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Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 27 2014, 07:36 PM Publicado: #331
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: $ $\\<br />Para nadie es un misterio que si $a$, $b$ y $c$ son las tangentes trigonom\'etricas de los \'angulos interiores de un tri\'angulo entonces $a+b+c=abc$.\\<br />Despejamos y tenemos $c =\dfrac{a+b}{1-ab}$ y trabajamos por casos:\\<br />Si $c=1$ tenemos que $a=\dfrac{b+1}{b-1}=1+\dfrac{2}{b-1}$ y por tanto $b=3$ de donde $a=2$ y tenemos nuestra primera soluci\'on $(a,b,c)=(2,3,1)$.\\<br />El caso en que alguna letra fuese un cero no tiene gracia por ser tangentes.\\<br />Asumamos finalmente que $a,b,c>1$, entonces $1>c=\dfrac{a+b}{1-ab}$ de donde $1-ab<a+b$ es decir $a<1+\dfrac{2}{b-1}\leq3$.\\<br />Es decir, en cualquier caso $a,b,c\leq3$ as\'i que la \'unica soluci\'on (excepto permutaciones) es $(a,b,c)=(1,2,3)$.$ -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Heiricar Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 27 2014, 08:49 PM Publicado: #332
Dios Matemático Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 423 Registrado: 4-January 11 Miembro Nº: 82.624 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Correcto!, propones. (aunque podrías haber comentado acerca del caso en que la tangente es negativa)

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 27 2014, 11:26 PM Publicado: #333
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Vamos con la pregunta geométrica de hoy (léase como mico el micófono) $TEX: $ $\\<br />Sea $\Delta ABC$ un tri\'angulo cualquiera de incentro $I$ y de circunc\'irculo $\kappa$.\\<br />Pongamos $\overline{AL}$ (con $L\in\overline{BC}$) bisectriz de $\angle A$.\\<br />El c\'irculo $\mathcal{C}(I,AI)$ corta a $\kappa$ en $D$ y $E$ y sea finalmente $F$ la intersecci\'on entre $\overline{AL}$ y $\overline{DE}$.\\<br />$ $\\<br />Ahora la maravisha: pruebe que $IL=IF$.$ -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Arquimediano Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2014, 03:06 AM Publicado: #334
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 47 Registrado: 13-February 13 Miembro Nº: 115.416 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Kaissa @ Jan 27 2014, 11:26 PM) $TEX: El c\'irculo $\mathcal{C}(I,AI)$ ...$ ¿No será $TEX: $\mathcal{C}(A,AI)$$ ?

cev Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2014, 08:23 AM Publicado: #335
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.116 Registrado: 12-March 11 Miembro Nº: 84.732 Nacionalidad: Sexo:	Lo que sucede aqui es que A es el punto medio de del arco DE, luego si AL corta a K en Q, QA es la bicectriz del angulo DQE. La construccion en la que la interceccion de la circunferencia C y la bisectriz QA intersectan en el incentro del triangulo DQE, es bien conocida. Entonces si los puntos de contacto de este incirculo comun a los 2 triangulos son T y T' con BC y DE, respectivamente, los triangulos ITL y IT'F son congruentes y de ahi que IF=IL -------------------- >>>LG

cev Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2014, 09:57 AM Publicado: #336
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.116 Registrado: 12-March 11 Miembro Nº: 84.732 Nacionalidad: Sexo:	lo anterior tiene una parte que tal vez no sea tan evidente, la explico Si O es el circuncentro de K sabemos que OAQ es isosceles en O. OA//IT', OQ//IT luego por alt. internos los angulos T'IF=IAO y TIL=IQO (e iguales entre si). Bueno que IT=IT' y que los angulos FT'I y LTI miden 90 eso es facil ver y entonces con criterio ALA se demuestra que ITL y IT'F son congruentes. Se podria explicar con eje radical, tambien. -------------------- >>>LG

cev Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2014, 03:42 PM Publicado: #337
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.116 Registrado: 12-March 11 Miembro Nº: 84.732 Nacionalidad: Sexo:	¿Conoces el dicho "la tercera es la vencida"?, pongamoslo a prueba. Releo y me pregunto ¿por que el incirculo es comun a los 2 triangulos? Si construimos el incentro de ABC con una circunferencia de centro Q y radio QB=QC=QI tenemos que esta es tg a C. Luego BC, DE y la recta tg por I son los ejes radicales de las 3 circunferencia y concurren en, digamos P (centro radical), se entiende que PI es perpendicular a AQ. Con el triangulo isosceles OAQ nos damos cuenta que DE y BC forman el mismo angulo respecto de PI entonces FPL es isosceles en P y entonces IF=IL (xDDD!!!!) y de ahi que IT=IT', ambos inradios de ABC y DQE Mensaje modificado por cev el Jan 28 2014, 06:47 PM -------------------- >>>LG

El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2014, 11:20 PM Publicado: #338
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	. Mensaje modificado por El Geek el Jun 27 2020, 09:20 AM -------------------- Me voy, me jui.

cev Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 29 2014, 09:42 AM Publicado: #339
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.116 Registrado: 12-March 11 Miembro Nº: 84.732 Nacionalidad: Sexo:	Hola Geek, bueno pero vamos a esperar a Kaissa un poco mas. -------------------- >>>LG

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 29 2014, 10:10 AM Publicado: #340
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Hola cev. Le pedí al Geek que validara tu solución para no parar la maratón. Respecto de tu olfato geométrico te comento que precisamente este problema recae un tanto en el porisma de Poncelet para poder ser resuelto. Excelente solución, por lo demás! Puedes proponer. -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

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