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Seba² Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 15 2013, 01:00 AM Publicado: #241
Dios Matemático Grupo: Moderador Mensajes: 269 Registrado: 30-August 10 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 76.269 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Good solution, propones . Saludos =)!!! -------------------- Estudiante Instituto Nacional General José Miguel Carrera IV Medio(2013) 17 años. Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus discípulos: y = ax² + bx + c ¿Y eso qué es? Dijo uno de los discípulos. A lo que Jesús respondió: ¡Una parábola !

MatíasMoreno Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 15 2013, 01:15 AM Publicado: #242
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 217 Registrado: 5-April 11 Desde: no se :c Miembro Nº: 86.300 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Sea n>1 un natural y p primo tales que p\|n³-1 y n\|p-1. Demuestre que 4p-3 es un cuadrado perfecto. -------------------- Cuando eliminamos lo imposible lo que queda, por improbable que parezca...siempre será la verdad... Nada tiene sentido, pero todo tiene significado.

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 15 2013, 12:11 PM Publicado: #243
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Solución: $TEX: <br />$ $\\<br />Bueno, este es medio conocido, disculpen.\\<br />$ $\\<br />De $p\geq n+1$ sacamos que $n\leq p-1$ y por tanto $p\nmid (n-1)$.\\<br />Con lo anterior $p\mid(n^{3}-1)\Longrightarrow p\mid(n^{2}+n+1)$ y tambi\'en $ n\mid (p-1)\Longrightarrow p=kn+1$ para alg\'un $k\in\mathbb{N}$ (deber\'ia ser entero pero si fuera negativo tenemos problemas porque tanto $n$ como $p$ son por definici\'on positivos).\\<br />$ $\\<br />La presencia de los 1's al final de ambas expresiones y la regularidad de la relaci\'on "divide" con las operaciones aritm\'eticas nos da la idea asesina: restar.\\<br />$ $\\<br />$p\mid(n^{2}+n+1)\Longleftrightarrow (nk+1)\mid(n^{2}+n+1)\Longrightarrow (nk+1)\mid((n^{2}+n+1)-(nk+1))\Longrightarrow(nk+1)\mid(n(n-k+1))$ y como $(n,nk+1)=1$ tenemos finalmente que la divisibilidad debe ser $(nk+1)\mid(n-k+1)$\\<br />$ $\\<br />Ahora como siempre analizamos qui\'en es $n-k+1$ mire:\\<br />$ $\\<br />Si $n-k+1>0$, entonces por la divisibilidad, necesariamente $n-k+1\geq kn+1>n+1$ de donde $k<0$, contradictorio con $k\in\mathbb{N}$.\\<br />Si $n-k+1=0$, entonces $k=n+1$ y por tanto $p=kn+1=n^{2}+n+1$, de donde $4p-3=4n^{2}+4n+1=(2n+1)^{2}$.\\<br />Si $n-k+1<0$ entonces $n+1<k$ y remplazando en $p=nk+1$ tendr\'iamos que $p>n^{2}+n+1$, contradictorio con $p\mid(n^{2}+n+1)$.\\<br />$ $\\<br />En definitiva el \'unico caso v\'alido nos entrega que $4p-3$ debe ser efectivamente un cuadrado perfecto.<br />$ Mensaje modificado por Kaissa el Jul 15 2013, 12:13 PM -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Laulieth´ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 15 2013, 12:34 PM Publicado: #244
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 233 Registrado: 21-February 12 Desde: Cerro Navia, Santiago - Valparaíso Miembro Nº: 101.376 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Creo que tengo una más corta Solución: Tenemos que $TEX: \[p\mid (n-1)(n^{2}+n+1)\]<br />$ . Por la segundo hipótesis, notamos que $TEX: p$ no divide a $TEX: n-1$ ; puesto que $TEX: p$ es primo entonces ambos son coprimos; se sigue que $TEX: \[p\mid (n^{2}+n+1)\rightarrow p\leq n^{2}+n+1\]<br />$ . Como $TEX: \[n\mid p-1\rightarrow n\mid p-1-n^{2}\]<br />$ entonces $TEX: \[n^{2}+n+1\leq p\]<br />$ . De aquí se sigue que $TEX: \[p=n^{2}+n+1\]<br />$ entonces multiplicando por 4 y restando 3 tenemos que $TEX: \[4p-3=(2n+1)^{2}\]<br />$ , que en efecto, es un cuadrado perfecto. Saludos! --------------------

