Maraton - Foro fmat.cl

Portal Matemático

¿Qué es FMAT?

Foro fmat.cl > Sector Preparación Olimpiadas > Sector Olímpico > Otros > Problemas Propuestos

41 Páginas:

« < 37 38 39 40 41 >

Reply to this topic

Start new topic

Maraton

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 5 2014, 11:24 AM Publicado: #381
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Para un conjunto $TEX: $H$$ de puntos en el plano, se dice que un punto $TEX: $T$$ del plano es un punto de corte de $TEX: $H$$ si existen puntos $TEX: $P,Q,R,S\in H$$ , distintos, tales que las rectas $TEX: $\overleftrightarrow{PQ},\overleftrightarrow{RS}$$ son distintas y se cortan en $TEX: $T$$ . Dado un conjunto finito $TEX: $A_0$$ de puntos en el plano, se construye la sucesión $TEX: $(A_n)_{n\ge 1}$$ de conjuntos de puntos en el plano, por medio de la siguiente regla: Para cada $TEX: $j\in\mathbb{N}:A_{j+1}$$ es la unión de $TEX: $A_j$$ con el conjunto de todos los puntos de corte de $TEX: $A_j$$ . Pruebe que, si la unión de todos los conjuntos de la sucesión es un conjunto finito, entonces todos los términos de la sucesión son iguales a $TEX: $A_1$$ .

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 4 2015, 03:14 PM Publicado: #382
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	Tengo una consulta. Qué pasa si consideramos un conjunto $TEX: \( A_1={A,B,C,D} \)$ , siendo ABCD un cuadrado (o en general, un paralelogramo)?. $TEX: \( A_2 \)$ incluiría a la intersección de las diagonales, y luego no podrían realizarse más puntos de corte (al coincidir con alguno de los puntos ya existentes), por lo que el conjunto unión sería finito, pero $TEX: \( A_1 \)$ y $TEX: \( A_2 \)$ serían distintos (y en general, $TEX: \( A_1 \)$ y $TEX: \( A_n \)$ , con $TEX: \( n>1 \)$ , serían distintos). -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 5 2015, 04:17 AM Publicado: #383
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Eso no puede ocurrir ya que no existe ningún conjunto $TEX: $A_0$$ tal que $TEX: $A_1$$ sean los cuatro vértices de un paralelógramo. Recuerda que el proceso siempre parte con un conjunto finito de puntos $TEX: $A_0$$ .

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 5 2015, 05:18 AM Publicado: #384
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	Oh, verdad, había leído mal. Mis disculpas. -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 19 2015, 09:19 AM Publicado: #385
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Ya, un hint para este problema es suponer que la secuencia se estabiliza en tiempo $TEX: $j\ge 2$$ , aplicar el principio extremal (ver http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=909...p;#entry701976) en el conjunto de todos los cuadriláteros convexos con vértices en $TEX: $A_j$$ tales que el punto de corte de las diagonales del cuatrilátero apareció por primera vez en el momento $TEX: $j$$ , y considere en este conjunto el orden dado por la inclusión $TEX: $\subset$$ .

