Maraton Opciones

[Felipe_ambuli]

Bien! correcto y generalizado, propone xD13G0x
El problema era de la Olimpiada Iberoamericana 2002

[xD13G0x]

Para un entero positivo n, sea r(n) la suma de los residuos cuando n es dividido entre 1,2,...,n respectivamente. Pruebe que r(k)=r(k-1) para infinitos enteros positivos k.

[Felipe_ambuli]

Voy a responder un poco rápido porque estoy ocupado, aqui va
Vamos a demostrar que cuando k es potencia de 2 (con exponente mayor o igual a 1), entoces y esto nos dara la existencia de infinitos enteros positivos k.
Sea el resto de dividir k por i cuando , entonces como se puede ver facilmente , entonces como se sigue haciendo i=1,2,...,k en (*) y sumando esas igualdades que , entonces si y solo si y luego de un manejo algebraico no es dificil ver que esto es equivalente a , ahora usamos el hecho que k es potencia de 2.

Sea donde es un entero positivo, no es dificil convencerse que

luego como nos interesan los sumandos no nulos en el lado derecho de (**) se sigue que ese lado es la suma de los divisores de en el intervalo entero , pero esos divisores son exactamente cuya suma es exactamente por la suma geométrica, que es precisamente el lado izquierdo de (**) de modo que r(k)=r(k-1) cuando k es potencia de 2 (distinta de 1).

[xD13G0x]

perfecto, es bueno ver otra gente involucrado. La fuente segun el libro es : 1981 Kurschak Competition XD.
Tu turno

[Felipe_ambuli]

Sea ABCD un cuadrilatero ciclico y K su circunferencia circunscrita, el punto E es la interseccion de AB con CD y F es la interseccion de BC con DA (ABCD es tal que E y F quedan bien definidos). Demuestre que las tangentes a K por los puntos B y D se cortan sobre EF.

[El Geek]

Antes de hacer esto leí las reglas y me aseguré de que fuese posible preguntar en caso de dudas.

Sea ABCD un cuadrilatero ciclico y K su circunferencia circunscrita, el punto E es la interseccion de AB con CD y F es la interseccion de BC con DA (ABCD es tal que E y F quedan bien definidos). Demuestre que las tangentes a K por los puntos B y D se cortan sobre EF.

Duda abierta: ¿Qué significa o que consecuencias tiene el echo de que un punto quede bien o no definido?

Saludos.

[Felipe_ambuli]

Tal vez me exprese mal, quise decir que las rectas AB y CD no son paralelas y que AD con BC tampoco sean paralelas (para que la recta que une E y F quede bien definida), de todos modos no me parece una consulta vana porque tal vez si no lo hubiese puesto como esta mas de alguno podria estar pensando en que ocurre con el punto en el infinito, en fin... no es el caso.

Mensaje modificado por Felipe_ambuli el May 24 2011, 06:25 PM

[Pedantic Anarchy...]

La conclusion es directa al aplicar el teorema de pascal al cuadrilatero ciclico considerando tanto el punto B como el punto D dos veces.
Saludos

[Felipe_ambuli]

Correcto, tomando en cuenta que podemos degenerar el héxágono bajo la transformacion polar.
Propone Pedantic Anarchy
Fuente del problema: es una propiedad conocida

Mensaje modificado por Felipe_ambuli el May 24 2011, 09:03 PM

[Pedantic Anarchy...]

Son dados los círculos W1 y W2 tales que se intersectan en P y K. XY es la tangente común de los dos círculos que se encuentra mas cerca de P, con X en W1 e Y en W2. XP intersecta W2 por segunda vez en C, y PY intersecta por segunda vez W1 en B. Sea A el punto de intersección de BX y CY. Pruebe que si Q es la segunda intersección de los circuncirculos de AXY y ABC entonces QXA=QKP.