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Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 16 2013, 01:20 AM Publicado: #252
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(2.718281828 @ Jul 16 2013, 01:04 AM) que pasa con el caso a=b=c=1?. la sucesion no crece.... saludos. Dije la palabra "estrictamente" en algún momento? dime donde que no la encuentro. Saludos. -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 16 2013, 10:48 AM Publicado: #253
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Pedantic Anarchy @ Jul 15 2013, 10:34 PM) $TEX: Sean $a,b,c$ reales positivos con $abc\ge 1$. Definimos la sucesión $s_n=a^n+b^n+c^n$. Pruebe que $s_n$ es creciente$ Holi. Como $TEX: $a,b,c>0$$ , entonces $TEX: $s_n>0,\forall n\in \mathbb{N}$$ (en particular $TEX: $s_n\not=0,\forall n\in \mathbb{N}$$ ). Luego, $TEX: $\dfrac{s_{n+1}}{s_n}$$ está bien definida $TEX: $\forall n\in \mathbb{N}$$ . Como $TEX: $1\ge \dfrac{1}{abc}$$ , para cada $TEX: $n\in \mathbb{N}$$ se cumple la siguiente desigualdad $TEX: $\dfrac{s_{n+1}}{s_n}\ge \dfrac{a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1}}{(a^n+b^n+c^n)(abc)^{1/3}}=\dfrac{a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1}}{a^{n+1/3}b^{1/3}c^{1/3}+a^{1/3}b^{n+1/3}c^{1/3}+a^{1/3}b^{1/3}c^{n+1/3}}$$ . Como $TEX: $(n+1,0,0)$$ mayoriza a $TEX: $(n+\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3})$$ , entonces por la desigualdad de Muirhead se sigue que la última expresión es mayor o igual a 1. En consecuencia, $TEX: $\dfrac{s_{n+1}}{s_n}\ge 1$$ y como $TEX: $s_n>0$$ se sigue que $TEX: $s_{n+1}\ge s_n,\forall n\in \mathbb{N}$$ . Por lo tanto, $TEX: $\{s_n\}_{n\in \mathbb{N}}$$ es una sucesión creciente. $TEX: $\blacksquare$$ PD: El procedimiento para trabajar con $TEX: $n$$ variables es análogo. Mi pregunta es... qué pasa si $TEX: $abc<1$$ PD: Si esta solución le convence a Pedantic, le cedo el siguiente propuesto al propio Pedantic Mensaje modificado por Cenizas con Mostaza el Jul 16 2013, 10:52 AM -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 16 2013, 11:38 AM Publicado: #254
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Cenizas con Mostaza @ Jul 16 2013, 10:48 AM) Holi. Como $TEX: $a,b,c>0$$ , entonces $TEX: $s_n>0,\forall n\in \mathbb{N}$$ (en particular $TEX: $s_n\not=0,\forall n\in \mathbb{N}$$ ). Luego, $TEX: $\dfrac{s_{n+1}}{s_n}$$ está bien definida $TEX: $\forall n\in \mathbb{N}$$ . Como $TEX: $1\ge \dfrac{1}{abc}$$ , para cada $TEX: $n\in \mathbb{N}$$ se cumple la siguiente desigualdad $TEX: $\dfrac{s_{n+1}}{s_n}\ge \dfrac{a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1}}{(a^n+b^n+c^n)(abc)^{1/3}}=\dfrac{a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1}}{a^{n+1/3}b^{1/3}c^{1/3}+a^{1/3}b^{n+1/3}c^{1/3}+a^{1/3}b^{1/3}c^{n+1/3}}$$ . Como $TEX: $(n+1,0,0)$$ mayoriza a $TEX: $(n+\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3})$$ , entonces por la desigualdad de Muirhead se sigue que la última expresión es mayor o igual a 1. En consecuencia, $TEX: $\dfrac{s_{n+1}}{s_n}\ge 1$$ y como $TEX: $s_n>0$$ se sigue que $TEX: $s_{n+1}\ge s_n,\forall n\in \mathbb{N}$$ . Por lo tanto, $TEX: $\{s_n\}_{n\in \mathbb{N}}$$ es una sucesión creciente. $TEX: $\blacksquare$$ PD: El procedimiento para trabajar con $TEX: $n$$ variables es análogo. Mi pregunta es... qué pasa si $TEX: $abc<1$$ Muy bien Cenizas, me gustó. En caso de que abc<1 nada podemos concluir, puesto que por ejemplo para abc=1/2 tenemos que la sucesión