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Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 29 2011, 11:25 PM Publicado: #31
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	CITA(xD13G0x @ Apr 29 2011, 11:54 PM) solucion correcta. proponga su ***. (no tengo fuente xd) No estoy de acuerdo. La solucion no es correcta porque: 1. no funciona para p=2 o 5, y no se mencionan esos casos. 2. no tiene sentido mirar modulo p el numero 0.5. Eso es muy distinto de trabajar con el inverso de 2 modulo p. 3. (y mas importante) no esta justificado por que puede tomar modulo p de un numero irracional (lo cual simplemente esta malo, no es que falte la justificacion). Los numeros de Fibonacci son enteros asi que se pueden ver modulo p, pero cuando miras modulo p los sumandos que componen la formula de Binet eso no es correcto. 4. falta usar reciprocidad cuadratica al final (el simbolo de legendre te qudo invertido). La objecion teorica es que estas queriendo hacer operatoria con un elemento de una extension del campo de p elementos, dentro del campo con p elementos. Esto es un error muy comun entre alumnos de cursos superiores incluso: cuando estudias un objeto definido sobre Q hay una forma de estudiarlo modulo p (que no es trivial). Lo alumnos tienden simplemente a poner "mod p" y trabajar con eso (por ejemplo, creen que las soluciones modulo p de una ecuacion son lo mismo que la reduccion de sus soluciones enteras, lo que es FALSO!). Voy a pensar en algun ejemplo mas concreto para contarles. En todo caso, sigamos adelante no mas! -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 29 2011, 11:34 PM Publicado: #32
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	honestamente yo tampoco me la creia su solucion del pedantic (si bien tiene ideas correctas me parece), pero porque este qlio me presiono, la valide nomas, en fin, sigamos adelante. En todo caso, le falta mucha justificacion a la solucion, aun asi este correcta. -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 29 2011, 11:38 PM Publicado: #33
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Pasten @ Apr 30 2011, 12:25 AM) No estoy de acuerdo. La solucion no es correcta porque: 1. no funciona para p=2 o 5, y no se mencionan esos casos. 2. no tiene sentido mirar modulo p el numero 0.5. Eso es muy distinto de trabajar con el inverso de 2 modulo p. 3. (y mas importante) no esta justificado por que puede tomar modulo p de un numero irracional (lo cual simplemente esta malo, no es que falte la justificacion). Los numeros de Fibonacci son enteros asi que se pueden ver modulo p, pero cuando miras modulo p los sumandos que componen la formula de Binet eso no es correcto. 4. falta usar reciprocidad cuadratica al final (el simbolo de legendre te qudo invertido). La objecion teorica es que estas queriendo hacer operatoria con un elemento de una extension del campo de p elementos, dentro del campo con p elementos. Esto es un error muy comun entre alumnos de cursos superiores incluso: cuando estudias un objeto definido sobre Q hay una forma de estudiarlo modulo p (que no es trivial). Lo alumnos tienden simplemente a poner "mod p" y trabajar con eso (por ejemplo, creen que las soluciones modulo p de una ecuacion son lo mismo que la reduccion de sus soluciones enteras, lo que es FALSO!). Voy a pensar en algun ejemplo mas concreto para contarles. En todo caso, sigamos adelante no mas! 1. Tengo entendido que ni 2 ni 5 son mayores que 5. 2. Claro, pude haber trabajado con 2´-1, pero no tiene mucho sentido discutir eso. 3. Nunca trate un numero irracional mod p, solo su suma, que es racional por sierto. 4.Eso ya lo habias hecho tu, y es directo, no encontre necesario explicarlo denuevo. En fin, no nos quedemos en trivialidades, quise ser lo mas directo posible nomas. Mensaje modificado por Pedantic Anarchy el Apr 29 2011, 11:38 PM -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 30 2011, 03:28 AM Publicado: #34
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Pedantic Anarchy @ Apr 30 2011, 12:00 AM) Sean O,H el circuncentro y ortocentro del triangulo ABC, respectivamente. Llamemos M,N a los puntos medios de BH y CH, respectivamente. Defina B´ como el punto diametralmente opuesto con B, respecto al circuncirculo del ABC. Pruebe que si HONM es un cuadrilatero ciclico, entonces B´N=AC/2 Lo unico que hay que demostrar es que OH//MN, lo demas es obvio. Lema 1: R, S dos circunferencias que se cortan en dos puntos, L la recta que pasa por las intersecciones. U,V puntos en S; X,Y puntos en R y suponga que UV//L y que XU, YV son ortogonales a L (por ende a UV). Entonces XY//L. Demostracion: Trivial. Lema 2: Sea ABC triangulo. Hay una circunferencia S que pasa por los 3 pies de las alturas, por los 3 puntos medios de los lados, y por los puntos medios de los segmentos HA, HB, HC donde H es el ortocentro de ABC. Mas aun, el centro de esta curcunferencia es el punto medio de OH donde O es el circuncentro ABC. Demostracion: esto es bien conocido. De todas formas la demostracion es simple, hay un monton de angulos rectos y diametros. Demostracion de que OH//MN: Sea R la circunferencia que pasa por O,M,N,H, y sea S la circunferencia del lema 2. Tome U=punto medio de BC V=pie de la altura desde A X=O, Y=H Para aplicar el lema 1 observamos que L corresponde a la recta MN, la cual es paralela a la recta BC, o sea L//UV. Las perpendicularidades son evidentes por definicion de O y H. Con esto podemos usar el lema 2 y tenemos OH//MN. Finalmente, para concluir observamos primero que OBC es isosceles de base BC, y que OH//BC (como ya demostramos) asi que la recta OH es bisectriz del angulo <COB'. Pero O es el circuncentro de ABC asi que C y B' son reflejos por la recta OH. Segundo, sea P el pie de la altura desde B, y Q el punto medio de AC. Entonces <BPQ=90 luego <MNQ=90 pero OH es paralela a MN y pasa por el centro de S (lema 2), asi que N y Q son reflejos por OH. Con esto tenemos AC=2CQ=2B'N, como se pedia. Saludos Mensaje modificado por Pasten el Apr 30 2011, 03:30 AM -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 30 2011, 09:54 AM Publicado: #35
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solucion correcta. Fuente: TST Iran 2010 Saludos -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 30 2011, 10:36 AM Publicado: #36
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	Encuentre todas las soluciones enteras de la ecuacion $TEX: $x^4=1+4z^4$$ . Saludos ------------- EDIT: Por error habia posteado un problema tremendamente dificil. Este si es adecuado. Mensaje modificado por Pasten el Apr 30 2011, 10:43 AM -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

