Maraton Opciones

[jorgillo81]

Por contradicción. Supongamos que no existe un triángulo equilátero con sus tres vértices del mismo color.

Escojamos dos puntos del mismo color (esto siempre se puede hacer) y supongamos que sean blancos. Llamemos a estos puntos O y A, y a partir de ellos construimos dos hexágonos regulares como muestra la figura.

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Como O y A son blancos, y suponemos que no hay triángulos equiláteros con vértices del mismo color, tenemos que B y P son negros. Debido a esto, D debe ser blanco, de lo contrario BDP sería equilátero con tres vértices negros. Ahora, como D es blanco, E debe ser negro. Como vimos que P también es negro, se tiene que F debe ser blanco. Y voilà, tenemos que el triángulo equilátero ADF tiene tres vértices blancos. Contradicción.

Luego, siempre es posible encontrar un triángulo equilátero con sus tres vértices del mismo color.

Saludos,
Jorge

[jorgillo81]

Esperaba el visto bueno de seba2, pero ya que el público lo pide, aquí va mi propuesto.



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Saludos,
Jorge

[Seba²]

Por contradicción. Supongamos que no existe un triángulo equilátero con sus tres vértices del mismo color.

Escojamos dos puntos del mismo color (esto siempre se puede hacer) y supongamos que sean blancos. Llamemos a estos puntos O y A, y a partir de ellos construimos dos hexágonos regulares como muestra la figura.

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Como O y A son blancos, y suponemos que no hay triángulos equiláteros con vértices del mismo color, tenemos que B y P son negros. Debido a esto, D debe ser blanco, de lo contrario BDP sería equilátero con tres vértices negros. Ahora, como D es blanco, E debe ser negro. Como vimos que P también es negro, se tiene que F debe ser blanco. Y voilà, tenemos que el triángulo equilátero ADF tiene tres vértices blancos. Contradicción.

Luego, siempre es posible encontrar un triángulo equilátero con sus tres vértices del mismo color.

Saludos,
Jorge

Correcto.

Salu2 !!!

[Heiricar]

Tema saneado

Por favor eviten hacer comentarios innecesarios que desvíen el rumbo natural de la maratón.

[ol1v3r]

Ya que M es punto medio se tiene que [ACM]=[MCB] y al ser P punto medio se tiene [CAP]=[PAD].
Usando lo anterior tenemos que 2[ACM]+2[CAP]=[ABCD], o sea [ACM]+[CAP]=[ABCD]/2
De forma análoga se demuestra que [QBD]+[BDN]=[ABCD]/2.

Luego [ACM]+[CAP]=[QBD]+[BDN], que es lo mismo que decir [AMYX]+[XYZT]+[TZCP]=[QXTD]+[XYZT]+[YBNZ], de donde se obtiene [AMYX]+[TZCP]=[QXTD]+[YBNZ] (*)

Como [ABCD]/2=[ACM]+[CAP]= [AMYX]+[XYZT]+[TZCP] se debe cumplir que [ABCD]/2=[AQX]+[QXTD]+[DPT]+[BMY]+[YBNZ]+[CNZ].

Por transitividad: [AMYX]+[XYZT]+[TZCP]=[AQX]+[QXTD]+[DPT]+[BMY]+[YBNZ]+[CNZ], usando (*) se llega a

[XYZT]=[AQX]+[DPT]+[BMY]+[CNZ]

[jorgillo81]

Correcta respuesta ol1v3r.

Aquí va mi solución, ocupando el teorema de las alfombras (carpets theorem).

Tal como ol1v3r dice:

Ya que M es punto medio se tiene que [ACM]=[MCB] y al ser P punto medio se tiene [CAP]=[PAD].
Usando lo anterior tenemos que 2[ACM]+2[CAP]=[ABCD], o sea [ACM]+[CAP]=[ABCD]/2
De forma análoga se demuestra que [QBD]+[BDN]=[ABCD]/2.

Es decir [AMCP]+[QBND]=[ABCD]

Ahora ocupamos el teorema.
Como [AMCP] + [QBND] = [ABCD], se tiene que los primeros 2 cuadriláteros pueden cubrir completamente a ABCD (posiblemente haciendo uso de transformaciones o cortes y ordenando los trozos). Luego, como los cuadriláteros están traslapados, el área traslapada ([XYZT]) es igual al aréa que quedó sin cubrir ([AQX]+[DPT]+[BMY]+[CNZ]).

Por lo tanto [XYZT]=[AQX]+[DPT]+[BMY]+[CNZ].

Ahora le toca a ol1v3r proponer un problema.

Saludos,
Jorge

[ol1v3r]

Se define la operación binaria * sobre los números reales tal que para todo a,b,c, (a*b)*c=a+b+c.
Pruebe que * es +.

Mensaje modificado por ol1v3r el Jun 25 2013, 11:52 AM

[Heiricar]

Solución

Como tanto * como + son funciones de R^2 en R tenemos que para probar la igualdad basta con demostrar que a*b=a+b para todo a,b en R

Notemos que si 0*0=0 esto ultimo es directo ya que se tendría (0*0)*a=0*a=0+0+a de donde 0*a=a, luego para todo a,b se tendría (0*a)*b=a*b=a+b y el problema termina.

Ahora probemos que 0*0=0
Notemos que por la propiedad de * se tiene (((a*b)*c)*d)=(a+b+c)*d y (((a*b)*c)*d)=a*b+c+d de donde (a+b+c)*d=a*b+c+d.
Ahora si tomamos a=0, b=0, c=0*0 y d=0*0 en esta ultima igualadad se tiene (0*0)*(0*0)=0*0+0*0+0*0, haciendo 0*0=x tenemos x*x=3x, y notando que x+x+x=(x*x)*x tenemos x*x=(x*x)*x, ahora si a ambos lados de la ecuación aplicamos *x se tiene (x*x)*x=((x*x)*x)*x de donde 3x=x*x+2x lo que implica x=x*x, remplazando esto en x*x=3x se tiene x=3x de donde x=0*0=0 terminando la prueba

[ol1v3r]

Correcto.

Nota que (0*0)*(0*0)=0+0+0*0, con eso estabas listo

Fuente: Si mal no recuerdo es de una Putnam.

[Heiricar]

Problema: Cada numero del conjunto {1,2,3 ...,100} se pinta de rojo, azul, verde o amarillo. Pruebe que hay dos números del mismo color cuya diferencia es también de ese color.