Maraton Opciones

[xD13G0x]

Son dados los círculos W1 y W2 tales que se intersectan en P y K. XY es la tangente común de los dos círculos que se encuentra mas cerca de P, con X en W1 e Y en W2. XP intersecta W2 por segunda vez en C, y PY intersecta por segunda vez W1 en B. Sea A el punto de intersección de BX y CY. Pruebe que si Q es la segunda intersección de los circuncirculos de AXY y ABC entonces QXA=QKP.

Es trivial

[xD13G0x]

Me daba una flojera dar solucion D: pero aqui va, no voy a ser detallista pero si voy a poner un dibujo.


Sea:

M=interseccion de PK con XY
G=interseccion de AK con XY
O=interseccion de QG con el circuncirculo de AXY

De aqui se puede demostrar (no es tan dificil) que:

1. AX=AY
2. M es el punto medio de XY
3. QX/QY=KX^2/KY^2 (con arta ley de senos)
4. XG/GY=KX^2/KY^2

de 3. y 4. se sigue que QG es bisectriz de XQY, luego O es el punto medio del arco XY respecto al circuncirculo de AXY, de aqui uno prueba que O es el circuncentro de XKY. Luego OM*OA=OY^2=OK^2 de donde OK es tangente al circuncirculo de AMK, osea MKO=KAO=GAM=GQM=OQM (aqui usamos que GMAQ es ciclico porque GMA=GQA=90).
De aqui tenemos que QMOK es ciclico, osea que QKM=QOM, pero QOM=QXA y QKM=QKP, DONE

[Joacko]

Sí, bien trivialon

[Pedantic Anarchy...]

Me daba una flojera dar solucion D: pero aqui va, no voy a ser detallista pero si voy a poner un dibujo.


Sea:

M=interseccion de PK con XY
G=interseccion de AK con XY
O=interseccion de QG con el circuncirculo de AXY

De aqui se puede demostrar (no es tan dificil) que:

1. AX=AY
2. M es el punto medio de XY
3. QX/QY=KX^2/KY^2 (con arta ley de senos)
4. XG/GY=KX^2/KY^2

de 3. y 4. se sigue que QG es bisectriz de XQY, luego O es el punto medio del arco XY respecto al circuncirculo de AXY, de aqui uno prueba que O es el circuncentro de XKY. Luego OM*OA=OY^2=OK^2 de donde OK es tangente al circuncirculo de AMK, osea MKO=KAO=GAM=GQM=OQM (aqui usamos que GMAQ es ciclico porque GMA=GQA=90).
De aqui tenemos que QMOK es ciclico, osea que QKM=QOM, pero QOM=QXA y QKM=QKP, DONE

Muy buena solución, disculpe si el problema fue demasiado trivial para usted. Proponga xD13G0x.
Saludos
Fuente: Tst Iran 2010

[xD13G0x]

Demuestre que la secuencia se salta exactamente los numeros triangulares (los numeros triangulares son los de la forma m(m+1)/2)

Mensaje modificado por xD13G0x el May 25 2011, 09:33 PM

[El Geek]

Comentario: xdiegox me hizo tremenda pataleta por msn por el ejercicio y aquí viene a dárselas de "ah, trivial" XD.

[xD13G0x]

Hint: Si un numero no aparece en la secuencia, que debe cumplir?

[Felipe_ambuli]

Como n es entero entonces , demostraremos la siguiente desigualdad, que llamaremos (*)

Notar que de esa desigualdad se sigue que de entre los números enteros hay exactamente numeros triangulares, explicitamente esos son y no aparece el triangular siguiente que es , luego es el n-ésimo término de la secuencia luego de quitar los triangulares, notar además que de (*) se deduce que no es triangular. Entonces nos resta demostrar (*) para acabar con el problema.
Para esto note que (*) es equivalente a
donde . Como es irracional o bien entero, no es posible que (donde como es usual, ). Entonces separamos el problema en dos casos
Caso 1:
En este caso si hacemos , entonces como se sigue que , luego o bien , esta ultima desigualdad nos muestra que , de modo que (*) es lo mismo que o que . De hecho como y se demuestra esa desigualdad.
Caso 2: . Haciendo , tenemos que y que como se tiene y esto es , esta ultima desigualdad nos dice que asi que (*) es equivalente a , que es evidente. Con esto finalizamos

[xD13G0x]

Perfecto, lo saquen del engel's problem solving strategies.
Su turno

[Felipe_ambuli]

En un hexágono convexo se cumple que la distancia entre los puntos medios de cualquier par de lados opuestos del hexágono es veces la suma de esos lados opuestos. Probar que el hexágono es equiangular, es decir, tiene todos sus ángulos interiores con la misma medida.