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asdayuyi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 3 2013, 05:38 PM Publicado: #301
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 81 Registrado: 10-November 12 Miembro Nº: 112.735 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Aquí voyy espero se entienda El truco está en darse cuenta que el hecho de que dos hormigas choquen y cambien de sentido, se puede interpretar de la siguiente forma: ambas hormigas pasan de largo y continúan en su misma dirección, luego si una hormiga está en el borde de la vara y debe recorrerla entera, se tiene el caso en el que se ocupa la mayor cantidad de tiempo, luego para asegurarse que todas estén fuera de la vara es lo que demora dicha hormiga en recorrer la vara completa, como cada hormiga recorre 1 metro por minuto, y la vara mide un metro, basta con esperar 1 minuto para asegurarse que estén todas fuera. cariños<3

Heiricar Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 3 2013, 06:23 PM Publicado: #302
Dios Matemático Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 423 Registrado: 4-January 11 Miembro Nº: 82.624 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	¡buenísima!, te toca proponer

asdayuyi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 3 2013, 06:40 PM Publicado: #303
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 81 Registrado: 10-November 12 Miembro Nº: 112.735 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Sean ABC y ABD triángulos equiláteros del plano con C distinto de D. Para un punto variable X del segmento BC, sea Y la intersección de las rectas AC y DX, y sea P la intersección de las rectas AX y BY. Demostrar que P pertenece a la circunferencia circunscrita del triángulo ABC.

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 3 2013, 06:48 PM Publicado: #304
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Resuelto por mi en forma púramente geométrica y generalizado xD Mensaje modificado por Kaissa el Nov 3 2013, 06:48 PM -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

asdayuyi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 3 2013, 06:50 PM Publicado: #305
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 81 Registrado: 10-November 12 Miembro Nº: 112.735 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Propones

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 3 2013, 06:59 PM Publicado: #306
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: $ $\\<br />Con gusto.\\<br />$ $\\<br />$ $\\<br />Sea $\Delta ABC$ arbitrario con:\\<br />$E$ y $F$ pies (en los correspondientes lados de $\Delta ABC$) de las alturas desde $B$ y $C$.\\<br />$G$ y $H$ pies (en los correspondientes lados de $\Delta ABC$) de las bisectrices interiores de $\angle B$ y $\angle C$.\\<br />$J$ y $K$ pies (en los correspondientes lados de $\Delta ABC$) de las cevianas de Gergone de $B$ y $C$.\\<br />$ $\\<br />No me va a creer, pero... pruebe que $\overline{EF}$, $\overline{GH}$ y $\overline{JK}$ son concurrentes!\\<br />$ $\\<br />PD: una ceviana de Gergone es la l\'inea que une el v\'ertice con el punto de tangencia del inc\'irculo con el lado opuesto de un tri\'angulo.$ -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 10 2013, 11:48 AM Publicado: #307
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Bueno, ha pasado bastante tiempo y la idea es no dejar estas iniciativas en el pasado. Somos fmat, no un preuniversitario... Respecto del problema: Debo mencionar que no conozco demostración geométrica de este hecho, más bien mi demo usa las baricéntricas de los pies de los puntos considerados. Cambio por otro del mismo tipo pero más sencillo: $TEX: $ $\\<br />Siendo $\Delta ABC$ cualquiera, $E_{A}$ y $E_{B}$ el $A$ y $B$-excentro respectivamente, pruebe que el circunc\'irculo de $\Delta ABC$ corta a $\overline{E_{A}E_{B}}$ a la mitad (considere el punto de intersecci\'on distinto a $A$).\\<br />En otras palabras, pruebe que el circunc\'irculo de $\Delta ABC$ es la circunferencia de los nueve puntos de su tri\'angulo excentral.$ Mensaje modificado por Kaissa el Nov 10 2013, 11:49 AM -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Heiricar Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 17 2013, 12:23 PM Publicado: #308
Dios Matemático Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 423 Registrado: 4-January 11 Miembro Nº: 82.624 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	No había visto que habías cambiado el problema Solución: la bisectriz interior y exterior de un mismo angulo son perpendiculares, ahora con esto en mente si nos concentramos en el triangulo $TEX: $E_{A}E_{B}E_{C}$$ tenemos que los segmentos $TEX: $E_{A}A$$ , $TEX: $E_{B}B$$ , $TEX: $E_{C}C$$ son alturas, luego la circunferencia circunscrita al triangulo $TEX: $ABC$$ es la circunferencia de los 9 puntos del triangulo $TEX: $E_{A}E_{B}E_{C}$$ por lo que pasa por el punto medio de $TEX: $E_{A}E_{B}$$ . PD: Diste el medio hint con lo de la circunferencia de los nueve puntos

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 17 2013, 11:35 PM Publicado: #309
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Como esta es una maratón olímpica asumiré que los demás conciliábulos conocen la existencia de dicha circunferencia. Mi intención era que se diera una demo autocontenida, de hecho lo tenía pensado con angle chasing: $TEX: <br />$ $\\<br />Sea $I$ el incentro de $\Delta ABC$ y sea $M$ la otra intersecci\'on de $\overline{E_{A}E_{B}}$ con $(ABC)$.\\<br />$ $\\<br />1- $X=\overline{AE_{A}}\cap(ABC)\Longrightarrow XI=XE_{A}$.\\<br />2- $AXMC$ c\'iclico $\Longrightarrow \measuredangle XME_{A}=\measuredangle CAX$.\\<br />3- $E_{B}CIA$ c\'iclico $\Longrightarrow\measuredangle CAX=\measuredangle CAI=\measuredangle CE_{B}I$.\\<br />De (2) y (3) $\overline{XM}\\|\overline{E_{B}I}$.\\<br />De lo anterior y (1), $E_{A}M=E_{B}M$.<br />$ Problema resuelto así que proponga. Mensaje modificado por Kaissa el Nov 17 2013, 11:38 PM -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Heiricar Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 18 2013, 08:26 PM Publicado: #310
Dios Matemático Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 423 Registrado: 4-January 11 Miembro Nº: 82.624 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Problema: Encuentre todos los primos $TEX: $p$$ tales que $TEX: $2^{p}+p^2$$ sea un numero primo. Saludos

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