originada tomando (a,b,c)=(1,1,1/2) es decreciente, mientras que la sucesión dada por (a,b,c)=(1/4,2,1) es creciente. CITA(Cenizas con Mostaza @ Jul 16 2013, 10:48 AM) PD: Si esta solución le convence a Pedantic, le cedo el siguiente propuesto al propio Pedantic Oka roka: $TEX: Encuentre todas las ternas de enteros positivos $x,y,z$ tales que $(x+y)(1+xy)=2^z$$ Saludos. PD: Olvide colocar la fuente, se me ocurrió en una conversación con Heiricar xd, aunque igual es como un resultado medianamente natural. Mensaje modificado por Pedantic Anarchy el Jul 17 2013, 02:19 PM -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 16 2013, 02:56 PM Publicado: #255
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Agradezco cualquier garrotazo u.u (no la lea con tanta esperanza, es un intento de solución :$ ) $TEX: $ $\\<br />Es un bodrio de soluci\'on pero prefiero ponerlo igual xD\\<br />$ $\\<br />Por factorizaci\'on prima, ambos par\'entesis deben ser potencias de 2, as\'i que $x+y=2^{u}$ y $1+xy=2^{v}$.\\<br />Despejando y sustituyendo sacamos que $y^{2}-2^{u}y+(2^{v}-1)=0$.\\<br />Para que hayan soluciones enteras para $y$ se necesario y suficiente que el discriminante sea un cuadrado perfecto, pero el discriminante es $2^{2u}-4\times2^{v}+4=2^{2u}-2\times2^{v+1}+4$ que es un cuadrado perfecto ssi $u=v+1$ y en tal caso es el cuadrado de $2^{u}-2$.\\<br />Remplazando esto tenemos que las soluciones para $y$ son $2^{u}-1$ o bien 1.\\<br />Volviendo al principio, queda que $x$ es 1 o bien $2^{u}-1$ respectivamente.\\<br />Finalmente remplazamos esto en la ecuaci\'on original y queda que $z=2u$, as\'u que las soluciones enteras positivas son $(x,y,z)=(1,2^{u}-1,2u)$ o bien $(x,y,z)=(2^{u}-1,1,2u)$ donde $u\in\mathbb{N}-\{1\}$ claramente$ Mensaje modificado por Kaissa el Jul 16 2013, 02:59 PM -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 16 2013, 10:46 PM Publicado: #256
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Kaissa @ Jul 16 2013, 02:56 PM) Agradezco cualquier garrotazo u.u (no la lea con tanta esperanza, es un intento de solución :$ ) $TEX: $ $\\<br />Es un bodrio de soluci\'on pero prefiero ponerlo igual xD\\<br />$ $\\<br />Por factorizaci\'on prima, ambos par\'entesis deben ser potencias de 2, as\'i que $x+y=2^{u}$ y $1+xy=2^{v}$.\\<br />Despejando y sustituyendo sacamos que $y^{2}-2^{u}y+(2^{v}-1)=0$.\\<br />Para que hayan soluciones enteras para $y$ se necesario y suficiente que el discriminante sea un cuadrado perfecto, pero el discriminante es $2^{2u}-4\times2^{v}+4=2^{2u}-2\times2^{v+1}+4$ que es un cuadrado perfecto ssi $u=v+1$ y en tal caso es el cuadrado de $2^{u}-2$.\\<br />Remplazando esto tenemos que las soluciones para $y$ son $2^{u}-1$ o bien 1.\\<br />Volviendo al principio, queda que $x$ es 1 o bien $2^{u}-1$ respectivamente.\\<br />Finalmente remplazamos esto en la ecuaci\'on original y queda que $z=2u$, as\'u que las soluciones enteras positivas son $(x,y,z)=(1,2^{u}-1,2u)$ o bien $(x,y,z)=(2^{u}-1,1,2u)$ donde $u\in\mathbb{N}-\{1\}$ claramente$ Incorrecto. Saludos. -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 17 2013, 08:50 PM Publicado: #257