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 30 2015, 04:38 PM Publicado: #386
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Luffy @ Dec 5 2014, 11:24 AM) Para un conjunto $TEX: $H$$ de puntos en el plano, se dice que un punto $TEX: $T$$ del plano es un punto de corte de $TEX: $H$$ si existen puntos $TEX: $P,Q,R,S\in H$$ , distintos, tales que las rectas $TEX: $\overleftrightarrow{PQ},\overleftrightarrow{RS}$$ son distintas y se cortan en $TEX: $T$$ . Dado un conjunto finito $TEX: $A_0$$ de puntos en el plano, se construye la sucesión $TEX: $(A_n)_{n\ge 1}$$ de conjuntos de puntos en el plano, por medio de la siguiente regla: Para cada $TEX: $j\in\mathbb{N}:A_{j+1}$$ es la unión de $TEX: $A_j$$ con el conjunto de todos los puntos de corte de $TEX: $A_j$$ . Pruebe que, si la unión de todos los conjuntos de la sucesión es un conjunto finito, entonces todos los términos de la sucesión son iguales a $TEX: $A_1$$ . Para no extendernos mas. $TEX: <br />Supongamos que $A_0$, $A_1$ y $A_2$ sean distintos y que $A_r=A_{r+1}$(que la secuencia se estabiliza en este punto) Probaremos primero esto:<br />Lema: Suponga que $v_1,v_2,v_3,v_4$ son vertices de $A_r$, entonces si ninguna terna pertenece a una misma recta(que no hayan 3 colineales en $v_1,v_2,v_3,v_4$), entonces estos 4 puntos conforman un paralelogramo.<br />Prueba: La prueba es en 2 casos, el primero considera que $v_1$,$v_2$,$v_3$, $v_4$, conforman un cuadrilatero convexo, el segundo considera que $v_4$ pertenece al interior del triangulo conformado por los 3 restantes. Para el primer caso supongamos que existen 4 puntos en $A_r$ donde no hay 3 colineales, que no formen un paralelogramo y que ademas sea convexo, de todos los cuadrilateros que cumplan estas condiciones consideremos que $v_1v_2v_3v_4$ sea el de menor area. Digamos que la interseccion de $v_1v_4$ y $v_2v_3$ sea $P$, y la interseccion de $v_1v_3$ y $v_2v_4$ sea $Q$, como ambos perteneces tambn a $A_r$ se tiene que tambien la interseccion $v_3v_4\cap PQ=R$ y ademas la interseccion de $PQ\cap v_1v_2=S$ estan en $A_r$, ademas es facil corroborar que $v_4RSv_1$ es convexo, como $A(v4rsv1)<A(v4v3v2v1)$ se llega a una contradiccion de la minimalidad del area de $v1v2v3v4$. Ahora veamos el otro caso, supongamos que en estas condiciones, $v_1v_2v_3v_4$ tenga área minima, sean $p$,$q$ y $r$ las intersecciones de , $v_1v_4$ y $v_2v_3$, $v_2v_4$ y $v_1v_3$, $v_3v_4$ y $v_1v_2$, observamos, claramente que $pqrv_4$ cumple con las condiciones y ademas tiene menor área, contradiccion.<br />Ahora vamos con el problema. Es fácil ver que para que $A_0$ y$ A_1$ sean distintos es necesario que en $A_0 $no existan 3 rectas que contengan todos sus puntos, esto es equivalente a que haya al menos 4 puntos donde no hayan 3 colineales, digamos $v_1, v_2,v_3,v_4$, del lema anterior vemos que para que se llegue a estabilizar la sucesion en algun punto, se tiene que deben conformar un paralelogamo, entonces veamos que pasa si le sumamos otro punto a $A_0$, veamos que si $v_5$ no esta en $v_1v_3$ entonces o $v_1v_2v_3v_5$ o $v_1v_3v_4v_5$ conforman un cuadrilatero sin 3 puntos colineales y que no es paralelogramo, contradiccion, analogamente $v_5$ esta en $v_2v_4$, de donde se sigue que en caso de $A_0 $tener 5 puntos estos son conformados por un paralelogramo y la interseccion de sus diagonales, de donde se obtiene facilmente que $A_1=A_2$, de donde se sigue el problema<br />$ Saludos. Mensaje modificado por Pedantic Anarchy el Feb 2 2015, 12:30 PM -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 1 2015, 09:56 PM Publicado: #387
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Ok correcto! Este problema fue el p6 de la ibero del 2004. Propone pedantic! Saludos

