $q$ del grupo simétrico de orden $N$ deje fijo a algún elemento. Sabemos que los elementos del grupo simétrico se pueden descomponer en manera única en un número finito $n$ ciclos disjuntos $c_k$ para cada $k$. Si $f$ es de orden $q$ entonces $f=c_1c_2\ldots 0c_n$ tal que $\operatorname{mcm}(\|c_1\|,\|c_2\|,\ldots,\|c_n\|)=q$, pero queremos que al menos un $c_k$ tenga orden 1. Por lo que basta que $N\neq \sum \alpha_k d_k$ donde los $d_k$ son todos los divisores de $q$ y $\alpha_k$ sean coeficientes naturales.$ Disculpen por utilizar descomposición en ciclos del grupo simétrico, debe haber alguna manera más elemental.

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 1 2011, 07:04 PM Publicado: #50
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Gastón Burrull @ Apr 30 2011, 11:54 PM) $TEX: \noindent Dado $q$ natural, buscamos $N>0$ tal que cualquier permutación de orden $q$ del grupo simétrico de orden $N$ deje fijo a algún elemento. Sabemos que los elementos del grupo simétrico se pueden descomponer en manera única en un número finito $n$ ciclos disjuntos $c_k$ para cada $k$. Si $f$ es de orden $q$ entonces $f=c_1c_2\ldots 0c_n$ tal que $\operatorname{mcm}(\|c_1\|,\|c_2\|,\ldots,\|c_n\|)=q$, pero queremos que al menos un $c_k$ tenga orden 1. Por lo que basta que $N\neq \sum \alpha_k d_k$ donde los $d_k$ son todos los divisores de $q$ y $\alpha_k$ sean coeficientes naturales.$ Disculpen por utilizar descomposición en ciclos del grupo simétrico, debe haber alguna manera más elemental. Correcto, pero The Lord contesto antes. En todo caso es bueno poner soluciones alternativas! Saludos -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

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