Maraton - Foro fmat.cl

Portal Matemático

¿Qué es FMAT?

Foro fmat.cl > Sector Preparación Olimpiadas > Sector Olímpico > Otros > Problemas Propuestos

41 Páginas:

« < 27 28 29 30 31 > »

Reply to this topic

Start new topic

Maraton

Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 26 2013, 10:52 AM Publicado: #281
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: $$\begin{gathered}<br /> {\text{Veamos }}2{\text{ intentos de solucion de este problema.}} \hfill \\<br /> {\text{Un primer intento de solucion, denotemos por }}{U_3}{\text{ el cjto de raices primitivas }} \hfill \\<br /> {\text{cubicas de la unidad. Notemos que el polinomio }}{x^5} + {x^4} + 1{\text{ puede ser}} \hfill \\<br /> {\text{factorizado usando raices primitivas de la unidad. En efecto, sea }}\zeta \in {U_3},{\text{ }} \hfill \\<br /> {\text{notemos que }}{\zeta ^5} + {\zeta ^4} + 1 = {\zeta ^2} + \zeta + 1 = \tfrac{{{\zeta ^3} - 1}}{{\zeta - 1}} = 0.{\text{ }} \hfill \\<br /> {\text{Por otra parte, notemos que el polinomio minimal para }}\zeta {\text{ es }}m\left( x \right) = {x^2} + x + 1.{\text{ }} \hfill \\<br /> {\text{Entonces, tenemos que }}m{\text{ factoriza al polinomio }}{x^5} + {x^4} + 1.{\text{ Ahora, sea }}n \in {\mathbb{N}_{ > 1}},{\text{ }} \hfill \\<br /> {\text{tenemos que }}m\left( n \right) = {n^2} + n + 1 > 3.{\text{ Luego, }}\forall n \in {\mathbb{N}_{ > 1}},{n^5} + {n^4} + 1{\text{ no es primo. }} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Un segundo intento de solucion, notemos prmero que si }}n \in {\mathbb{N}_{ > 1}},{\text{ }}{n^3} - n > 0.{\text{ }} \hfill \\<br /> {\text{Entonces, tenemos que}} \hfill \\<br /> {n^5} + {n^4} + 1 = {n^5} + {n^4} + {n^3} - {n^3} + {n^2} - n - {n^2} + n + 1 = {n^5} + {n^4} + 1 = p\left( n \right).{\text{ }} \hfill \\<br /> p\left( n \right) = {n^3}\left( {{n^2} + n + 1} \right) - n\left( {{n^2} + n + 1} \right) + \left( {{n^2} + n + 1} \right) = \left( {{n^3} - n + 1} \right)\left( {{n^2} + n + 1} \right).{\text{ }} \hfill \\<br /> {\text{Por la primera observacion, tenemos si }}n \in {\mathbb{N}_{ > 1}},{n^3} - n + 1 > 1.{\text{ Se concluye.}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Saludos }} \hfill \\ <br />\end{gathered}$$$ -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 26 2013, 11:31 AM Publicado: #282
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(DHN @ Jul 26 2013, 02:42 AM) Fuente: 23rd IMO Yo al menos no pesqué este problema (ni el de Pedantic) justamente por ser problemas conocidos de IMO cuya solución por tanto es parte casi del folcklore y acá justamente se pretende llegar con algo novedoso (resolver a estas alturas un IMO antiguo de forma exitosa y novedosa igual es como medio... "complicado" ¿no crees?) -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