nagernager Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 30 2011, 11:06 AM Publicado: #37
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 192 Registrado: 23-August 10 Miembro Nº: 75.906 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: $x^4=1+4z^4$$ $TEX: $k=x^4-4z^4=1$$ $TEX: $k=(x^2-2z^2)(x^2+2z^2)=1$$ $TEX: Como ambos factores son enteros y su producto es equivalente a 1 entonces tenemos 2 casos$ $TEX: caso 1$ $TEX: $x^2-2z^2=1$$ $TEX: $x^2+2z^2=1$$ $TEX: Sumando y resolviendo obtenemos las soluciones $(x,z)=(1,0),(-1,0)$$ caso 2 $TEX: $x^2-2z^2=-1$$ $TEX: $x^2+2z^2=-1$$ $TEX: Sumando obtenemos que $2x^2=-2$ , por lo tanto este caso no posee soluciones$ $TEX: Las soluciones del problema son $(x,z)=(1,0),(-1,0)$$ Mensaje modificado por nagernager el Apr 30 2011, 02:35 PM

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 30 2011, 11:08 AM Publicado: #38
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	esta un poco sencillo xd Es equivalente a $TEX: $1=x^4-(2z^2)^2=(x^2-2z^2)(x^2+2z^2)$$ . Si $TEX: $\|z\|\ge 1$$ entonces $TEX: $(x^2+2z^2)-(x^2-2z^2)=4z^2\ge 4$$ osea alguno de $TEX: $x^2+2z^2, x^2-2z^2$$ tiene un factor primo, lo cual no puede pasar. Asi que $TEX: $z=0$$ y luego $TEX: $x=\pm1$$ -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 30 2011, 11:21 AM Publicado: #39
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	CITA(nagernager @ Apr 30 2011, 12:06 PM) $TEX: $x^4=1+4z^4$$ $TEX: $k=x^4-4z^4=1$$ $TEX: $k=(x^2-2z^2)(x^2+2z^2)=1$$ $TEX: Como ambos factores son enteros y su producto es equivalente a 1 entonces tenemos 2 casos$ $TEX: caso 1$ $TEX: $x^2-2z^4=1$$ $TEX: $x^2+2z^4=1$$ $TEX: Sumando y resolviendo obtenemos las soluciones $(x,z)=(1,0),(-1,0)$$ caso 2 $TEX: $x^2-2z^4=-1$$ $TEX: $x^2+2z^4=-1$$ $TEX: Sumando obtenemos que $2x^2=-1$ , por lo tanto este caso no posee soluciones$ $TEX: Las soluciones del problema son $(x,z)=(1,0),(-1,0)$$ Buena idea, pero lamentablemente tienes z^4 en vez de z^2 en tus ecuaciones, y ademas el "caso 2" tiene un error (-1-1=-2). CITA(xD13G0x @ Apr 30 2011, 12:08 PM) esta un poco sencillo xd Es equivalente a $TEX: $1=x^4-(2z^2)^2=(x^2-2z^2)(x^2+2z^2)$$ . Si $TEX: $\|z\|\ge 1$$ entonces $TEX: $(x^2+2z^2)-(x^2-2z^2)=4z^2\ge 4$$ osea alguno de $TEX: $x^2+2z^2, x^2-2z^2$$ tiene un factor primo, lo cual no puede pasar. Asi que $TEX: $z=0$$ y luego $TEX: $x=\pm1$$ Correcto! Fuente: no hay. Es un problemita simple para que se animen a resolver! Propone xD13G0x -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 30 2011, 11:25 AM Publicado: #40
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	Era que le hayas dado al nager para proponer xd. Propondre uno no tan facil pero tampoco tan dificil. Encontrar todos enteros positivos n tal que para todo entero x $TEX: $x^{25}\equiv x \mod n$$ Mensaje modificado por xD13G0x el Apr 30 2011, 11:25 AM -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

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