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cev Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 8 2014, 07:46 AM Publicado: #371
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.116 Registrado: 12-March 11 Miembro Nº: 84.732 Nacionalidad: Sexo:	Sea $TEX: $ABC$$ un triangulo acutangulo con $TEX: $H$$ y $TEX: $O$$ como su ortocentro y circuncentro, respectivamente. Sean $TEX: $F$$ el pie de altura por $TEX: $C$$ y $TEX: $G$$ un punto sobre $TEX: $AC$$ de modo que $TEX: $\angle FOG=2\angle ACF$$ . Si $TEX: $HG$$ intersecta a $TEX: $AB$$ en $TEX: $P$$ , pruebe que $TEX: $HP=HB$$ . Fuente: AoPS, luego de respondido linkeo. -------------------- >>>LG

cev Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 13 2014, 07:45 AM Publicado: #372
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.116 Registrado: 12-March 11 Miembro Nº: 84.732 Nacionalidad: Sexo:	Con motivo de un MP que recibi, adjunto un dibujo para que quede mas claro lo que se pide- Archivo(s) Adjunto(s) maraton.png ( 4.42k ) Número de descargas: 1 -------------------- >>>LG

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 1 2014, 09:26 AM Publicado: #373
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(cev @ Sep 8 2014, 07:46 AM) Sea $TEX: $ABC$$ un triangulo acutangulo con $TEX: $H$$ y $TEX: $O$$ como su ortocentro y circuncentro, respectivamente. Sean $TEX: $F$$ el pie de altura por $TEX: $C$$ y $TEX: $G$$ un punto sobre $TEX: $AC$$ de modo que $TEX: $\angle FOG=2\angle ACF$$ . Si $TEX: $HG$$ intersecta a $TEX: $AB$$ en $TEX: $P$$ , pruebe que $TEX: $HP=HB$$ . Fuente: AoPS, luego de respondido linkeo. $TEX: Solución :<br />Sea M el punto medio de AC, $\alpha =\measuredangle {ACF}=\measuredangle {BCO}$, $\beta=\measuredangle {FCO}$. Notemos que $\measuredangle {AMF}=2\alpha$ de donde el FOMG es ciclico y de donde se tiene que $\measuredangle {OFG}=90$. Sea T el conjugado isogonal de O con respecto al $\triangle {FGC}$, no es dificil ver (moviendo angulos) que T pertence a la recta AB, ademas de que $\measuredangle {TCG}=\measuredangle {TCA}=\beta$, de donde concluimos que el $\triangle CTB$ es isosceles en C, ademas como $\measuredangle {OGF}=90-2\alpha$ se sigue que $\measuredangle {CGT}=90+2\alpha$ de donde no es dificil concluir que $\measuredangle {GTF}=\alpha$, como también sabemos que $\measuredangle {HBF}=\alpha$ vemos que TG y HB se intersectan en la simetral de TB, o sea en la recta FC, de donde se sigue que T, G y H son colineales, a partir de donde se concluye el problema. Con esto finalizamos.<br /> <br />$ EDIT: Si está interesado en aprender de conjugados isogonales vea: http://www.artofproblemsolving.com/Forum/v...71&#p569871 Mensaje modificado por Pedantic Anarchy el Dec 1 2014, 09:57 AM -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

cev Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 3 2014, 05:52 PM Publicado: #374
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.116 Registrado: 12-March 11 Miembro Nº: 84.732 Nacionalidad: Sexo:	Buena respuesta y aparentemente el link de conjugados tambien. Siga la Maraton. Fuente del problema Aqui -------------------- >>>LG