DHN Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 26 2013, 01:04 PM Publicado: #283
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 92 Registrado: 16-July 13 Miembro Nº: 120.585 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Jean Renard Granier @ Jul 26 2013, 10:52 AM) $TEX: $$\begin{gathered}<br /> {\text{Veamos }}2{\text{ intentos de solucion de este problema.}} \hfill \\<br /> {\text{Un primer intento de solucion, denotemos por }}{U_3}{\text{ el cjto de raices primitivas }} \hfill \\<br /> {\text{cubicas de la unidad. Notemos que el polinomio }}{x^5} + {x^4} + 1{\text{ puede ser}} \hfill \\<br /> {\text{factorizado usando raices primitivas de la unidad. En efecto, sea }}\zeta \in {U_3},{\text{ }} \hfill \\<br /> {\text{notemos que }}{\zeta ^5} + {\zeta ^4} + 1 = {\zeta ^2} + \zeta + 1 = \tfrac{{{\zeta ^3} - 1}}{{\zeta - 1}} = 0.{\text{ }} \hfill \\<br /> {\text{Por otra parte, notemos que el polinomio minimal para }}\zeta {\text{ es }}m\left( x \right) = {x^2} + x + 1.{\text{ }} \hfill \\<br /> {\text{Entonces, tenemos que }}m{\text{ factoriza al polinomio }}{x^5} + {x^4} + 1.{\text{ Ahora, sea }}n \in {\mathbb{N}_{ > 1}},{\text{ }} \hfill \\<br /> {\text{tenemos que }}m\left( n \right) = {n^2} + n + 1 > 3.{\text{ Luego, }}\forall n \in {\mathbb{N}_{ > 1}},{n^5} + {n^4} + 1{\text{ no es primo. }} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Un segundo intento de solucion, notemos prmero que si }}n \in {\mathbb{N}_{ > 1}},{\text{ }}{n^3} - n > 0.{\text{ }} \hfill \\<br /> {\text{Entonces, tenemos que}} \hfill \\<br /> {n^5} + {n^4} + 1 = {n^5} + {n^4} + {n^3} - {n^3} + {n^2} - n - {n^2} + n + 1 = {n^5} + {n^4} + 1 = p\left( n \right).{\text{ }} \hfill \\<br /> p\left( n \right) = {n^3}\left( {{n^2} + n + 1} \right) - n\left( {{n^2} + n + 1} \right) + \left( {{n^2} + n + 1} \right) = \left( {{n^3} - n + 1} \right)\left( {{n^2} + n + 1} \right).{\text{ }} \hfill \\<br /> {\text{Por la primera observacion, tenemos si }}n \in {\mathbb{N}_{ > 1}},{n^3} - n + 1 > 1.{\text{ Se concluye.}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Saludos }} \hfill \\ <br />\end{gathered}$$$ Ambas soluciones son correctas, demuestras que P no puede ser primo porque es el producto de dos numeros naturales mayores que 1, que era lo que se pretendia abordar en el problema, supongo. Propones! CITA(Kaissa @ Jul 26 2013, 11:31 AM) Yo al menos no pesqué este problema (ni el de Pedantic) justamente por ser problemas conocidos de IMO cuya solución por tanto es parte casi del folcklore y acá justamente se pretende llegar con algo novedoso (resolver a estas alturas un IMO antiguo de forma exitosa y novedosa igual es como medio... "complicado" ¿no crees?) Disculpa, usare otras fuentes de ahora en adelante. Lamentablemente, el problema de arriba tambien era bien conocido. Mensaje modificado por DHN el Jul 26 2013, 01:05 PM -------------------- Como ser un gran escritor - Charles Bukowski Tienes que cogerte a muchas mujeres bellas mujeres, y escribir unos pocos poemas de amor decentes y no te preocupes por la edad y los nuevos talentos. Sólo toma más cerveza, más y más cerveza. Anda al hipódromo por lo menos una vez a la semana y gana si es posible. Aprender a ganar es difícil, cualquier pendejo puede ser un buen perdedor. y no olvides tu Brahms, tu Bach y tu cerveza. No te exijas. Duerme hasta el mediodía. Evita las tarjetas de crédito o pagar cualquier cosa en término. Acuérdate de que no hay un pedazo de culo en este mundo que valga más de 50 dólares (en 1977). Y si tienes capacidad de amar ámate a ti mismo primero pero siempre sé consciente de la posibilidad de la total derrota, ya sea por buenas o malas razones. Un sabor temprano de la muerte no es necesariamente una mala cosa. Quédate afuera de las Iglesias y los bares y los museos y como las arañas, sé paciente, el tiempo es la cruz de todos. Más el exilio la derrota la traición toda esa basura. Quédate con la cerveza, la cerveza es continua sangre. Una amante continua. Agarra una buena máquina de escribir y mientras los pasos van y vienen más allá de tu ventana dale duro a esa cosa, dale duro. Haz de eso una pelea de peso pesado. Haz como el toro en la primer embestida. Y recuerda a los perros viejos, que pelearon tan bien: Hemingway, Celine, Dostoyevski, Hamsun. Si crees que no se volvieron locos en habitaciones minúsculas como te está pasando a ti ahora, sin mujeres sin comida sin esperanza… entonces no estás listo, toma más cerveza. Hay tiempo. y si no hay, está bien igual. La rotura - Charles Bukowski Demasiado. Demasiado poco. Demasiado gordo. Demasiado delgado. O nadie. Extraños con caras que parecen las espaldas de las chinchetas. Ejércitos corriendo por calles ensangrentadas blandiendo botellas de vino disparando y violando vírgenes. O un viejo en una habitación barata con una foto de Marilyn Monroe. Hay una soledad en este mundo tan grande que puedes verla en el lento movimiento de las agujas del reloj. La gente está tan harta que se mutila ya sea por el amor o por la falta de amor. La gente no es buena entre sí ninguna de ellas. El rico no es bueno con el rico. El pobre no es bueno con el pobre. Tenemos miedo. Nuestro sistema educativo nos dice que todos podemos ser los peces gordos ganadores pero no nos habla sobre los marginados o los suicidas. O del miedo que pasa una persona que agoniza en un lugar a solas. Las perlas se balancearán las nubes serán nubes y el asesino decapitará al niño como si mordiera el cucurucho de un helado. Demasiado. Demasiado poco. Demasiado gordo. Demasiado delgado. O nadie. Más personas que odian que las que aman. La gente no es buena entre sí. Puede que si lo fueran nuestras muertes no serían tan tristes. Mientras tanto miro a las chicas jóvenes a la deriva flores de temporada. Debe haber una manera. Seguro que debe haber una manera que no hemos encontrado todavía. ¿Quién puso este cerebro dentro de mi? Llora exige dice que hay una oportunidad. No dirá "no".

Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 26 2013, 03:38 PM Publicado: #284
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Kaissa @ Jul 26 2013, 11:31 AM) Yo al menos no pesqué este problema (ni el de Pedantic) justamente por ser problemas conocidos de IMO cuya solución por tanto es parte casi del folcklore y acá justamente se pretende llegar con algo novedoso (resolver a estas alturas un IMO antiguo de forma exitosa y novedosa igual es como medio... "complicado" ¿no crees?) Me pasó lo mismo -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 26 2013, 03:51 PM Publicado: #285
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(DHN @ Jul 26 2013, 01:04 PM) Ambas soluciones son correctas, demuestras que P no puede ser primo porque es el producto de dos numeros naturales mayores que 1, que era lo que se pretendia abordar en el problema, supongo. Propones! $TEX: $$\begin{gathered}<br /> {\text{Sean }}p{\text{ un primo, }}n \in \mathbb{N},{\text{ }}S{\text{ cjto tq }}\left\| S \right\| = {p^n}.{\text{ }} \hfill \\<br /> {\text{Sea }}P{\text{ una familia de particiones de }}S{\text{ en partes no vacias de tama\~n o }} \hfill \\<br /> 0\bmod \left( p \right){\text{ tq la interseccion a pares de partes que ocurren en alguna de las}} \hfill \\<br /> {\text{particiones tienen a lo mas un elemento. Encontrar }}\max \left\| P \right\|. \hfill \\ <br />\end{gathered}$$$ -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 27 2013, 05:30 PM Publicado: #286
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Jean Renard Granier @ Jul 26 2013, 03:51 PM) $TEX: $$\begin{gathered}<br /> {\text{Sean }}p{\text{ un primo, }}n \in \mathbb{N},{\text{ }}S{\text{ cjto tq }}\left\| S \right\| = {p^n}.{\text{ }} \hfill \\<br /> {\text{Sea }}P{\text{ una familia de particiones de }}S{\text{ en partes no vacias de tama\~n o }} \hfill \\<br /> 0\bmod \left( p \right){\text{ tq las intersecciones a pares de partes que ocurren en alguna de las}} \hfill \\<br /> {\text{particiones tienen a lo mas un elemento. Encontrar }}\max \left\| P \right\|. \hfill \\ <br />\end{gathered}$$$ $TEX: $$\begin{gathered}<br /> {\text{Dadas las reglas, resolvemos el problema. }} \hfill \\<br /> {\text{Sea S el conjunto a particionar, sean }}{{\text{S}}_1},...,{S_j}{\text{ sus particiones en cjtos tq}} \hfill \\<br /> {\text{cumplen con la hipotesis.}} \hfill \\<br /> {\text{Sea }}s \in S,{\text{ sea }}{{\text{S}}_p}\left( s \right){\text{ la clase de }}{{\text{S}}_p}{\text{ tq }}s \in {S_p}.{\text{ Luego tenemos que }} \hfill \\<br /> {S_1}\left( s \right) - \left\{ s \right\},...,{S_j}\left( s \right) - \left\{ s \right\}{\text{ son disjuntos de a pares, y en cada caso hay al menos}} \hfill \\<br /> p - 1{\text{ elementos, luego tenemos que }}j\left( {p - 1} \right) \leqslant \left( {{p^n} - 1} \right) \Rightarrow j \leqslant \tfrac{{{p^n} - 1}}{{p - 1}}.{\text{ }} \hfill \\ <br />\end{gathered}$$$ $TEX: $$\begin{gathered}<br /> {\text{Consideremos ahora S como el cjto de todos los numeros con }}n{\text{ digitos }} \hfill \\<br /> {\text{modulo }}p.{\text{ }} \hfill \\<br /> {\text{Este cjto tiene }}{p^n}{\text{ elementos. Ahora, consideremos las particiones como funciones}} \hfill \\<br /> {\text{a valores enteros. En efecto, dado }}x \in S,{\text{ }}f\left( x \right){\text{ denota el numero de la clase que}} \hfill \\<br /> {\text{contiene a }}x.{\text{ Estas funciones estan indexadas por }} \hfill \\<br /> \left( {r,q\left( r \right)} \right);r = 0,1,...,n - 1,q\left( r \right) = 0,1,...,{p^r} - 1,{\text{ luego el numero de posibles valores }} \hfill \\<br /> {\text{de }}q{\text{ dado }}r{\text{ es }}{p^r},{\text{ por lo que el numero total de funciones es igual a }}\tfrac{{{p^n} - 1}}{{p - 1}} \hfill \\ <br />\end{gathered}$$$ $TEX: $$\begin{gathered}<br /> {\text{Entonces, definimos }}{f_{rq}}\left( x \right){\text{ de la siguiente forma. Representamos }}x{\text{ y }}q{\text{ en base}} \hfill \\<br /> p{\text{ como }}x = {\alpha _0} + ... + {\alpha _{n - 1}}{p^{n - 1}},q = {\beta _0} + ... + {\beta _{r - 1}}{p^{r - 1}}.