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Heiricar Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 15 2013, 08:45 PM Publicado: #291
Dios Matemático Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 423 Registrado: 4-January 11 Miembro Nº: 82.624 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Como nadie soluciono el problema voy a dar mi solución y lo cambio por otro. Para demostrar que $TEX: $A_{1}B_{2}$$ es congruente con $TEX: $A_{2}B_{1}$$ basta notar que por LAL los triángulos $TEX: $B_{2}CB$$ y $TEX: $A_{2}AC$$ son congruentes de donde $TEX: $B_{2}C=A_{2}C$$ y $TEX: $\measuredangle ACA_{2}=\measuredangle CB_{2}B$$ , de igual modo por LAL los triángulos $TEX: $AA_{1}C$$ y $TEX: $BCB_{1}$$ son congruentes de donde $TEX: $A_{1}C=B_{1}C$$ y $TEX: $\measuredangle A_{1}CA=\measuredangle BB_{1}C$$ , además como los ángulos $TEX: $\measuredangle A_{2}CB_{1}$$ y $TEX: $\measuredangle B_{2}CA_{1}$$ son congruentes (esto se puede ver notando que la suma de los algunos en el triangulo $TEX: $B_2CE$$ es igual a la suma de los ángulos en el triangulo $TEX: $B_{1}EC$$ ) tenemos que los triangulos $TEX: $A_{2}CB_{1}$$ y $TEX: $B_{2}CA_{1}$$ son congruentes por LAL de donde se sigue lo pedido. asdfd.png ( 29.98k ) Número de descargas: 0 Ahora sea $TEX: $H$$ el ortocentro, las rectas $TEX: $B_{2}A_{1}$$ y $TEX: $A_{2}B_{1}$$ se intersectan en $TEX: $H_{1}$$ para probar que los segmentos son perpendiculares ubicamos el punto C' tal que el cuadrilátero $TEX: $BCAC'$$ sea un paralelogramo (y nos olvidamos del punto $TEX: $C$$ ), ahora si nos damos cuenta los triángulos $TEX: $C'A_{1}A$$ , $TEX: $C'B_{2}B$$ , $TEX: $C'AA_{2}$$ y $TEX: $C'BB_{1}$$ son todos isósceles rectángulo, luego los cuadrilateros $TEX: $B_{2}A_{1}HC$$ y $TEX: $B_{1}A_{2}HC$$ son cíclicos, de esto se desprende que $TEX: $C'$$ es el punto de miquel* del triangulo $TEX: $A_{2}H_{1}A_{1}$$ con la recta $TEX: $B_{2}B_{1}$$ , luego los puntos $TEX: $B_{2},H_{1},B_{1},C'$$ son concíclicos de donde se concluye lo pedido. * El punto de miquel es el punto de intersección de las circunferencias al que hacen alusión en la pregunta 1 selectivo ibero del 2012 asdasdasdasdzas.png ( 40.73k ) Número de descargas: 3 La fuente del problema es este apunte de geometría mexicano (específicamente el ejercicio 35) El siguiente problema es más sencillo Problema Si $TEX: $a,b,c$$ son números enteros tales que $TEX: $ab+bc+ca=1$$ pruebe que $TEX: $(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})$$ es un cuadrado perfecto. Saludos! Mensaje modificado por Heiricar el Aug 16 2013, 04:42 PM

Suicide Machine Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 16 2013, 12:36 PM Publicado: #292
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 146 Registrado: 22-July 10 Miembro Nº: 74.494 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Heiricar @ Aug 15 2013, 08:45 PM) Problema Si $TEX: $a,b,c$$ son números enteros tales que $TEX: $ab+bc+ca=1$$ pruebe que $TEX: $(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})$$ es un cuadrado perfecto. Como $TEX: $ab+bc+ca=1$$ , reemplacemos los 1 por esta suma. Entonces se obtiene lo siguiente: $TEX: $(ab+bc+ca+a^{2})(ab+bc+ca+b^{2})(ab+bc+ca+c^{2})$$ . Reordenando: $TEX: $(a(a+b)+c(a+b))(b(a+b))+c(a+b))(c(c+a)+b(a+c))$$ Factorizamos: $TEX: $(a+c)(a+b)(b+c)(a+b)(c+b)(c+a)=\left ((a+c)(a+b)(b+c) \right )^2$$ , concluyendo que la expresión dada es un cuadrado perfecto. Saludos! Mensaje modificado por Suicide Machine el Aug 16 2013, 12:37 PM

Heiricar Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 16 2013, 03:53 PM Publicado: #293
Dios Matemático Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 423 Registrado: 4-January 11 Miembro Nº: 82.624 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Correcto!, es tu turno de proponer

Suicide Machine Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 17 2013, 04:37 PM Publicado: #294
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 146 Registrado: 22-July 10 Miembro Nº: 74.494 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Heiricar @ Aug 16 2013, 03:53 PM) Correcto!, es tu turno de proponer Vale. Aquí va: Sean $TEX: $a,b,c$$ reales positivos. Pruebe que $TEX: $$ \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{(a+b+c)^2}\ge\frac{7}{25}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a+b+c})^2 $$$ Saludos!

