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Seba² Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 26 2013, 11:03 PM Publicado: #181
Dios Matemático Grupo: Moderador Mensajes: 269 Registrado: 30-August 10 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 76.269 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solución: Razonaremos por contradicción, supongamos que no se cumple lo del enunciado. Vamos a llamar a los colores $TEX: $\displaystyle a$$ , $TEX: $\displaystyle b$$ , $TEX: $\displaystyle c$$ y $TEX: $\displaystyle d$$ . Por el Principio del Palomar tenemos que existe un color tal que tiene almenos 25 elementos del conjunto, digamos que son $TEX: $\displaystyle a_{1}, a_{2},...,a_{25}$$ y que estan ordenados de menor a mayor. Ahora consideremos las diferencias $TEX: $\displaystyle a_{i}-a_{1}$$ con $TEX: $\displaystyle i=2, 3,..., 25$$ , entonces como no se cumple lo del enunciado, denuevo usando el Principio del Palomar tenemos que existe un color que se repite 8 veces en las diferencias $TEX: $\displaystyle a_{i}-a_{1}$$ con $TEX: $\displaystyle i=2, 3,..., 25$$ , sin perdida de generalidad llamemosla $TEX: $\displaystyle b_{i}=a_{i+1}-a_{1}$$ con $TEX: $\displaystyle i=1, 2,..., 8$$ . Analogamente por el mismo argumento, vamos a considerar las diferencias $TEX: $\displaystyle b_{i}-b_{1}$$ con $TEX: $\displaystyle i=1, 2,..., 8$$ y como el enunciado no se cumple, por el Principio del Palomar existe un color que se repite 3 veces entre las diferencias $TEX: $\displaystyle b_{i}-b_{1}=a_{i+1}-a_{2}$$ , sin perdida de generalidad llamemoslo $TEX: $\displaystyle c_{j}=b_{j+1}-b_{1}=a_{j+2}-a_{2}$$ con $TEX: $\displaystyle j=1, 2, 3$$ . Usando un argumento parecido vamos a considerar las diferencias $TEX: $\displaystyle c_{2}-c_{1}, c_{3}-c_{1} $$ , como no se cumple lo del enunciado, entonces el cuarto color $TEX: $\displaystyle d$$ estará presente en esas 2 diferencias, llamemos $TEX: $\displaystyle d_{1}=c_{2}-c_{1} $$ y $TEX: $\displaystyle d_{2}=c_{3}-c_{1} $$ y efectuando la diferencia $TEX: $\displaystyle d_{2}-d_{1}$$ tendremos que: $TEX: $\displaystyle d_{2}-d_{1}=c_{3}-c_{2}=b_{4}-b_{3}=a_{5}-a_{4}$$ Ergo, como el valor anterior pertenece a $TEX: $\displaystyle {1,2,...,100}$$ este tendrá uno de los 4 colores, contradicción. Entonces habrán al menos 2 números del mismo color tal que su diferencia es del mismo color, demostrando lo pedido $TEX: $\displaystyle \blacksquare$$ Saludos !!! Mensaje modificado por Seba² el Jun 26 2013, 11:14 PM -------------------- Estudiante Instituto Nacional General José Miguel Carrera IV Medio(2013) 17 años. Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus discípulos: y = ax² + bx + c ¿Y eso qué es? Dijo uno de los discípulos. A lo que Jesús respondió: ¡Una parábola !

Heiricar Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 27 2013, 12:08 AM Publicado: #182
Dios Matemático Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 423 Registrado: 4-January 11 Miembro Nº: 82.624 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Perfecto! Propones ahora. Mensaje modificado por Heiricar el Jun 27 2013, 12:12 AM

Seba² Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 27 2013, 01:16 AM Publicado: #183
Dios Matemático Grupo: Moderador Mensajes: 269 Registrado: 30-August 10 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 76.269 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Demuestre que para todo conjunto de n elementos enteros existe un subconjunto tal que su suma es divisible por n. Saludos. Mensaje modificado por Seba² el Jun 27 2013, 01:17 AM -------------------- Estudiante Instituto Nacional General José Miguel Carrera IV Medio(2013) 17 años. Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus discípulos: y = ax² + bx + c ¿Y eso qué es? Dijo uno de los discípulos. A lo que Jesús respondió: ¡Una parábola !

