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Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 7 2011, 05:58 PM Publicado: #121
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	Como no hubo respuesta dentro del plazo tengo que cambiar el problema y este pasa a la lista de los que se responderan luego xD Decida si existen o no funciones $TEX: $f,g$$ de los enteros positivos en los enteros positivos tales que $TEX: $f$$ y $TEX: $g$$ sean estrictamente crecientes y además $TEX: $f(g(g(x)))<g(f(x))$$ para todo x en los enteros positivos.

nagernager Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 15 2011, 06:19 PM Publicado: #122
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 192 Registrado: 23-August 10 Miembro Nº: 75.906 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Vamos a seguir con la maratonn

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 20 2011, 08:38 PM Publicado: #123
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	Buen problema Respuesta: NO. Procedemos por induccion, queremos probar que $TEX: $g^n(x)<f(x)$$ para todo $TEX: $x$$ ( $TEX: $g^n=g(g(\cdots g(x)\cdots)$$ donde $TEX: $g$$ es aplicado $TEX: $n$$ veces) de donde se obtiene una contradiccion pues $TEX: $g^n(x)$$ es arbitrariamente grande. Base de induccion: $TEX: $g(x)<f(x)$$ Suponga lo contrario, es decir que $TEX: $g(x)\ge f(x)$$ . Entonces $TEX: $g(g(x))\ge g(f(x)\Rightarrow g(g(x))>f(g(g(x)))$$ , osea existe un $TEX: $y$$ tal que $TEX: $y>f(y)$$ , pero esto ultimo es una contradiccion ya que de $TEX: $f(y)>f(y-1)>\cdots>f(1)\ge 1$$ se deduce que $TEX: $f(y)\ge y$$ Paso inductivo: Suponga que $TEX: $g^n(x)<f(x)$$ , se tiene que $TEX: $g^n(g(g(x)))<f((g(g(x)))<g(f(x))\Rightarrow g(g^{n+1}(x))<g(f(x))\Rightarrow g^{n+1}<f(x)$$ -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 21 2011, 10:13 AM Publicado: #124
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	Correcto, propone el participante de la IMO luego de largos día sin maraton... El problema era una parte de uno de la shortlist 2008

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 21 2011, 10:25 AM Publicado: #125
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	Uno de geometria de los pulentos. Sea $TEX: $ABC$$ un triangulo con $TEX: $\angle B\neq \angle C$$ . El incirculo de $TEX: $ABC$$ intersecta los lados $TEX: $BC,CA,AB$$ en los puntos $TEX: $D,E,F$$ , respectivamente. $TEX: $AD$$ intersecta el incirculo en los puntos $TEX: $D$$ y $TEX: $P$$ . Sea $TEX: $Q$$ la interseccion de $TEX: $EF$$ y la recta que pasa por $TEX: $P$$ y es perpendicular a $TEX: $AD$$ , y sean $TEX: $X,Y$$ los puntos de interseccion de la recta $TEX: $AQ$$ con $TEX: $DE,DF$$ , respectivamente. Demuestre que $TEX: $A$$ es el punto medio de $TEX: $XY$$ Sorry por el error de tipeo Mensaje modificado por xD13G0x el Jun 21 2011, 09:45 PM -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 22 2011, 01:12 PM Publicado: #126
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	Vamos a suponer sin pérdida de generalidad que $TEX: $AC>AB$$ . Sea $TEX: $\Gamma$$ el incírculo del triángulo $TEX: $ABC$$ , sea $TEX: $I$$ el incentro del triángulo ABC y sea $TEX: $T$$ el punto diametralmente opuesto a $TEX: $D$$ en $TEX: $\Gamma$$ . Luego la recta que pasa por el punto P y que es perpendicular a la recta AD es la recta PT, entonces $TEX: $Q\equiv PT\cap EF$$ . Vamos a demostrar que $TEX: $AQ//BC$$ . Primero necesitaremos de un lema. Lema: (Los puntos mencionados en este lema son los mismos ya definidos en esta solución) Sea $TEX: $\ell$$ la recta paralela a BC que pasa por el punto A. Entonces los puntos $TEX: $FT\cap DE$$ y $TEX: $ET\cap DF$$ están sobre $TEX: $\ell$$ . Demostración: A cargo del lector, si alguien quiere una demostración que postee xD Volviendo al problema, siendo $TEX: $\ell$$ la recta paralela a BC que pasa por el punto A, tenemos que si $TEX: $DF\cap \ell=S$$ , $TEX: $DE\cap \ell=R$$ , entonces $TEX: $S,T,E$$ son colineales y $TEX: $R,T,F$$ también colineales, por el lema. Ahora si $TEX: $U$$ es la interseccion de DT con $TEX: $\ell$$ , entonces $TEX: $DU\perp \ell$$ por ser $TEX: $\ell$$ paralela a BC y $TEX: $TD\perp BC$$ . Ahora bien como $TEX: $DT$$ es diámetro de $TEX: $\Gamma$$ tenemos que $TEX: $RF\perp SD$$ , $TEX: $ST\perp RD$$ , de donde $TEX: $T$$ es el ortocentro del triángulo $TEX: $SDR$$ , y como se puede ver facilmente $TEX: $AS=AF=AE=AR$$ de donde $TEX: $A$$ es el punto medio de $TEX: $PR$$ . Luego la circunferencia de los nueve puntos del triángulo $TEX: $SDR$$ pasa por los puntos $TEX: $A,U,E,F$$ . LLamemos a esa circunferencia $TEX: $N$$ . Tambien como $TEX: $TU\perp AU$$ , $TEX: $TP\perp AD$$ tenemos que el punto medio de $TEX: $AT$$ es el centro de la circunferencia que pasa por los puntos $TEX: $A,U,T,P$$ , llamemos $TEX: $J$$ a esa circunferencia. Luego $TEX: $\ell, PT, EF$$ concurren en el centro radical de $TEX: $\Gamma, N, J$$ . Esto quiere decir que en el problema $TEX: $AQ\equiv \ell$$ , de donde $TEX: $X\equiv R$$ e $TEX: $Y\equiv S$$ , y como teníamos que $TEX: $A$$ es el punto medio de $TEX: $SR$$ , tenemos $TEX: $A$$ es el punto medio de $TEX: $XY$$ . Mensaje modificado por Felipe_ambuli el Jun 22 2011, 01:15 PM

