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Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 9 2013, 12:04 AM Publicado: #201
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Como este problema queda muy por debajo de las bestialidades que he visto en esta maratón, le voy a subir el nivel con uno de esos problemas lindos de la vida: $TEX: $ $\\<br />Sea $ABCD$ (en ese orden) un cuadradito con $P$ en su regi\'on exterior tal que $\overline{AP}\perp\overline{BP}$.\\<br />Siendo $O$ el circuncentro del cuadrado y $\dfrac{\|ADOP\|}{\|CBPO\|}=\dfrac{11}{8}$ determine $\tan\angle PAB$.$ EDIT: Las barritas significan área. EDIT2: arreglada la proporción. Mensaje modificado por Kaissa el Jul 9 2013, 12:06 AM -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Heiricar Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 9 2013, 01:39 AM Publicado: #202
Dios Matemático Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 423 Registrado: 4-January 11 Miembro Nº: 82.624 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Solución Sin perdida de generalidad el lado del cuadrado es 1, sea $TEX: $PA=a$$ , $TEX: $PB=b$$ y $TEX: $\measuredangle PAB=\alpha$$ , por ptolomeo $TEX: $$PO=\frac{a+b}{\sqrt{2}}$$$ , ahora tenemos: $TEX: $$\frac{\|ADOP\|}{\|CBPO\|}=\frac{\|ADO\|+\|AOP\|}{\|CBO\|+\|OBP\|}=\frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{2}sen(\alpha )(\frac{a+b}{\sqrt{2}})\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{4}+\frac{1}{2}sen(90-\alpha)(\frac{a+b}{\sqrt{2}})\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{1+b(a+b)}{1+a(a+b)}=\frac{11}{8}$$$ por lo que $TEX: $8b^2=3+11a^2+3ab$$ , dividiendo por $TEX: $b^{2}$$ tenemos $TEX: $$8=\frac{3(a^{2}+b^{2})}{b^{2}}+11(\frac{a}{b})^2+3\frac{a}{b}$$$ de donde $TEX: $$14(\frac{a}{b})^{2}+3\frac{a}{b}-5=0$$$ , ahora resolviendo la cuadrática y recordando que $TEX: $$\frac{b}{a}=tan(\alpha)$$$ tenemos $TEX: $tan(\alpha)=2$$

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 9 2013, 03:40 PM Publicado: #203
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Hermoso resultado y una buena y concisa solución. Propón con confianza. -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Heiricar Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 9 2013, 05:55 PM Publicado: #204
Dios Matemático Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 423 Registrado: 4-January 11 Miembro Nº: 82.624 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Problema: $TEX: $a$$ , $TEX: $b$$ y $TEX: $c$$ son enteros positivos tales que $TEX: $$\frac{a \sqrt{3}+b}{b \sqrt{3}+c}$$$ es un numero racional, pruebe que $TEX: $$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a+b+c}$$$ es un entero

MatíasMoreno Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 9 2013, 07:09 PM Publicado: #205
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 217 Registrado: 5-April 11 Desde: no se :c Miembro Nº: 86.300 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Bien a la rápida así que ojalá esté bien Solución: Como $TEX: $\displaystyle \frac{a\sqrt{3}+b}{b\sqrt{3}+c}\in \mathbb{Q}$$ , entonces $TEX: $\displaystyle \frac{a\sqrt{3}+b}{b\sqrt{3}+c}=\displaystyle \frac{p}{q}$$ con $TEX: $p,q\in \mathbb{Z}^{+}$$ y coprimos, de esto tenemos que $TEX: $aq\sqrt{3}+bq=bp\sqrt{3}+cp$$ y reagrupando tenemos que $TEX: $\sqrt{3}(aq-bp)=cp-bq$$ , como el lado derecho es entero, para que la igualdad sea válida es evidente que $TEX: $aq-bp=0\Rightarrow aq=bp$$ , y de esto es directo que $TEX: $cp=bq$$ . De estas dos igualdades obtenemos que $TEX: $b^2=ac$$ . Ahora, notemos que $TEX: $\displaystyle \frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}=\displaystyle \frac{(a+b+c)^2-2ab-2ac-2bc}{a+b+c}=a+b+c-\displaystyle \frac{2ab+2ac+2bc}{a+b+c}$$ ahora como $TEX: $a+b+c\in \mathbb{Z}$$ entonces debe ocurrir que $TEX: $\displaystyle \frac{2ab+2ac+2bc}{a+b+c}\in \mathbb{Z}$$ , pero esto es directo usando el hecho de que $TEX: $b^2=ac$$ nos queda $TEX: $\displaystyle \frac{2ab+2b^2+2bc}{a+b+c}=\displaystyle \frac{b(2a+2b+2c)}{a+b+c}=2b$$ que claramente es entero $TEX: $\blacksquare $$ -------------------- Cuando eliminamos lo imposible lo que queda, por improbable que parezca...siempre será la verdad... Nada tiene sentido, pero todo tiene significado.