Heiricar Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 27 2013, 06:35 PM Publicado: #184
Dios Matemático Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 423 Registrado: 4-January 11 Miembro Nº: 82.624 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Solución Sea $TEX: $A=\left \{ a_{1},a_{2},...,a_{n} \right \}$$ el conjunto, definamos para $TEX: $i\leq n$$ la suma $TEX: $s_{i}=a_{1}+a_{2}+...+a_{i}$$ , si los n enteros $TEX: $s_{i}$$ son distintos modulo n entonces hay uno divisible por n, sino entonces hay dos congruentes modulo n de donde su resta es divisible por $TEX: $n$$ (donde claramente esa resta es la suma de los elementos de un subconjunto de $TEX: $A$$ )

Seba² Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 27 2013, 06:38 PM Publicado: #185
Dios Matemático Grupo: Moderador Mensajes: 269 Registrado: 30-August 10 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 76.269 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Correcto, propones . Saludos. Mensaje modificado por Seba² el Jun 27 2013, 06:38 PM -------------------- Estudiante Instituto Nacional General José Miguel Carrera IV Medio(2013) 17 años. Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus discípulos: y = ax² + bx + c ¿Y eso qué es? Dijo uno de los discípulos. A lo que Jesús respondió: ¡Una parábola !

Heiricar Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 27 2013, 07:01 PM Publicado: #186
Dios Matemático Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 423 Registrado: 4-January 11 Miembro Nº: 82.624 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Problema: Sea $TEX: $ABCD$$ un paralelogramo y $TEX: $\Gamma$$ una circunferencia de centro $TEX: $O$$ tangente a $TEX: $AD$$ en $TEX: $T$$ y a la prolongación de $TEX: $CD$$ en $TEX: $K$$ . pruebe que $TEX: $BO$$ es perpendicular a $TEX: $AC$$ si los puntos $TEX: $B$$ , $TEX: $T$$ y $TEX: $K$$ son colineales

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 29 2013, 12:31 AM Publicado: #187
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Como DK=DT es evidente que AT=AB. Sea G el pie de la perpendicular de D sobre OB, P la intersección de DG con AB y M la de AC con DB. Gracias a que el cuadrilátero OGTD es cíclico (OGD=90=OTD) tenemos que DGT=DOT=DKT=TBA, es decir DGT=TBP, luego el cuadrilátero GPBT es cíclico, de donde PTB=90 y en consecuencia AB=AT=AP( como AT=AB y BTP=90 es rutinario el deducir que A es el punto medio de PB, puesto que es la intersección de la simetral de BT con PB), luego AP=AB, y como MB=DM concluimos que AM es paralela a PD, lo que implica que AC es paralela a PD, de donde concluimos que OB es perpendicular a AC, puesto que lo es a PD. Con esto finalizamos. -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

Heiricar Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 29 2013, 01:44 AM Publicado: #188
Dios Matemático Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 423 Registrado: 4-January 11 Miembro Nº: 82.624 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	¡Excelente solución! Te toca proponer

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 29 2013, 01:07 PM Publicado: #189
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Encuentre todas las parejas naturales (x,y), tales que $\dfrac {x}{y}+\dfrac {4y+1}{x}=4026$$ -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

Seba² Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 5 2013, 11:08 PM Publicado: #190
Dios Matemático Grupo: Moderador Mensajes: 269 Registrado: 30-August 10 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 76.269 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solución: Vamos a razonar por contradicción, supongamos que la ecuación si tiene solución. La ecuación es equivalente a: $TEX: $\displaystyle x^{2}-4026xy+4y^{2}+y=0$$ La cual es una ecuación cuadrática en x, de donde tenemos que su discriminante equivale a: $TEX: $\displaystyle \Delta =4026^{2}y^{2}-16y^{2}-4y$$ Es decir $TEX: $\displaystyle \Delta =4y(2011\cdot 2015y-1)$$ Concluimos que $TEX: $\displaystyle y(2011\cdot 2015y-1)$$ debe ser un cuadrado perfecto, pero como $TEX: $\displaystyle (y,2011\cdot 2015y-1)=1$$ obtenemos que $TEX: $\displaystyle y$$ y $TEX: $\displaystyle 2011\cdot 2015y-1$$ son cuadrados perfectos, llamemos $TEX: $\displaystyle 2011\cdot 2015y-1=k^{2}$$ , entonces vamos a tener que: $TEX: $\displaystyle k^{2}\equiv 2011\cdot 2015y-1\equiv -1mod2011$$ Esto es una contradicción, pues -1 no es residuo cuadrático módulo p con p un primo de la forma 4k+3. Por consiguiente, la ecuación no tiene soluciones en los enteros positivos $TEX: $\displaystyle \blacksquare$$ Saludos !!! Mensaje modificado por Seba² el Jul 5 2013, 11:23 PM -------------------- Estudiante Instituto Nacional General José Miguel Carrera IV Medio(2013) 17 años. Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus discípulos: y = ax² + bx + c ¿Y eso qué es? Dijo uno de los discípulos. A lo que Jesús respondió: ¡Una parábola !

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