Seba² Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 15 2013, 01:09 PM Publicado: #245
Dios Matemático Grupo: Moderador Mensajes: 269 Registrado: 30-August 10 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 76.269 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Laulieth´ @ Jul 15 2013, 12:34 PM) Creo que tengo una más corta Solución: Tenemos que $TEX: \[p\mid (n-1)(n^{2}+n+1)\]<br />$ . Por la segundo hipótesis, notamos que $TEX: p$ no divide a $TEX: n-1$ ; puesto que $TEX: p$ es primo entonces ambos son coprimos; se sigue que $TEX: \[p\mid (n^{2}+n+1)\rightarrow p\leq n^{2}+n+1\]<br />$ . Como $TEX: \[n\mid p-1\rightarrow n\mid p-1-n^{2}\]<br />$ entonces $TEX: \[n^{2}+n+1\leq p\]<br />$ . De aquí se sigue que $TEX: \[p=n^{2}+n+1\]<br />$ entonces multiplicando por 4 y restando 3 tenemos que $TEX: \[4p-3=(2n+1)^{2}\]<br />$ , que en efecto, es un cuadrado perfecto. Saludos! Acuerdate que si a\|b entonces \|a\| es menor o igual que \|b\|. Ahí asumes directamente que n^2 es menor que p-1, lo cual no es del todo cierto asumirlo al tiro. Saludos. Mensaje modificado por Seba² el Jul 15 2013, 01:10 PM -------------------- Estudiante Instituto Nacional General José Miguel Carrera IV Medio(2013) 17 años. Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus discípulos: y = ax² + bx + c ¿Y eso qué es? Dijo uno de los discípulos. A lo que Jesús respondió: ¡Una parábola !

MatíasMoreno Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 15 2013, 02:15 PM Publicado: #246
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 217 Registrado: 5-April 11 Desde: no se :c Miembro Nº: 86.300 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Correcto Kaissa, propones! -------------------- Cuando eliminamos lo imposible lo que queda, por improbable que parezca...siempre será la verdad... Nada tiene sentido, pero todo tiene significado.

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 15 2013, 02:58 PM Publicado: #247
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: $ $\\<br />Ya mi\'ercale! como me gust\'o la soluci\'on del Seba al problema anterior, propondr\'e uno bastante m\'as feo.\\<br />Adelanto que tengo una soluci\'on geom\'etrica pero dada la dificultad prefiero equiparar permitiendo soluciones anal\'iticas (n\'umeros complejos, vectores o baric\'entricas).\\<br />$ $\\<br />Y el problema es este:\\<br />$ $\\<br />Sean $A'$, $B'$ y $C'$ los puntos antipodales de los v\'ertices de $\Delta ABC$ respecto de su circunc\'irculo.\\<br />Sea $A_{1}$ el reflejo de $A'$ respecto de $\overline{BC}$ y an\'alogamente defina $B_{1}$ y $C_{1}$.\\<br />Pruebe que las l\'ineas $\overline{AA_{1}}$, $\overline{BB_{1}}$ y $\overline{CC_{1}}$ son... concurrentes!$ -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 15 2013, 07:37 PM Publicado: #248
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Too easy! Sean x,y,z los ángulos en A, B, C, respectivamente. Tenemos que A'BC=90-x, A'CB=90-y, A'BA=2x-90 y A'CA=2y-90. Ahora por Ceva trigonométrico aplicado al punto A' tenemos (sen(BAA')/sen(A'AC))=(sen(90-y)/sen(2y-90))(sen(2x-90)/sen(90-x)), análogamente concluimos para los demás casos, de donde es fácil ver que (sen(BAA')/sen(A'AC))(sen(ACC')/sen(C'CB))(sen(CBB')/sen(B'BA))=1 luego por el recíproco de Ceva trigonométrico finalizamos. Saludos. -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 15 2013, 09:41 PM Publicado: #249
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Buena solución! Te comparto la geométrica: <CAB1=<CAB'=<BAC'=<BAC1=90-<A, luego AB1 y AC1 son isogonales respecto de <A y lo mismo pasa con las otras líneas. Por el teorema de Jacobi las líneas deben ser concurrentes. PD: ¬¬ Propón (me intriga ver qué tendrás en mente) -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 15 2013, 10:34 PM Publicado: #250
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Sean $a,b,c$ reales positivos con $abc\ge 1$. Definimos la sucesión $s_n=a^n+b^n+c^n$. Pruebe que $s_n$ es creciente$ Saludos PD: Si el problema en cuestión no le parece lo suficientemente interesante podría tratar de extenderlo. Propongo una extensión tomando m reales positivos $TEX: $a_1,a _2,a_3,.....a_m$$ , con producto $TEX: $\ge 1$$ y $TEX: $s_n=\sum {a_i}^n$$ , igualmente afirmo en éste caso que la sucesión es creciente. Ojalá se les ocurra algo mas lindo. Mensaje modificado por Pedantic Anarchy el Jul 16 2013, 12:05 AM -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

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