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 2 2015, 08:11 AM Publicado: #388
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Decida si existen enteros positivos $a_1,a_2,a_3$ tales que no sean cuadrados perfectos y $\sqrt {a_1}+\sqrt {a_2}+\sqrt {a_3}$ sea un numero racional.$ -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 3 2015, 01:29 PM Publicado: #389
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Pedantic Anarchy @ Feb 2 2015, 08:11 AM) $TEX: Decida si existen enteros positivos $a_1,a_2,a_3$ tales que no sean cuadrados perfectos y $\sqrt {a_1}+\sqrt {a_2}+\sqrt {a_3}$ sea un numero racional.$ Suponga que $TEX: $a_1, a_2, a_3$$ son enteros positivos no cuadrados perfectos tales que $TEX: $q:=\sqrt {a_1}+\sqrt {a_2}+\sqrt {a_3}\in \mathbb{Q}$$ . Es directo que $TEX: $q-2\sqrt{a_3}=\sqrt {a_1}+\sqrt {a_2}-\sqrt {a_3}$$ , así que $TEX: $q^2-2q\sqrt{a_3}=(\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2})^2-a_3$$ (). Como $TEX: $a_3$$ no es cuadrado perfecto, entonces $TEX: $q^2-2q\sqrt{a_3}\not \in \mathbb{Q}$$ , de donde se sigue que $TEX: $a_1+a_2-a_3+2\sqrt{a_1a_2}\not \in \mathbb{Q}$$ , es decir, $TEX: $\sqrt{a_1a_2}\not \in \mathbb{Q}$$ (). Por otra parte, es claro que $TEX: $q\not=0$$ , así que despejando $TEX: $\sqrt{a_3}$$ en () se obtiene que $TEX: $\sqrt{a_3}=\dfrac{q^2+a_3-a_1-a_2}{2q}+\dfrac{1}{q}\sqrt{a_1a_2}$$ Sea $TEX: $A:=\dfrac{q^2+a_3-a_1-a_2}{2q}$$ . Es evidente que $TEX: $A\in \mathbb{Q}$$ . Vea que $TEX: $a_3=A^2+\dfrac{a_1a_2}{q^2}+\dfrac{2A}{q}\sqrt{a_1a_2}$$ Si $TEX: $A\not=0$$ entonces $TEX: $\sqrt{a_1a_2}=\dfrac{qa_3}{2A}-\dfrac{qA}{2}-\dfrac{a_1a_2}{2AQ}\in \mathbb{Q}$$ , lo cual contradice (*). Esto nos indica que $TEX: $A=0$$ , o sea $TEX: $a_1+a_2-a_3=q^2=a_1+a_2+a_3+2\sqrt{a_1a_2}+2\sqrt{a_2a_3}+2\sqrt{a_1a_3}$$ Agrupando todos los miembros en un lado y dividiendo en 2 se tiene que $TEX: $0=a_3+\sqrt{a_1a_3}+\sqrt{a_2a_3}+\sqrt{a_1a_2}>0$$ Esto es imposible, por lo tanto nuestra suposición inicial es falsa. La respuesta es Nope. $TEX: $\blacksquare$$ -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!*

