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xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 23 2011, 03:32 PM Publicado: #151
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	A pedido de un voy a cambiar el problema: Determine la paridad de la cantidad de tuplas $TEX: $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)\in \mathbb{N}^5$$ satisfaciendo $TEX: $\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\dfrac{1}{a_4}+\dfrac{1}{a_5}=1$$ Mensaje modificado por xD13G0x** el Dec 26 2011, 11:04 AM -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 24 2011, 06:50 PM Publicado: #152
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Si consideramos un conjunto de elementos $\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}$ tal que alguna tupla conformada por sus elementos satisfaga lo pedido, se tendría que todas las reordenaciones de esta tupla satisficieran lo pedido, dada la simetría. Por ende si el número de reordenaciones no idénticas de una tupla es par, la cantidad de soluciones que aportaría el conjunto de elementos que conforma la tupla sería par. Tomando esto en consideración podremos seguir con el problema. Analizemos todos los posibles casos. Si $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)$ fuese una solución y todos sus elementos fuesen distintos tendríamos a partir de cada solución un total de $5!$ soluciones, lo que resulta ser un numero par, luego la cantidad total de soluciones en este caso es par. Si existiese tan solo una pareja que se repite se tendrían $\dfrac {5!}{2}$ tuplas a partir de cada solución, luego en este caso hay también un numero par de soluciones. Si hubiesen 2 parejas de números iguales tendríamos que a partir de cada solucion se obtienen un total de $\dfrac {5¡}{4}$ re-ordenaciones, lo que es un numero par, luego en este caso hay un numero par de soluciones . Lo mismo ocurre cuando hay un par y un trío de números iguales en la tupla , puesto que a partir de cada solución tenemos un total de $10$ soluciones, numero par. Si hubiese 4 valores que se repiten a partir de cada solución obtenemos un total de 5, luego la paridad de la cantidad de soluciones será la misma que la paridad de la cantidad de parejas de naturales distintos $(a,b)$ tales que $\dfrac {4}{a}+\dfrac {1}{b}=1$, esto es equivalente a $4=(a-4)(b-1)$, analizando los divisores de 4 llegamos a las parejas solución $(a,b)=(8,2),(6,3),(5,5),(0,0)$, luego dadas las restricciones llegamos a $(a,b)=(8,2),(6,3)$, lo que es una cantidad par, de donde este caso tiene una cantidad par de soluciones. El caso en que todas las soluciones son iguales nos deja una solución, numero impar, luego en total tendremos un número impar de soluciones porque todos los demás casos nos dan una cantidad par de soluciones, entonces con esto hemos finalizado.$ Edit: Este Diego que me hace equivocarme xd Mensaje modificado por Pedantic Anarchy el Dec 26 2011, 12:19 PM -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 25 2011, 11:51 AM Publicado: #153
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(xD13G0x @ Dec 23 2011, 04:32 PM) A pedido de un ** voy a cambiar el problema: Determine la paridad de la cantidad de tuplas $TEX: $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)\in \mathbb{Z}^5$$ satisfaciendo $TEX: $\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\dfrac{1}{a_4}+\dfrac{1}{a_5}=1$$ (3,3,3,n,-n) es solución para todo entero positivo n, entonces tiene infinitas soluciones. ¿Seguro que son soluciones en $TEX: $\mathbb Z$$ ? -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 26 2011, 09:40 AM Publicado: #154
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	QUOTE(xsebastian @ Dec 25 2011, 12:51 PM) (3,3,3,n,-n) es solución para todo entero positivo n, entonces tiene infinitas soluciones. ¿Seguro que son soluciones en $TEX: $\mathbb Z$$ ? aaaaaaa, lindia pifia me mande xd, ahora que lo veo debe ser N. -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 26 2011, 11:10 AM Publicado: #155
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	Correcto en cualquier caso pedantic -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 26 2011, 12:02 PM Publicado: #156
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	En un triangulo agudo ABC, es dado que 2AB=AC+BC .Pruebe que el incentro del triangulo, el circumcentro del triangulo, el punto medio de CA y el punto medio de CB son conciclicos. -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 7 2012, 07:57 PM Publicado: #157
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	Sea $TEX: $M,N$$ los puntos medios de $TEX: $CB,CA$$ respectivamente y $TEX: $I$$ el incentro. Sea $TEX: $D$$ en $TEX: $AC$$ tal que $TEX: $CD$$ es bisectriz. Tenemos que $TEX: $\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{BC}{BD}\implies\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{BC}{BD}=\dfrac{AC+BC}{AB}=2\implies AD=\dfrac{AC}{2}$$ . Como $TEX: $AN=AC/2=AD$$ y $TEX: $\angle NAI=\angle DAI$$ , los triangulos $TEX: $\triangle NAI$$ y $TEX: $\triangle DAI$$ son iguales. Asi $TEX: $\angle CIN=180-\angle NID=180-2\angle AID=180-2(90-\angle B/2)=\angle B=\angle CMN$$ de donde $TEX: $CMIN$$ es ciclico y la conclusion es trivial. Mensaje modificado por xD13G0x el Jan 7 2012, 07:59 PM -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 7 2012, 08:11 PM Publicado: #158
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(xD13G0x @ Jan 7 2012, 08:57 PM) Sea $TEX: $M,N$$ los puntos medios de $TEX: $CB,CA$$ respectivamente y $TEX: $I$$ el incentro. Sea $TEX: $D$$ en $TEX: $AC$$ tal que $TEX: $CD$$ es bisectriz. Tenemos que $TEX: $\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{BC}{BD}\implies\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{BC}{BD}=\dfrac{AC+BC}{AB}=2\implies AD=\dfrac{AC}{2}$$ . Como $TEX: $AN=AC/2=AD$$ y $TEX: $\angle NAI=\angle DAI$$ , los triangulos $TEX: $\triangle NAI$$ y $TEX: $\triangle DAI$$ son iguales. Asi $TEX: $\angle CIN=180-\angle NID=180-2\angle AID=180-2(90-\angle B/2)=\angle B=\angle CMN$$ de donde $TEX: $CMIN$$ es ciclico y la conclusion es trivial. Correcto. -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 7 2012, 08:13 PM Publicado: #159
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	Demuestre que: $TEX: $\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n+k}{k}\frac{1}{2^k}=2^n$$ -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

aleabrahamramire... aleabrahamramirez Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 22 2012, 11:51 PM Publicado: #160
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 206 Registrado: 25-January 11 Miembro Nº: 83.389	CITA(xD13G0x @ Jan 7 2012, 10:13 PM) Demuestre que: $TEX: $\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n+k}{k}\frac{1}{2^k}=2^n$$ Según las reglas debes dar otro ejercicio y dar la solución (esperando con ansias) Mensaje modificado por aleabrahamramirez el Jan 22 2012, 11:52 PM

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