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Gavier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 7 2014, 10:12 PM Publicado: #361
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 20 Registrado: 6-January 13 Miembro Nº: 114.754 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Sea $TEX: $u=\sqrt{x^2+1}$$ , $TEX: $v=\sqrt{y^2+4}$$ , $TEX: $w=\sqrt{z^2+9}$$ . Las ecuaciones serán: $TEX: $u+v+w=10$$ $TEX: $S=\sqrt{u^2-1}+\sqrt{v^2-4}+\sqrt{w^2-9}=8$$ Por Cauchy-Schwarz podemos obtener: $TEX: $S^2\leq (u+v+w)((u+v+w)-(\frac{1}{u}+\frac{4}{v}+\frac{9}{w}))$$ Usando $TEX: $u+v+w=10$$ : $TEX: $S^2\leq 10(10-(\frac{1}{u}+\frac{4}{v}+\frac{9}{w}))$$ Ahora por desigualdad de medias veamos que: $TEX: $\dfrac{5}{3}=\dfrac{u+2\cdot \frac{v}{2}+3\cdot \frac{w}{3}}{6}\geq \dfrac{6}{\frac{1}{u}+\frac{4}{v}+\frac{9}{w}}$$ Luego: $TEX: $\frac{1}{u}+\frac{4}{v}+\frac{9}{w}\geq \frac{18}{5}$$ Entonces: $TEX: $64=S^2\leq 10(10-(\frac{1}{u}+\frac{4}{v}+\frac{9}{w}))\leq 64$$ Se sigue que la desigualdad con medias se cumple, entonces tenemos $TEX: $u=\dfrac{v}{2}=\dfrac{w}{3}$$ y luego $TEX: $u=\frac{5}{3}$$ , $TEX: $v=\frac{10}{3}$$ y $TEX: $w=5$$ . Finalmente tenemos: $TEX: $x=\frac{4}{3}$$ , $TEX: $y=\frac{8}{3}$$ y $TEX: $z=4$$ $TEX: $\Rightarrow $$ $TEX: $xyz=\frac{128}{9}$$ Mensaje modificado por Gavier el Apr 8 2014, 07:16 AM

solitario Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 8 2014, 01:56 PM Publicado: #362
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 13 Registrado: 25-June 12 Miembro Nº: 108.029 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Correcto propones. Saludos.

Gavier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 8 2014, 07:00 PM Publicado: #363
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 20 Registrado: 6-January 13 Miembro Nº: 114.754 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Propongo algo que postee hace tiempo y paso de largo, algo fácil para que ojala retomemos ritmo! Un polinomio $TEX: $f(x)$$ de grado 8 y cumple $TEX: $f(i)=2^{i}$$ para $TEX: $i= 0,1,2,3,4,5,6,7,8.$$ . Calcular $TEX: $f(9)$$ .

cev Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 8 2014, 06:31 AM Publicado: #364
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.116 Registrado: 12-March 11 Miembro Nº: 84.732 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Kaissa @ Nov 3 2013, 06:59 PM) $TEX: $ $\\<br />Con gusto.\\<br />$ $\\<br />$ $\\<br />Sea $\Delta ABC$ arbitrario con:\\<br />$E$ y $F$ pies (en los correspondientes lados de $\Delta ABC$) de las alturas desde $B$ y $C$.\\<br />$G$ y $H$ pies (en los correspondientes lados de $\Delta ABC$) de las bisectrices interiores de $\angle B$ y $\angle C$.\\<br />$J$ y $K$ pies (en los correspondientes lados de $\Delta ABC$) de las cevianas de Gergone de $B$ y $C$.\\<br />$ $\\<br />No me va a creer, pero... pruebe que $\overline{EF}$, $\overline{GH}$ y $\overline{JK}$ son concurrentes!\\<br />$ $\\<br />PD: una ceviana de Gergone es la l\'inea que une el v\'ertice con el punto de tangencia del inc\'irculo con el lado opuesto de un tri\'angulo.$ Siendo $TEX: $K$$ y $TEX: $J$$ dos de los contactos del incirculo (y los 2 pies de las cevianas de Gergonne del enunciado) vamos a recordar un lema mas o menos difundido, digamos, que en el Foro fue propuesto pero no resuelto(1), que aqui lo podriamos expresar asi: sean $TEX: $B'$$ y $TEX: $C'$$ las proyecciones (ortogonales) de los vertices $TEX: $B$$ y $TEX: $C$$ , respectivamente, sobre las bisectrices $TEX: $CH$$ y $TEX: $BG$$ entonces dichos puntos y los contactos $TEX: $K$$ y $TEX: $J$$ estan alineados. uniendopies.png ( 23.18k ) Número de descargas: 0 Acabo de proponer(2) (aunque un tanto disfrazado) que, en general, en un triangulo las 3 rectas que unen a) dos pies de alturas, b) los pies de dos cevianas cualquiera (aqui las bisectrices) y c) la recta que pasa por las proyecciones de los vertices respectivos sobre dichas cevianas (aqui B'y C') son concurrentes. (Para que nos ubiquemos, cuando aqui aplicamos (2) vemos que HB'F y GC'E son los triangulos perspectivos que alli figuran en lineas rojas.) Para ver las referencias pinchar sobre los numeros (1) (2) Mensaje modificado por cev el Jun 9 2014, 01:09 PM -------------------- >>>LG