{\text{ }} \hfill \\<br /> {\text{Sea }}\left[ l \right]{\text{ el residuo no negativo minimo de un entero }}l\bmod \left( p \right).{\text{ }} \hfill \\<br /> {\text{Ahora, sea }} \hfill \\<br /> {f_{rq}}\left( x \right) = \left[ {{\alpha _0} + {\beta _0}{\alpha _r}} \right] + ... + \left[ {{\alpha _{r - 1}} + {\beta _{r - 1}}{\alpha _r}} \right]{p^{r - 1}} + {\alpha _{r + 1}}{p^r} + ... + {\alpha _{n - 1}}{p^{n - 2}}.{\text{ }} \hfill \\<br /> {\text{En particular tenemos que }}{f_{00}}\left( x \right) = \sum\limits_{m = 1}^{n - 1} {{\alpha _m}{p^{m - 1}}} .{\text{ }} \hfill \\ <br />\end{gathered}$$$ $TEX: $$\begin{gathered}<br /> {\text{Veamos que cada clase contiene }}p{\text{ elementos. En efecto, dado el valor}} \hfill \\<br /> {f_{rq}}\left( x \right) = z = \sum\limits_{m = 0}^{n - 2} {{\lambda _m}p{}^m} ,{\text{ tenemos que }}{\alpha _m} = {\lambda _{m - 1}},m = r + 1,...,n,{\text{ podemos}} \hfill \\<br /> {\text{escoger el valor de }}{\alpha _r}{\text{ que va a dar }}p{\text{ posibilidades, y despues de fijar}} \hfill \\<br /> {\alpha _r}{\text{ podemos obtener }}{\alpha _0},..,{\alpha _{r - 1}}{\text{ de las congruencias }} \hfill \\<br /> {\alpha _m} + {\beta _m}{\alpha _r} = \lambda {}_m\bmod \left( p \right),m = 0,..,r - 1.{\text{ }} \hfill \\ <br />\end{gathered}$$$ $TEX: $$\begin{gathered}<br /> {\text{Ahora, nos basta probar que la interseccion de 2 clases tienen a lo mas}} \hfill \\<br /> {\text{un elemento. En este caso, significa que el sistema de ecuaciones }} \hfill \\<br /> {f_{rq}}\left( x \right) = z,{f_{r'q'}}\left( x \right) = z'{\text{ tiene a lo mas una solucion. }} \hfill \\ <br />\end{gathered}$$$ $TEX: $$\begin{gathered}<br /> {\text{Supongamos primero que }}r' < r,{\text{ entonces obtenemos }}{\alpha _r} = {{\lambda '}_r}{\text{ y por lo}} \hfill \\<br /> {\text{anterior ya sabemos que }}{f_{rq}}\left( x \right),{\alpha _r}{\text{ determinan }}x{\text{ de forma unica. }} \hfill \\<br /> {\text{Supongamos finalmente que }}r' = r,{\text{ debemos tener que }}q \ne q',{\text{ digamos que}} \hfill \\<br /> {\beta _l} \ne {{\beta '}_l}{\text{ para algun digito }}l \leqslant r - 1.{\text{ Entonces el sistema de congruencias}} \hfill \\<br /> {\alpha _l} + {\beta _l}{\alpha _r} = {\lambda _l}\bmod \left( p \right),{\alpha _l} + {\beta _l}^\prime {\alpha _r} = {{\lambda '}_l}\bmod \left( p \right){\text{ determina }}{\alpha _r},{\text{ que junto con }} \hfill \\<br /> {\text{ }}{f_{rq}}\left( x \right){\text{ determinan }}x{\text{ de forma unica.}} \hfill \\ <br />\end{gathered}$$$ $TEX: $$\begin{gathered}<br /> {\text{Por lo tanto, }}\max \left\| P \right\| = \tfrac{{{p^n} - 1}}{{p - 1}}.{\text{ }} \hfill \\<br /> {\text{Fuente: Aunque usted lo dude, problema auxiliar Matematicas Discretas, sepa}} \hfill \\<br /> {\text{moya fuente XD. }} \hfill \\<br /> {\text{Si alguno de los usuarios quiere postear su problema, bienvenido sea.}} \hfill \\<br /> {\text{Saludos }} \hfill \\ <br />\end{gathered}$$$ -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 28 2013, 02:13 PM Publicado: #287
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: $ $\\<br />Propongo uno liviano para seguir.\\<br />$ $\\<br />Determine los \'ultimos dos d\'igitos (de la derecha) de $19^{18^{17^{16...^{1}}}}$.$ -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Heiricar Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 28 2013, 02:57 PM Publicado: #288
Dios Matemático Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 423 Registrado: 4-January 11 Miembro Nº: 82.624 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Solución No es difícil ver que la sucesión $TEX: $19^n$$ en modulo 100 es {19, 61, 59, 21, 99, 81, 39, 41, 79, 1,19,...} luego basta con ver el resto de $TEX: $18^{17^{16^{...^{1}}}}$$ al ser dividido por 10, de la misma forma notemos que la sucesión $TEX: $18^n$$ modulo 10 es {8,4,2,6,8,4,2,...} así que nos falta ver el resto de $TEX: $17^{16^{15^{...^{1}}}}$$ al ser dividido por 4, pero este es simple ya que 17=1 mod 4, luego $TEX: $18^{17^{16^{...^{1}}}}$$ =8 mod 10 y se tiene $TEX: $19^{18^{17^{...^{1}}}}$$ =41 mod 100