Heiricar Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 9 2013, 07:58 PM Publicado: #206
Dios Matemático Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 423 Registrado: 4-January 11 Miembro Nº: 82.624 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Perfecto! Propones

MatíasMoreno Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 9 2013, 08:10 PM Publicado: #207
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 217 Registrado: 5-April 11 Desde: no se :c Miembro Nº: 86.300 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Sea $TEX: $\triangle ABC$$ isósceles de base $TEX: $BC$$ . Sea $TEX: $D$$ un punto en el lado $TEX: $AC$$ tal que $TEX: $2AD=CD$$ . Sea $TEX: $P$$ un punto en el segmento $TEX: $BD$$ tal que $TEX: $\angle APC=90$º$ . Pruebe que $TEX: $\angle ABP=\angle PCB$$ . -------------------- Cuando eliminamos lo imposible lo que queda, por improbable que parezca...siempre será la verdad... Nada tiene sentido, pero todo tiene significado.

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 9 2013, 11:21 PM Publicado: #208
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	Solucion: Maraton.JPG ( 16.05k ) Número de descargas: 1 Sea: $TEX: $\measuredangle ABP = \alpha$$ $TEX: $\measuredangle BCP = \beta$$ $TEX: $\measuredangle ACP = \gamma$$ -Sea $TEX: $H$$ el pie de la altura trazada desde $TEX: $A$$ hacia $TEX: $BC$$ , entonces el cuadrilatero $TEX: $APHC$$ es ciclico $TEX: $\Rightarrow \measuredangle PAH = \beta$$ . -Si trazamos una recta paralela a $TEX: $BC$$ que pasa por $TEX: $A$$ y prolongamos $TEX: $\overrightarrow{BD}$$ hasta que intersecte a la paralela en $TEX: $E$$ $TEX: $\Rightarrow \triangle AED \sim \triangle BCD$$ por criterio de semejanza $TEX: $A.A$$ de esto: $TEX: $\frac{BC}{AE} = \frac{AD}{CD} = \frac{1}{2}$$ , en consecuencia $TEX: $AE=HC$$ entonces, $TEX: $\triangle EAC \cong HCA$$ por criterio de congruencia $TEX: $LAL$$ de donde concluimos que los puntos $TEX: $A,P,H,C,E$$ son cociclicos $TEX: $\Rightarrow \measuredangle AED = \measuredangle PCD = \measuredangle PBC$$ . Por lo tanto como el Triangulo ABC es isosceles concluimos lo pedido $TEX: $\alpha = \beta$$ Saludos !! Mensaje modificado por Niklaash el Jul 9 2013, 11:24 PM

MatíasMoreno Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 9 2013, 11:59 PM Publicado: #209
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 217 Registrado: 5-April 11 Desde: no se :c Miembro Nº: 86.300 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Correcto, propones -------------------- Cuando eliminamos lo imposible lo que queda, por improbable que parezca...siempre será la verdad... Nada tiene sentido, pero todo tiene significado.

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 10 2013, 01:21 AM Publicado: #210
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	Demuestre que $TEX: $11^{n+2} + 12^{2n+1}$$ es divisible por $TEX: $133$$ para todo $TEX: $n$$ natural

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