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Seba² Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 11 2013, 09:19 PM Publicado: #221
Dios Matemático Grupo: Moderador Mensajes: 269 Registrado: 30-August 10 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 76.269 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solución: Por enunciado, tenemos que f(x) es par para todo x. Ahora supongamos por contradicción que existe x tal que f(x) es no nulo, entonces tenemos que: $TEX: $\displaystyle f(x)=2^{n}f^{n+1}(x) ()$$ Entonces $TEX: $\displaystyle f^{n}(x)$$ es no nulo para todo n entero positivo. Ahora usando $TEX: $()$$ vamos a tomar n grande tal que $TEX: $\displaystyle f^{n+1}(x)$$ sea impar, pues la máxima potencia de 2 que divide a f(x) no es infinita porque el conjunto de llegada de f es Z, pero esto contradice con que f(x) es par para todo x. Luego la única solución a la ecuación funcional es f(x)=0, la cual cumple $TEX: $\displaystyle \blacksquare$$ Saludos !!! Mensaje modificado por Seba² el Jul 11 2013, 09:58 PM -------------------- Estudiante Instituto Nacional General José Miguel Carrera IV Medio(2013) 17 años. Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus discípulos: y = ax² + bx + c ¿Y eso qué es? Dijo uno de los discípulos. A lo que Jesús respondió: ¡Una parábola !

Heiricar Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 11 2013, 09:39 PM Publicado: #222
Dios Matemático Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 423 Registrado: 4-January 11 Miembro Nº: 82.624 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Buena seba, correcto como siempre

Seba² Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 11 2013, 09:43 PM Publicado: #223
Dios Matemático Grupo: Moderador Mensajes: 269 Registrado: 30-August 10 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 76.269 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Sean a,b,c reales positivos, demuestre que: $TEX: $\displaystyle \frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{9}{2}$$ Saludos !!! -------------------- Estudiante Instituto Nacional General José Miguel Carrera IV Medio(2013) 17 años. Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus discípulos: y = ax² + bx + c ¿Y eso qué es? Dijo uno de los discípulos. A lo que Jesús respondió: ¡Una parábola !

MysticMan Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 11 2013, 10:22 PM Publicado: #224
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 550 Registrado: 24-July 11 Desde: Chillán Miembro Nº: 92.177 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Ojalá esté buena . $TEX: Por Nesbitt, la desigualdad pedida es equivalente a<br />$$\frac{{b + c}}{a} + \frac{{c + a}}{b} + \frac{{a + b}}{c} \geqslant \frac{3}{2} + \frac{9}{2} = 6$$<br />, que es lo que vamos a demostrar.$ $TEX: Por MA-MG, se tiene que $$\frac{{\frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c}}}{3} \geqslant \sqrt[3]{{\frac{b}{a} \cdot \frac{c}{b} \cdot \frac{a}{c}}} = 1$$, y $$\frac{{\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}}}{3} \geqslant \sqrt[3]{{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a}}} = 1$$. Luego, sumando ambas desigualdades se obtiene lo pedido.$ Saludos. -------------------- $TEX: $$1782^{12}+1841^{12}=1922^{12}$$$

Seba² Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 11 2013, 10:25 PM Publicado: #225
Dios Matemático Grupo: Moderador Mensajes: 269 Registrado: 30-August 10 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 76.269 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Está incorrecto, intenta de echarle una repasada . Saludos !!! Mensaje modificado por Seba² el Jul 11 2013, 10:44 PM -------------------- Estudiante Instituto Nacional General José Miguel Carrera IV Medio(2013) 17 años. Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus discípulos: y = ax² + bx + c ¿Y eso qué es? Dijo uno de los discípulos. A lo que Jesús respondió: ¡Una parábola !