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 22 2011, 02:23 PM Publicado: #127
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	Correcto. Lo saque del Infinity de Hojoo lee. Decia United kingdom 2007 Su turno No se si se dieron cuenta pero a mi ultima solucion le falta un pequeño detalle ,no esta mal, es solo que le falta alguito. -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 22 2011, 02:41 PM Publicado: #128
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	Para cada entero $TEX: $n$$ mayor que 1, sea $TEX: $\pi(n)$$ el menor divisor primo de $TEX: $n$$ . Si $TEX: $a,b$$ son enteros mayores que 1 tales que $TEX: $a^2+b=\pi(a)+\pi(b)^2$$ , demostrar que $TEX: $a=b$$ . PD: creo que tu hipotesis de induccion esta mala

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 22 2011, 03:59 PM Publicado: #129
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	si $TEX: $b$$ no es primo entonces $TEX: $a^2+b>\pi(a)+b>\pi(a)+\pi(b)^2$$ ,contradiccion. Entonces tenemos que $TEX: $b$$ es primo. La ecuacion se nos transforma en $TEX: $a^2+b=\pi(a)+b^2$$ osea $TEX: $(a-b)(a+b)=\pi(a)-b$$ . Si $TEX: $a\neq b$$ entonces $TEX: $\|\pi(a)-b\|=\|a-b\|\|a+b\|\ge\|a+b\|$$ lo que es contradiccion. En conclusion $TEX: $a=b=primo$$ PD: que tiene mi Hipotesis de induccion? Mensaje modificado por xD13G0x el Jun 22 2011, 03:59 PM -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 9 2011, 06:27 PM Publicado: #130
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	CITA(xD13G0x @ Jun 22 2011, 04:59 PM) si $TEX: $b$$ no es primo entonces $TEX: $a^2+b>\pi(a)+b>\pi(a)+\pi(b)^2$$ ,contradiccion. Entonces tenemos que $TEX: $b$$ es primo. La ecuacion se nos transforma en $TEX: $a^2+b=\pi(a)+b^2$$ osea $TEX: $(a-b)(a+b)=\pi(a)-b$$ . Si $TEX: $a\neq b$$ entonces $TEX: $\|\pi(a)-b\|=\|a-b\|\|a+b\|\ge\|a+b\|$$ lo que es contradiccion. En conclusion $TEX: $a=b=primo$$ PD: que tiene mi Hipotesis de induccion? Correcto. -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

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