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 28 2013, 03:19 PM Publicado: #289
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Eeeeeeeeesa Heiricar! felicitaciones. Fuente: Singapore Math Olympiad (SMO) 2012, senior round. Tu turno. -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Heiricar Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 28 2013, 03:37 PM Publicado: #290
Dios Matemático Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 423 Registrado: 4-January 11 Miembro Nº: 82.624 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Aquí va el problema Se da un $TEX: $\triangle{ABC}$$ , en la de la altura por $TEX: $A$$ (o en su extención) se toman los puntos $TEX: $A_{1}$$ y $TEX: $A_{2}$$ de modo que $TEX: $AA_{1}=AA_{2}=BC$$ ( $TEX: $A_{1}$$ es mas proximo a la recta $TEX: $BC$$ que $TEX: $A_{2}$$ ), de manera análoga se obtienen los puntos $TEX: $B_{1}$$ y $TEX: $B_{2}$$ , demuestre que los segmentos $TEX: $A_{1}B_{2}$$ y $TEX: $A_{2}B_{1}$$ son iguales y mutuamente perpendiculares

« Posterior · Problemas Propuestos · Anterior »

41 Páginas:

« < 27 28 29 30 31 > »

Reply to this topic

Start new topic

2 usuario(s) está(n) leyendo esta discusión (2 invitado(s) y 0 usuario(s) anónimo(s))

0 miembro(s):

Modo de Ver: Estándar · Cambiar a: Lineal+ · Cambiar a: Outline

Suscribirse · Enviar por correo · Imprimir · Suscribirse a este foro

Versión Lo-Fi

Fecha y Hora actual: 26th April 2025 - 12:12 AM

Powered By IP.Board 2.2.1 © 2007 IPS, Inc.