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 4 2014, 01:13 PM Publicado: #375
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Algunos (finitos) enteros positivos son escritos en fila. Iterativamente, Daniel elige 2 números adyacentes x,y tales que x>y y x está a la izquierda de y, y remplaza el par (x,y) por (y+1,x) o por (x-1,x). Pruebe que Daniel solo puede repetir este proceso una cantidad finita de veces. -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 4 2014, 04:34 PM Publicado: #376
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Pedantic Anarchy @ Dec 4 2014, 02:13 PM) Algunos (finitos) enteros positivos son escritos en fila. Iterativamente, Daniel elige 2 números adyacentes x,y tales que x>y y x está a la izquierda de y, y remplaza el par (x,y) por (y+1,x) o por (x-1,x). Pruebe que Daniel solo puede repetir este proceso una cantidad finita de veces. $TEX: \noindent Supongamos que la lista consiste de $n$ enteros positivos $a_1,a_2,\ldots,a_n$ y miremosla como tupla $(a_1,a_2,\ldots, a_n)$. Notemos que si hacemos la operación sobre el par $(x,y)$ con $x\ge y+1$, entonces obtenemos el par $(y+1,x)$ o bien $(x-1,x)$, en ambos casos la primera coordenada es menor o igual a la segunda. Consideremos entonces la suma $S=b_1\cdot signo(b_1)+\ldots+b_{n-1}\cdot signo(b_{n-1})$, en donde $b_i=a_{i+1}-a_i$, para $i$ desde 1 hasta $n-1$.<br />Si hacemos cualquier operación sobre el par $(x,y)$ con $x\ge y+1$, entonces el sumando $(y-x)\cdot (-1)=x-y\ge 1$ cambia a $(x-(y+1))\cdot 1=x-y-1$ o bien a $x-(x-1)=1$, en ambos casos $S$ o bien decrece estrictamente o se mantiene. Notemos que justamente no decrece cuando $x-y=1$, o sea $x=y+1$, y en ese caso se mantiene al hacer el cambio del par $(y+1,y)$ por $(y,y+1)$. Así que o bien $S$ decrece estrictamente o vamos ordenando los pares. Como por definición $S\ge 0$, tenemos que en algún momento $S=0$ o bien la tupla está ordenada y no se pueden hacer más movimientos.$

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 4 2014, 08:05 PM Publicado: #377
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Felipe_ambuli @ Dec 4 2014, 04:34 PM) $TEX: \noindent Supongamos que la lista consiste de $n$ enteros positivos $a_1,a_2,\ldots,a_n$ y miremosla como tupla $(a_1,a_2,\ldots, a_n)$. Notemos que si hacemos la operación sobre el par $(x,y)$ con $x\ge y+1$, entonces obtenemos el par $(y+1,x)$ o bien $(x-1,x)$, en ambos casos la primera coordenada es menor o igual a la segunda. Consideremos entonces la suma $S=b_1\cdot signo(b_1)+\ldots+b_{n-1}\cdot signo(b_{n-1})$, en donde $b_i=a_{i+1}-a_i$, para $i$ desde 1 hasta $n-1$.<br />Si hacemos cualquier operación sobre el par $(x,y)$ con $x\ge y+1$, entonces el sumando $(y-x)\cdot (-1)=x-y\ge 1$ cambia a $(x-(y+1))\cdot 1=x-y-1$ o bien a $x-(x-1)=1$, en ambos casos $S$ o bien decrece estrictamente o se mantiene. Notemos que justamente no decrece cuando $x-y=1$, o sea $x=y+1$, y en ese caso se mantiene al hacer el cambio del par $(y+1,y)$ por $(y,y+1)$. Así que o bien $S$ decrece estrictamente o vamos ordenando los pares. Como por definición $S\ge 0$, tenemos que en algún momento $S=0$ o bien la tupla está ordenada y no se pueden hacer más movimientos.$ Correcto, corresponde al C1 de la Imo Shortlist 2012 -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 4 2014, 08:23 PM Publicado: #378
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	Nuevo propuesto: Una función $TEX: $f:\{1,2,\ldots,n\}\to \{1,2,\ldots,n\}$$ se dice especial si se cumple que $TEX: $f^{f(k)}(k)=k,\ \forall k\in\{1,2,\ldots,n\}$$ , en donde $TEX: $f^k$$ es componer la función f k veces. Un punto $TEX: $a\in\{1,2,\ldots,n\}$$ se dice fijo si $TEX: $f(a)=a$$ . Probar que si una función es especial, entonces tiene por lo menos $TEX: $\pi(n)-\pi(\sqrt{n})+1$$ puntos fijos, donde $TEX: $\pi(x)$$ es la función que cuenta los primos positivos menores o iguales a x. Saludos