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 3 2015, 02:10 PM Publicado: #390
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Cenizas con Mostaza @ Feb 3 2015, 01:29 PM) Suponga que $TEX: $a_1, a_2, a_3$$ son enteros positivos no cuadrados perfectos tales que $TEX: $q:=\sqrt {a_1}+\sqrt {a_2}+\sqrt {a_3}\in \mathbb{Q}$$ . Es directo que $TEX: $q-2\sqrt{a_3}=\sqrt {a_1}+\sqrt {a_2}-\sqrt {a_3}$$ , así que $TEX: $q^2-2q\sqrt{a_3}=(\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2})^2-a_3$$ (). Como $TEX: $a_3$$ no es cuadrado perfecto, entonces $TEX: $q^2-2q\sqrt{a_3}\not \in \mathbb{Q}$$ , de donde se sigue que $TEX: $a_1+a_2-a_3+2\sqrt{a_1a_2}\not \in \mathbb{Q}$$ , es decir, $TEX: $\sqrt{a_1a_2}\not \in \mathbb{Q}$$ (). Por otra parte, es claro que $TEX: $q\not=0$$ , así que despejando $TEX: $\sqrt{a_3}$$ en () se obtiene que $TEX: $\sqrt{a_3}=\dfrac{q^2+a_3-a_1-a_2}{2q}+\dfrac{1}{q}\sqrt{a_1a_2}$$ Sea $TEX: $A:=\dfrac{q^2+a_3-a_1-a_2}{2q}$$ . Es evidente que $TEX: $A\in \mathbb{Q}$$ . Vea que $TEX: $a_3=A^2+\dfrac{a_1a_2}{q^2}+\dfrac{2A}{q}\sqrt{a_1a_2}$$ Si $TEX: $A\not=0$$ entonces $TEX: $\sqrt{a_1a_2}=\dfrac{qa_3}{2A}-\dfrac{qA}{2}-\dfrac{a_1a_2}{2AQ}\in \mathbb{Q}$$ , lo cual contradice (). Esto nos indica que $TEX: $A=0$$ , o sea $TEX: $a_1+a_2-a_3=q^2=a_1+a_2+a_3+2\sqrt{a_1a_2}+2\sqrt{a_2a_3}+2\sqrt{a_1a_3}$$ Agrupando todos los miembros en un lado y dividiendo en 2 se tiene que $TEX: $0=a_3+\sqrt{a_1a_3}+\sqrt{a_2a_3}+\sqrt{a_1a_2}>0$$ Esto es imposible, por lo tanto nuestra suposición inicial es falsa. La respuesta es Nope. $TEX: $\blacksquare$$ Correcto Cenizas! Propones. Mi solucion es un tanto diferente: $TEX: Supongamos que $\sqrt {a_1}+\sqrt {a_2}+\sqrt {a_3}=q\in Q$, esto implica que $(\sqrt {a_1}+\sqrt {a_2})^2=q^2-2q\sqrt {a_3}+a_3$, de donde concluimos que $\sqrt {a_1a_2}+q\sqrt {a_3}$ es racional pero, como $\sqrt {a_3}$ no es racional se tiene que $\sqrt {a_1a_2}-q\sqrt {a_3}$ tampoco lo es y por tanto el producto $a_1a_2-q^2a_3$ no es racional (notar que claramente ninguno de los 2 factores es 0, uno por ser evidentemente positivo, y el otro por ser irracional),lo que es evidentemente contradictorio$ . Este problema se me ocurrió a partir de este (aunque me imagino que debe ser conocido): http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=73322 , y es natural pensar en generalizaciones, las 3 que tengo en mente son: a) Pruebe para todo n natural no existen (o de un contraejemplo) enteros positivos no cuadrados perfectos $TEX: $a_1, a_2, a_3... a_n$$ tales que $TEX: $\sqrt {a_1}+\sqrt {a_2}+\sqrt {a_3}+...\sqrt {a_n}\in \mathbb{Q}$$ b) Pruebe que no existen enteros positivos (o de un contraejemplo) $TEX: $a_1,a_2,a_3$$ tales que no son potencias perfectas a la m, y que cumplan que $TEX: $\sqrt[m] {a_1}+\sqrt[m] {a_2}+\sqrt[m] {a_3}\in \mathbb {Q}$$ c) Pruebe que no existen enteros positivos (o de un contraejemplo) $TEX: $a_1,a_2,a_3....a_n$$ tales que no son potencias perfectas a la m (m entero mayor que 1 obviamente), y que cumplan que $TEX: $\sqrt[m] {a_1}+\sqrt[m] {a_2}+\sqrt[m] {a_3}+...\sqrt[m] {a_n}\in \mathbb {Q}$$ . Obviamente la parte c contiene a las 2 primeras y al problema del link, pero parece bien complicada (de hecho incluso las partes a) y b) me parecen muy complicadas). Sería bueno que alguien intentara estas generalizaciones (o alguna mejor si gusta) Saludos. Mensaje modificado por Pedantic Anarchy** el Feb 3 2015, 02:14 PM -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

« Posterior · Problemas Propuestos · Anterior »

41 Páginas:

« < 37 38 39 40 41 >

Reply to this topic

Start new topic

2 usuario(s) está(n) leyendo esta discusión (2 invitado(s) y 0 usuario(s) anónimo(s))

0 miembro(s):

Modo de Ver: Estándar · Cambiar a: Lineal+ · Cambiar a: Outline

Suscribirse · Enviar por correo · Imprimir · Suscribirse a este foro

Versión Lo-Fi

Fecha y Hora actual: 26th April 2025 - 12:05 AM

Powered By IP.Board 2.2.1 © 2007 IPS, Inc.