Prueba Final (1998), Sin solución:1,2,3,4,5,6,7 Opciones

[jorgillo81]

Problema 3: Evalúe .

¿Alguien sabe hacer el problema 3? Cada vez que me acuerdo del problema lo trato de resolver. Así llevo casi 15 años.
Desconozco si alguien logró resolverlo en la prueba, pero se rumoreaba que el resultado es 3, de lo cual estoy casi convencido, ¿pero cómo demostrarlo?

Saludos,
Jorge.

[Kaissa]

es un bucle! trata de escribirla como una secuencia recurrente y vas a dar con el límite.

[jorgillo81]

Yo he intentado lo siguiente:

Definimos



Con lo cual tenemos la recurrencia



Lo que se pide es evaluar , pero no conozco ningún término de la recurrencia. Podría conocer , pero de ahí no puedo pasar a , ni soñar con llegar a .

Tampoco se me ocurre como calcular el límite de eso, y además, no gano nada con conocer

Más pistas, plis!

Saludos,
Jorge

[coquitao]

Problema 5.

Solución.

[DHN]

<span style='font-size:14pt;line-height:100%'>10ª OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS</span>

<span style='font-size:11pt;line-height:100%'>Prueba Final</span>

Primera Prueba

Problema 1: Encuentre todos los pares de naturales con , tales que la suma de los naturales mayores que y menores que sea igual a 1998

Problema 2: Dada una semicircunferencia de diámetro , con , sea una cuerda variable, pero de longitud fija . Sea el punto de intersección de las rectas y , y sea el punto de intersección de las rectas y .

a) Pruebe que las rectas y son perpendiculares.
b) Determine el LG del punto .
c) Pruebe que tiene medida constante, y determínela en función de y .

Problema 3: Evalúe .

Segunda Prueba

Problema 4:

a) Demuestre que, para cualquier real no negativo , se cumple
b) Determine todos los para los cuales se cumple la igualdad.

Problema 5: Demuestre que el número 3 se puede escribir de una infinidad de maneras diferentes como la suma de los cubos de cuatro enteros.

Problema 6: Dado un triángulo equilátero, cortarlo en cuatro figuras poligonales de manera que, reensambladas adecuadamente, estas figuras formen un cuadrado.

Problema 7: Al lanzar dos dados normales, el conjunto de resultados posibles de la suma de los puntos es . Observe que esa secuencia puede obtenerse de la identidad:



Diseñe un par de dados locos, es decir, otros dos cubos, no necesariamente iguales, con un número natural indicado en cada cara, tales que el conjunto de resultados posibles de la suma de sus puntos sea igual al de dos dados normales.

Para el estúpido y sensual 3:
http://math.stackexchange.com/questions/43...rt45-sqrt5-dots

[alonc]

Coquitao como fue que llegaste a eso???

[Guz]

Problemas 3 y 6 son relativamente conocidos. No me parecen buenos problemas para una olimpiada. El 3 es parte de una serie de problemas creados por Ramanujan. Existe una manera de evaluar la raíz iterada pero el problema es que no es única. Es decir, expresado como está en la prueba, podría valer cualquier número mayor que 3. Acá hay una discusión más formal de este tipo de problemas y como abordarlos.

El problema 6 se conoce como disección de Dudeney. Ignoro si hay otra manera fundamentalmente distinta de diseccionar un triángulo equilátero en 4 partes para formar un cuadrado. Lo que sí recuerdo es que al parecer nadie resolvió esto durante la olimpíada.