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 8 2014, 01:04 PM Publicado: #365
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	En otras palabras nos has dicho que mi propuesto se prueba demostrando dos resultados previos de los cuales no hemos visto demostración en el foro ni linkeada. No lo puedo dar por resuelto -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

cev Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 9 2014, 01:21 PM Publicado: #366
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.116 Registrado: 12-March 11 Miembro Nº: 84.732 Nacionalidad: Sexo:	Uhh, bueno, que webon que soy, ahi edite un cartelito. Puede que no hayas clikeado. La referencia (1) tiene su demostracion en este link, en el problema 2.1 (me hubiese gustado que un fmatiano lo resuelva) http://www.google.com.ar/url?sa=t&rct=...aWM&cad=rja Y la ref. (2) es un propuesto que postie dias pasados y que creo haber resuelto. -------------------- >>>LG

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 1 2014, 07:04 PM Publicado: #367
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	Pa' devolver el rio a su cause (8) Sean $TEX: $x,y,z$$ reales distintos de cero, tales que $TEX: $xy,yz,xz$$ son racionales. Pruebe que: i) $TEX: $x^2+y^2+z^2 \in \mathbb{Q}$$ ii) Si $TEX: $x^3+y^3+z^3 \in \mathbb{Q} - \{ 0\}$$ entonces $TEX: $x,y,z$$ son racionales Mensaje modificado por Niklaash el Sep 1 2014, 07:05 PM

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 7 2014, 08:13 PM Publicado: #368
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	Propongo otro :3 Solucion al propuesto anterior: i) Como $TEX: $xy,yz,xz \in \mathbb{Q}$$ entonces $TEX: $\displaystyle \frac{(xy)(zx)}{(yz)}=x^2 \in \mathbb{Q}$$ , de manera analoga tenemos que $TEX: $y^2,z^2 \in \mathbb{Q}$$ , sumamos y estamos ii) Usando i) tenemos que $TEX: $(x^2)^2+(xy)y^2+(xz)z^2 = x(x^3+y^3+y^3) \in \mathbb{Q} \Rightarrow x \in \mathbb{Q}$$ , pues $TEX: $x^3+y^3+z^3 \in \mathbb{Q}$$ , de manera analoga, tenemos que $TEX: $y,z \in \mathbb{Q}$$ y estamos listekis Fuente: Rumania 2001 En un $TEX: $\triangle ABC$$ , $TEX: $D$$ es el punto medio de $TEX: $\overline{AB}$$ , $TEX: $E \in \overline{BC}$$ tal que $TEX: $BE=2EC$$ . Si se sabe que $TEX: $\measuredangle ADC \cong \measuredangle BAE$$ . Calcule el valor del $TEX: $\measuredangle BAC$$ Mensaje modificado por Niklaash el Sep 7 2014, 08:21 PM

cev Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 7 2014, 09:29 PM Publicado: #369
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.116 Registrado: 12-March 11 Miembro Nº: 84.732 Nacionalidad: Sexo:	Llamamos P a la interseccion de CD con AE, luego aplicamos Menelao al triangulo DBC considerando la transversal APE. Asi, (BE/CE)(CP/PD)(AD/AB)=1=(2)(CP/PD)(1/2), luego CP=PD. Por enunciado se ve que PD=AP entonces el triangulo ADC es rectangulo en A, luego el angulo pedido es 90. -------------------- >>>LG

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 7 2014, 09:44 PM Publicado: #370
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	Correcto, proponga :3

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