MatíasMoreno Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 13 2013, 02:52 PM Publicado: #226
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 217 Registrado: 5-April 11 Desde: no se :c Miembro Nº: 86.300 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Aquí voy, saludos Solución: Trabajemos la desigualdad un poco, para dejarla expresada de una forma menos engorrosa, veamos que: $TEX: $\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\ge \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{9}{2}$$ $TEX: $\frac{(b+c)^2-a^2}{a(b+c)}+\frac{(c+a)^2-b^2}{b(a+c)}+\frac{(a+b)^2-c^2}{c(a+b)}\ge \frac{9}{2}$$ $TEX: $\frac{(a+b+c)(b+c-a)}{a(b+c)}+\frac{(a+b+c)(a+c-b)}{b(a+c)}+\frac{(a+b+c)(a+b-c)}{c(a+b)}\ge \frac{9}{2}$$ $TEX: $\frac{b+c-a}{a(b+c)}+\frac{a+c-b}{b(a+c)}+\frac{a+b-c}{c(a+b)}\ge \frac{9}{2(a+b+c)}$$ $TEX: $(\frac{1}{a}-\frac{1}{b+c})+(\frac{1}{b}-\frac{1}{a+c})+(\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b})\ge \frac{9}{2(a+b+c)}$$ (i) que es lo que demostraremos Ahora veamos que por CSB en la forma de engel: $TEX: $\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\ge \frac{(1+1+1)^2}{2(a+b+c)}=\frac{9}{2(a+b+c)}$$ Eso nos llama a demostrar lo siguiente: $TEX: $(\frac{1}{a}-\frac{1}{b+c})+(\frac{1}{b}-\frac{1}{a+c})+(\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b})\ge \frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}$$ Veamos que equivale a: $TEX: $\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}-(\frac{2}{b+c}+\frac{2}{a+c}+\frac{2}{a+b})\ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$ $TEX: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{2}{b+c}+\frac{2}{a+c}+\frac{2}{a+b}$$ (ii) Desigualdad que es cierta, directa de MA-MH aplicada 3 veces: $TEX: $\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2}\ge \frac{2}{a+b}$$ $TEX: $\frac{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{2}\ge \frac{2}{b+c}$$ $TEX: $\frac{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}{2}\ge \frac{2}{c+a}$$ Sumando obtenemos (ii), de donde podemos concluir que: $TEX: $(\frac{1}{a}-\frac{1}{b+c})+(\frac{1}{b}-\frac{1}{a+c})+(\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b})\ge \frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\ge \frac{9}{2(a+b+c)}$$ luego por transitividad: $TEX: $(\frac{1}{a}-\frac{1}{b+c})+(\frac{1}{b}-\frac{1}{a+c})+(\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b})\ge \frac{9}{2(a+b+c)}\blacksquare$$ -------------------- Cuando eliminamos lo imposible lo que queda, por improbable que parezca...siempre será la verdad... Nada tiene sentido, pero todo tiene significado.

Seba² Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 13 2013, 03:10 PM Publicado: #227
Dios Matemático Grupo: Moderador Mensajes: 269 Registrado: 30-August 10 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 76.269 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Good Solution ... Propones tu ahora !!! Saludos !!! -------------------- Estudiante Instituto Nacional General José Miguel Carrera IV Medio(2013) 17 años. Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus discípulos: y = ax² + bx + c ¿Y eso qué es? Dijo uno de los discípulos. A lo que Jesús respondió: ¡Una parábola !

MatíasMoreno Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 13 2013, 03:18 PM Publicado: #228
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 217 Registrado: 5-April 11 Desde: no se :c Miembro Nº: 86.300 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Demuestre que si un cuadrilátero cíclico tiene sus diagonales perpendiculares, entonces la distancia desde el centro de la circunferencia circunscrita hacia un lado es igual a la mitad del lado opuesto. -------------------- Cuando eliminamos lo imposible lo que queda, por improbable que parezca...siempre será la verdad... Nada tiene sentido, pero todo tiene significado.

Heiricar Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 13 2013, 04:48 PM Publicado: #229
Dios Matemático Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 423 Registrado: 4-January 11 Miembro Nº: 82.624 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Solución Sea ABCD el cuadrilátero, K la intersección de sus diagonales y R el radio de la circunferencia, ubicamos el punto C' tal que el arco DC es igual al arco AC', luego AC' es diámetro (ya que arcoAB+arcoCD=180°) y por pitagoras tenemos $TEX: $AB^{2}+AC'^{2}=AB^{2}+CD^{2}=4R^{2}$$ , ahora si nos fijamos en el triangulo OED (donde E es la proyección de O sobre CD) tenemos $TEX: $$OE^{2}+(\frac{CD}{2})^{2}=R^{2}$$$ de donde se concluye que $TEX: $2OE=AB$$ como se quería post_82624_1373751499.png ( 8.95k ) Número de descargas: 3 Mensaje modificado por Heiricar el Jul 13 2013, 05:07 PM

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 13 2013, 05:56 PM Publicado: #230
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Solución 2: Usaré el dibujo de Hernán si no es mucha la molestia. 1- Por Brahmagupta se puede fundamentar sin problemas que si H es el pie de la O-perpendicular sobre AB, entonces OH//KE. 2- Nuevamente por Brahmagupta (ahora ocupando los triángulos al revés del caso anterior, es decir el ortocentro en ABK y el circuncentro en CDK) tenemos que HK//OE. 3- De (1) y (2) HKEO es paralelógramo así que OE=KH, pero HK es mediana en trABK así que HK=AH=BH, finalmente OE=AB/2. PD: No pesquen mi solución para efectos de la maratón, sólo quería dar una solución menos calculística. Mensaje modificado por Kaissa el Jul 13 2013, 05:57 PM -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

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