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 5 2014, 09:24 AM Publicado: #379
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Lo primero es observar que $TEX: $f$$ es biyectiva, ya que por la condición es claramente sobreyectiva y como el dominio y recorrido de $TEX: $f$$ son finitos de igual tamaño, debe ser también inyectiva. Por lo tanto, $TEX: $f$$ es una permutación de los primeros $TEX: $n$$ enteros positivos. Para cada $TEX: $k\in\{1,...,n\}$$ , definimos $TEX: $g(k)$$ como el menor entero positivo tal que $TEX: $f^{g(k)}(k)=k$$ . Lema 1: $TEX: $\forall m\in\mathbb{Z}, k\in\{1,...,n\}$$ : $TEX: $f^m(k)=k\Rightarrow g(k)\mid m$$ . Dem: Si $TEX: $m=g(k)\cdot q+r$$ , con $TEX: $0\le r<g(k)$$ , entonces $TEX: $f^r(k)=f^{m-g(k)\cdot q}(k)=f^{-g(k)\cdot q}(f^{m}(k))=(f^{g(k)})^{-q}(k)=k$$ . Si $TEX: $r$$ fuera positivo, se contradice la definición de $TEX: $g(k)$$ , por lo tanto $TEX: $r=0$$ . $TEX: $\Box$$ Lema 2: $TEX: $\forall i\in \mathbb{Z}, k\in \{1,...,n\}$$ : $TEX: $g(f^i(k))=g(k)$$ . Dem: Como $TEX: $f^{g(k)}(k)=k\Rightarrow f^{g(k)}(f^i(k))=f^i(f^{g(k)}(k))=f^i(k)$$ . Entonces $TEX: $g(f^i(k))\mid g(k)$$ . Recíprocamente, $TEX: $f^{g(f^i(k))}(f^i(k)))=f^i(f^{g(f^i(k))}(k))=f^i(k)\Rightarrow f^{g(f^i(k))}(k)=k$$ . Luego $TEX: $g(k)\mid g(f^i(k))$$ . $TEX: $\Box$$ Con esto probaremos que todos los primos $TEX: $p$$ tales que $TEX: $\sqrt{n}<p\le n$$ , son puntos fijos. Y además que el $TEX: $1$$ también es punto fijo. Con esto se termina el problema. 1°) $TEX: $\sqrt{n}<p\le n$$ : Sea $TEX: $c=\|\{f^i(p):i\in\mathbb{Z}\}\|$$ . Entonces $TEX: $\{f^i(p):i\in\mathbb{Z}\}=\{f(p), f^2(p),...,f^c(p)\}$$ , y $TEX: $c=g(p)$$ . En particular, $TEX: $c= g(f^i(p))$$ para todo $TEX: $i\in\mathbb{Z}$$ (Lema 2). Por el Lema 1, y la condición del enunciado tenemos que $TEX: $c\mid f^{i+1}(p)$$ para todo $TEX: $i\in\mathbb{Z}$$ , entonces $TEX: $c\mid f^0(p)=p$$ . Como $TEX: $p$$ es primo, si $TEX: $c>1$$ , entonces $TEX: $c=p$$ ; luego los números $TEX: $f(p), f^2(p),...,f^p(p)$$ son todos múltiplos de $TEX: $p$$ menores o iguales a $TEX: $n$$ distintos entre sí, es decir $TEX: $p\le \frac{n}{p}$$ , lo que es una contradicción. Así, $TEX: $c=1$$ y $TEX: $p$$ es punto fijo. 2°) Al igual que en el caso anterior vemos que $TEX: $g(1)\mid 1$$ , luego $TEX: $g(1)=1$$ , y por ello el $TEX: $1$$ es punto fijo de $TEX: $f$$ . Saludos Mensaje modificado por Luffy el Dec 5 2014, 09:29 AM

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 5 2014, 11:13 AM Publicado: #380
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	Muy bien, justo lo esperado. Este problema era la parte a) del P6 de la Ibero de este año. Propone Luffy

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