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cev Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 29 2014, 11:53 AM Publicado: #341
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.116 Registrado: 12-March 11 Miembro Nº: 84.732 Nacionalidad: Sexo:	Sea $TEX: $ABCD$$ un trapecio isosceles con base mayor $TEX: $AB$$ . Sus diagonales y sus lados no paralelos intersectan en $TEX: $O$$ y $TEX: $P$$ , respectivamente. Sea $TEX: $Q$$ un punto sobre el circuncirculo de $TEX: $ABCD$$ y diametralmente opuesto a $TEX: $B$$ . Pruebe que la circunferencia que pasa por $TEX: $P$$ , $TEX: $O$$ y $TEX: $Q$$ es tangente a $TEX: $BQ$$ . Mensaje modificado por cev el Jan 29 2014, 11:56 AM -------------------- >>>LG

asdayuyi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 29 2014, 04:39 PM Publicado: #342
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 81 Registrado: 10-November 12 Miembro Nº: 112.735 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Vamos a demostrar que la circunferencia que pasa por P, O y B es tangente a BQ (i), como P, O y el centro del circuncírculo de ABCD son colineales tenemos que la recta que pasa por dichos puntos es perpendicular a AB, luego como QA es perpendicular a AB se tiene que QA y PO son paralelas, luego <CPO=<OPA=<PAQ=<DBQ, de esto se obtiene el resultado (i). Sea K el centro del circuncírculo de ABCD, usando (i) por potencia de punto se tiene que KB^2 = OK·KP pero KB=KQ, luego KQ^2=OK·KP de donde el resultado es directo. Con eso estamos ready. Sorry por el dibujo no tengo como Mensaje modificado por asdayuyi el Jan 29 2014, 06:48 PM

cev Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 29 2014, 06:35 PM Publicado: #343
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.116 Registrado: 12-March 11 Miembro Nº: 84.732 Nacionalidad: Sexo:	Si ya se ve para que lado vas, y esta muy bien, pero ahi tenes algun lio con la letra Q (aparentemente) porque por ej. "QA y PQ son paralelas" , "<CPQ=<QPA=<PAQ=<DBQ", "KB^2 = QK·KP" no lo veo bien, en fin revisalo todo. -------------------- >>>LG

asdayuyi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 29 2014, 06:49 PM Publicado: #344
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 81 Registrado: 10-November 12 Miembro Nº: 112.735 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	ahí está editado, había confundido Q con O, ahora parece que si

cev Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 29 2014, 06:54 PM Publicado: #345
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.116 Registrado: 12-March 11 Miembro Nº: 84.732 Nacionalidad: Sexo:	Listo, listo, impecable che. Ahora a proponer. -------------------- >>>LG

asdayuyi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 29 2014, 07:10 PM Publicado: #346
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 81 Registrado: 10-November 12 Miembro Nº: 112.735 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Sea n un entero positivo y p un primo. Pruebe que si a,b,c son enteros tales que: $TEX: $a^n+pb=b^n+pc=c^n+pa$$ entonces a=b=c

asdayuyi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 2 2014, 09:17 PM Publicado: #347
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 81 Registrado: 10-November 12 Miembro Nº: 112.735 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Basada en la regla dos cambio el problema, para que la maratón no pierda continuidad. Otro día coloco mi solucion que ahora tengo cosas que hacer. Las longitudes de los lados de un hexágono convexo satisfacen que AB=BC, CD=DE, EF=FA. Pruebe que $TEX: $\displaystyle \frac{BC}{BE}+\displaystyle \frac{DE}{DA}+\displaystyle \frac{FA}{FC}\ge \displaystyle \frac{3}{2}$$ Saludosss <3

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 3 2014, 04:54 AM Publicado: #348
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	Hola bb <3 Solucion_3.png ( 14.49k ) Número de descargas: 1 Aplicando teorema de Ptolomeo en el cuadrilatero $TEX: $ABCE$$ tenemos: $TEX: $AB \cdot CE + BC \cdot AE \geq AC \cdot BE$$ , pero $TEX: $AB=BC$$ , sacando factor comun y dividiendo por $TEX: $BE$$ se tiene $TEX: $\frac{BC}{BE} \geq \frac{AC}{AE+CE}$$ de forma analoga, de los cuadrilateros $TEX: $CDEA$$ y $TEX: $EFAC$$ se desprende: $TEX: $\frac{DE}{AD} \geq \frac{CE}{AE+AC}$$ y $TEX: $\frac{AF}{CF} \geq \frac{AE}{AC+CE}$$ Sumando estos chorizos $TEX: $\frac{BC}{CE}+\frac{DE}{AD}+\frac{AF}{CF} \geq \frac{AC}{AE+BE}+\frac{CE}{AE+AC}+\frac{AE}{AC+CE}$$ , de esto lo pedido es directo, ya que la ultima desigualdad es la de Nesbitt. Besitos para ti :**

asdayuyi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 3 2014, 09:49 AM Publicado: #349
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 81 Registrado: 10-November 12 Miembro Nº: 112.735 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Correcto Fuente: IMO Shortlist 97 Proponga :3

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 3 2014, 01:07 PM Publicado: #350
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	Gracias :3 Sea $TEX: $A$$ el subconjunto de numeros enteros que cumple las siguientes condiciones: $TEX: $\centerdot$$ $TEX: $0 \in A$$ $TEX: $\centerdot$$ Si $TEX: $x^2-6x+9 \in A \Rightarrow x \in A$$ $TEX: $\centerdot$$ Si $TEX: $x \in A \Rightarrow x^2 \in A$$ Demuestre que: 1. Existen $TEX: $a,b,c,d \in A$$ no nulos, tales que $TEX: $a+b+c+d=0$$ 2. $TEX: $2013 \in A$$

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