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	Solucion: Vamos a demostrar que $TEX: $(x,y,z)$$ toma alguna de estas 4 formas $TEX: $(1,2^t-1,2t)$$ , $TEX: $(2^t-1,1,2t)$$ , $TEX: $(2^t-1,2^t+1,3t+1)$$ o $TEX: $(2^t+1,2^t-1,3t+1)$$ . Suponga lo contrario, que $TEX: $(x,y,z)$$ no toma ninguna de esas 4 formas. Podemos suponer que $TEX: $x,y>1$$ porque esos casos son triviales. Sea $TEX: $x+y=2^a$$ y $TEX: $1+xy=2^b$$ tenemos que $TEX: $1+xy\ge x+y$$ por lo tanto $TEX: $b\ge a$$ y entonces $TEX: $x+y\|1+xy$$ lo que implica $TEX: $x+y\|1-x^2$$ osea $TEX: $2^a\|(1+x)(1-x)$$ . Entonces tenemos que $TEX: $2^{a-1}\|x+1$$ o $TEX: $2^{a-1}\|x-1$$ , en ambos casos tenemos que $TEX: $x-1\ge2^{a-1}q$$ donde $TEX: $q$$ es algun entero positivo. Si $TEX: $q\ge 3$$ tenemos que $TEX: $2^{a-1}t\ge 2^{a-1}+2^a\ge 1+x+y>x-1$$ contradiccion. Por lo tanto $TEX: $q=2$$ o $TEX: $q=1$$ . Viendo todos los 4 casos obtenemos la contradiccion buscada. Mensaje modificado por xD13G0x el Jul 17 2013, 08:51 PM -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 17 2013, 09:01 PM Publicado: #258
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(xD13G0x @ Jul 17 2013, 08:50 PM) Solucion: Vamos a demostrar que $TEX: $(x,y,z)$$ toma alguna de estas 4 formas $TEX: $(1,2^t-1,2t)$$ , $TEX: $(2^t-1,1,2t)$$ , $TEX: $(2^t-1,2^t+1,3t+1)$$ o $TEX: $(2^t+1,2^t-1,3t+1)$$ . Suponga lo contrario, que $TEX: $(x,y,z)$$ no toma ninguna de esas 4 formas. Podemos suponer que $TEX: $x,y>1$$ porque esos casos son triviales. Sea $TEX: $x+y=2^a$$ y $TEX: $1+xy=2^b$$ tenemos que $TEX: $1+xy\ge x+y$$ por lo tanto $TEX: $b\ge a$$ y entonces $TEX: $x+y\|1+xy$$ lo que implica $TEX: $x+y\|1-x^2$$ osea $TEX: $2^a\|(1+x)(1-x)$$ . Entonces tenemos que $TEX: $2^{a-1}\|x+1$$ o $TEX: $2^{a-1}\|x-1$$ , en ambos casos tenemos que $TEX: $x-1\ge2^{a-1}q$$ donde $TEX: $q$$ es algun entero positivo. Si $TEX: $q\ge 3$$ tenemos que $TEX: $2^{a-1}t\ge 2^{a-1}+2^a\ge 1+x+y>x-1$$ contradiccion. Por lo tanto $TEX: $q=2$$ o $TEX: $q=1$$ . Viendo todos los 4 casos obtenemos la contradiccion buscada. Muy bien Diego!, no me esperaba menos. Proponga . Saludos. Fuente: Selected Problems of the Vietnamese Mathematical Olympiad (1962–2009) -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 17 2013, 09:10 PM Publicado: #259
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	Sea ABC un triangulo y D un punto en BC. Sea E la segunda interseccion de la bisectriz de ADB con el circuncirculo de ADB y F la segunda interseccion de la bisectriz de ADC con el circuncirculo de ADC. Sea M el punto medio de BC. Demuestre que EMF es recto. -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 18 2013, 10:21 PM Publicado: #260
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Voy a reenunciar tu problema convenientemente para demostrarlo: Dadas las circunferencias K1 y K2 secantes exteriores en P y Q, sean A en K1 y B en K2 tales que A-P-B son colineales. Sea M el punto medio del arco AQ que no tiene a P y N el punto medio del arco BQ que no tiene a P, sea T el punto medio de AB. Probar que MTN es recto. Demostración: Sea M' el simétrico de M respecto de T, entonces AMBM' es paralelógramo de donde AM=MQ=M'B. Sea X un punto de la prolongación de PQ en la dirección de Q. De los cuadriláteros cíclicos AMQP y QNBP sacamos que <M'BA=<BAM=<MQX y PBN=<XQN. En definitiva tenemos M'B=MQ, BN=QN y de las igualdades angulares, <M'BN=<MQN así que los triángulos M'BN y MQN son congruentes, por tanto MN=M'N y así el triángulo MNM' es N-isósceles y como T es punto medio de M'M, debe ser <MTN=90 como se pedía probar. ¿Quiere ver el monito? ya Sin_t_tulo.png ( 91.83k ) Número de descargas: 1 Mensaje modificado por Kaissa el Jul 18 2013, 10:28 PM -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

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