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coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 18 2013, 10:25 PM Publicado: #311
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	$TEX: $p=2$ no cumple la condición en cuestión y $p=3$ sí. Afirmamos que ningún primo $p>3$ cumple la condición dada. En efecto, si $p>3$ es un número primo, entonces del pequeño teorema de Fermat se sigue que $p^{2} \equiv 1\pmod{3}.$ Por otro lado, al ser $p$ impar entonces $2^{p} \equiv 2 \pmod{3}$ y en conclusión $3\|p^{2}+2^{p}$. Como $p^{2}+2^{p}>3$ para $p>3$, terminamos.$ -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

Heiricar Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 19 2013, 06:13 PM Publicado: #312
Dios Matemático Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 423 Registrado: 4-January 11 Miembro Nº: 82.624 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Perfecto coquitao, ¡que bueno verte de vuelta ! Te toca proponer

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 19 2013, 07:35 PM Publicado: #313
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	A partir de cada vértice de un triángulo, los lados adyacentes se prolongan una longitud igual a la del lado opuesto. Muestre que los seis puntos extremos de las prolongaciones se encuentran sobre una circunferencia. Determine el radio de tal circunferencia en función de los lados del triángulo. -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 19 2013, 07:55 PM Publicado: #314
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Ya, no he dicho nada. Se lo dejo a alguien más. Mensaje modificado por Kaissa el Nov 19 2013, 08:00 PM -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 19 2013, 08:03 PM Publicado: #315
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	CITA(Kaissa @ Nov 19 2013, 05:55 PM) Disculpa lo idiota de mi pregunta pero imagino que no quieres que usemos directamente el teorema de Carnot ¿verdad?, si no esto sale directo. Sí, esperaba una solución con principios básicos pero como no lo mencioné explícitamente, la ruta que mencionas también sería válida (supongo). Saludos. -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

cev Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 20 2013, 12:06 PM Publicado: #316
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.116 Registrado: 12-March 11 Miembro Nº: 84.732 Nacionalidad: Sexo:	un comentario: Me resulto facil llegar a demostrar que los 6 puntos son conciclicos, a deducir cual es su centro y tambien el radio que es $TEX: $R=\sqrt{\dfrac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}+s^2}$$ (donde s=semiperimetro) pero (para mi) lo dificil es simplificar esta expresion. Lo de facil no quita lo interesante del problema. -------------------- >>>LG

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 20 2013, 09:09 PM Publicado: #317
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Deberías simplemente poner tu solución, cev. Personalmente desconozco la forma de mostrar el radio del circuncírculo del hexágono no obstante su ciclicidad es evidente. Mensaje modificado por Kaissa el Nov 20 2013, 09:09 PM -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

cev Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 20 2013, 10:09 PM Publicado: #318
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.116 Registrado: 12-March 11 Miembro Nº: 84.732 Nacionalidad: Sexo:	Bueno Kaissa, ahi va lo que hice, El triangulo $TEX: $A'B''C$$ es isosceles pues sus lados laterales miden $TEX: $(a+b)$$ luego por igual motivo tenemos que $TEX: $A''BC'$$ y $TEX: $C''AB'$$ tambien son isosceles. Entonces es facil ver que sus respectivas alturas concurren en $TEX: $P$$ , alturas que pasan a ser bisectrices interiores del triangulo $TEX: $ABC$$ , luego $TEX: $P$$ es el incentro de este. Bajo la hipotesis de que $TEX: $A'$$ , $TEX: $B'$$ , $TEX: $C''$$ y $TEX: $A''$$ son puntos conciclicos, tomamos potencia de $TEX: $A$$ y comprobamos que efectivamente esta es cte e igual a $TEX: $a(b+c)$$ . Lo mismo hacemos para comprobar que $TEX: $B''$$ , $TEX: $B'$$ , $TEX: $C'$$ y $TEX: $A''$$ son conciclicos tomando potencia de $TEX: $B$$ , como en estos 2 conjuntos de puntos hay 2 puntos en comun, entonces quedan comprendidos los 6 puntos bajo una misma circunferencia. Estas 3 cuerdas (A'C'', B''C, B'A'') son congruentes y equidistantes de $TEX: $P$$ asi que $TEX: $P$$ es equidistante de los 6 puntos. Trazamos el inradio $TEX: $r$$ de $TEX: $ABC$$ y el radio $TEX: $R$$ de la circunscrita a los 6 puntos. El triangulo rectangulo $TEX: $*''$$ tiene como catetos a $TEX: $r$$ y $TEX: $s$$ el semi perimetro de $TEX: $ABC$$ (por ser PB'A'' isosceles). Por Heron sabemos que el $TEX: $(ABC)=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$ , tambien conocemos la relacion del area con el inradio $TEX: $(ABC)=sr$$ , igualando, depejando $TEX: $r$$ y elevandolo al cuadrado tenemos que $TEX: $r^2=\dfrac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}$$ . Aplicando Pitagoras en $TEX: $''$$ tenemos $TEX: $R^2=r^2+s^2\rightarrow <br />R=\sqrt{\dfrac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}+s^2}$$ Archivo(s) Adjunto(s)* maratonfmat.PNG ( 9.3k ) Número de descargas: 0 -------------------- >>>LG

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 21 2013, 11:13 AM Publicado: #319
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	yaaaaaaapo vamos al siguiente problema! -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 21 2013, 11:28 AM Publicado: #320
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	CITA(Kaissa @ Nov 21 2013, 09:13 AM) yaaaaaaapo vamos al siguiente problema! Supongo que sí. Aunque igual, es algo fome que con que alguien diga "tengo una solución" se considere al problema como resuelto. -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

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