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 3 2013, 04:55 PM Publicado: #295
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Suicide Machine @ Aug 17 2013, 12:37 PM) Vale. Aquí va: Sean $TEX: $a,b,c$$ reales positivos. Pruebe que $TEX: $$ \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{(a+b+c)^2}\ge\frac{7}{25}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a+b+c})^2 $$$ Saludos! Como que igual lleva harto tiempo el problema xd, podrias tirarte un hint, o cambiarlo nose, si es que se puede, o bien si alguien lo hizo, que postee la solucion porfis :c, ami no me sale xd pd: igual es fome ver el este sector de olimpiadas botado u,u , ya eso

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 2 2013, 02:12 PM Publicado: #296
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Niklaash @ Oct 3 2013, 12:55 PM) Como que igual lleva harto tiempo el problema xd, podrias tirarte un hint, o cambiarlo nose, si es que se puede, o bien si alguien lo hizo, que postee la solucion porfis :c, ami no me sale xd pd: igual es fome ver el este sector de olimpiadas botado u,u , ya eso jé ?

asdayuyi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 2 2013, 02:31 PM Publicado: #297
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 81 Registrado: 10-November 12 Miembro Nº: 112.735 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Yo propongo uno para que no se congele la cosa! Se tiene un tablero de 100x100. En cada casilla, hay una flecha que apunta hacia arriba, abajo, a la derecha o a la izquierda. En toda la orilla del tablero hay una muralla excepto por el lado derecho de la esquina superior derecha. Se coloca una hormiga al azar en una de las casillas. La hormiga se mueve según la siguiente regla: Se mueve a la casilla vecina en la dirección a la que apunta la flecha de la casilla sobre la que se encuentra, y después de moverse la flecha sobre la que estaba anteriormente rota 90º en sentido horario. Si este movimiento no se puede hacer, el insecto se mantiene en su lugar, pero la flecha si lo hace. Demuestre que la hormiga siempre sale del tablero, independiente donde se coloque esta.

Heiricar Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 2 2013, 04:46 PM Publicado: #298
Dios Matemático Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 423 Registrado: 4-January 11 Miembro Nº: 82.624 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Solución Primero notemos que si la hormiga pasa infinitas veces por una cierta casilla W, entonces pasa infinitas veces por cada casilla vecina de esta (ya que cada vez que pasa por W la flecha que dirige la hormiga cambia recorriendo todos los vecinos). Luego con esto en mente probemos que si el tablero estuviece totalmente cerrado entonces la hormiga pasaría infinitas veces por cada casilla, para esto razonemos por contradicción, si la hormiga no pasara infinitas veces por cada casilla entonces habrían un conjunto A de casillas por las cuales pasaría solo un numero finito de veces, es claro que A no puede ser todo el tablero (ya que la hormiga nunca deja de caminar), luego existe almenos una casilla X de A que posee un vecino que no esta en A, pero por lo visto anteriormente tenemos que la hormiga pasa infinitas veces por X, contradicción, luego la hormiga pasa infinitas veces por todas las casillas. Ahora podemos finalizar el problema, si la hormiga no saliese del tablero nunca tendríamos que el tablero funcionaría como uno cerrado, luego por lo visto pasaría infinitas veces por cada casilla, en particular infinitas veces por la esquina superior derecha luego en una de estas debe salir del tablero. Saludos :$

asdayuyi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 2 2013, 05:00 PM Publicado: #299
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 81 Registrado: 10-November 12 Miembro Nº: 112.735 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Correctoo <3 Propones-

Heiricar Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 2 2013, 05:24 PM Publicado: #300
Dios Matemático Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 423 Registrado: 4-January 11 Miembro Nº: 82.624 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Problema Se tiene una vara muy delgada de 1 metro de largo con 50 hormigas caminando a lo largo de esta, estas hormigas están puestas en cualquier posición de la vara y caminan a una velocidad de un metro por minuto, se sabe que cuando dos hormigas chocan estas comienzan a caminar inmediatamente en el sentido contrario. Encuentre la mínima cantidad de tiempo que debe pasar desde que se pusieron las 50 hormigas en la vara para asegurar que todas caminaron hasta salir fuera de ella. Mensaje modificado por Heiricar el Nov 2 2013, 05:28 PM

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