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Prueba Final (1998), Sin solución:1,2,3,4,5,6,7

Gp20 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 27 2007, 10:54 AM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 558 Registrado: 14-May 05 Desde: Maipú, Stgo, Chile Miembro Nº: 27 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	<span style='font-size:14pt;line-height:100%'>10ª OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS</span> <span style='font-size:11pt;line-height:100%'>Prueba Final</span> Primera Prueba Problema 1: Encuentre todos los pares de naturales $TEX: $a, b$$ con $TEX: $a<b$$ , tales que la suma de los naturales mayores que $TEX: $a$$ y menores que $TEX: $b$$ sea igual a 1998 Problema 2: Dada una semicircunferencia de diámetro $TEX: $AB$$ , con $TEX: $AB=2r$$ , sea $TEX: $CD$$ una cuerda variable, pero de longitud fija $TEX: $c$$ . Sea $TEX: $E$$ el punto de intersección de las rectas $TEX: $AC$$ y $TEX: $BD$$ , y sea $TEX: $F$$ el punto de intersección de las rectas $TEX: $AD$$ y $TEX: $BC$$ . a) Pruebe que las rectas $TEX: $EF$$ y $TEX: $AB$$ son perpendiculares. b) Determine el LG del punto $TEX: $E$$ . c) Pruebe que $TEX: $EF$$ tiene medida constante, y determínela en función de $TEX: $c$$ y $TEX: $r$$ . Problema 3: Evalúe $TEX: $\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\ldots}}}}$$ . Segunda Prueba Problema 4: a) Demuestre que, para cualquier real no negativo $TEX: $x$$ , se cumple $TEX: $x^{\frac{3}{2}}+6x^{\frac{5}{4}}+8x^{\frac{3}{4}}\ge15x$$ b) Determine todos los $TEX: $x$$ para los cuales se cumple la igualdad. Problema 5: Demuestre que el número 3 se puede escribir de una infinidad de maneras diferentes como la suma de los cubos de cuatro enteros. Problema 6: Dado un triángulo equilátero, cortarlo en cuatro figuras poligonales de manera que, reensambladas adecuadamente, estas figuras formen un cuadrado. Problema 7: Al lanzar dos dados normales, el conjunto de resultados posibles de la suma de los puntos es $TEX: ${2, 3, 3, 4, 4, 4, \ldots, 11, 11, 12}$$ . Observe que esa secuencia puede obtenerse de la identidad: $TEX: \begin{center} $(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)=x^2+2x^3+3x^4+\ldots+2x^{11}+x^{12}$<br />\end{center}$ Diseñe un par de dados locos, es decir, otros dos cubos, no necesariamente iguales, con un número natural indicado en cada cara, tales que el conjunto de resultados posibles de la suma de sus puntos sea igual al de dos dados normales. -------------------- El peor defecto del ignorante es que ignora su propia ignorancia................ Educación2020 - Registra tu apoyo individual!!!!

wenopagozar Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 5 2008, 03:16 AM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 260 Registrado: 6-June 07 Miembro Nº: 6.476	CITA(Gp20 @ Feb 27 2007, 12:54 PM) Problema 1: Encuentre todos los pares de naturales $TEX: $a, b$$ con $TEX: $a<b$$ , tales que la suma de los naturales mayores que $TEX: $a$$ y menores que $TEX: $b$$ sea igual a 1998 Bastante enredada mi solución. Se me había ocurrido otra manera pero solo la idea, así que dejo esta no más. Bueno, no pierdo nada con postear. Además hice lo posible por no hacer tanto cálculo. $TEX: \noindent Solucion:\\<br />\\<br />Dichos n\'umeros, $a$ y $b$ cumplen lo siguiente:\\<br />\\<br />$\displaystyle \sum_{n=1}^{b-1} n - \sum_{n=1}^a n =1998$\\<br />\\<br />$\Longrightarrow \displaystyle \frac{(b-1)b}{2} - \frac{a(a+1)}{2} = 1998$\\<br />\\<br />$\Longrightarrow b^2 - b - a^2 - a = 3996$\\<br />\\<br />$\Longrightarrow (b^2 - a^2) - (b+a) = 3996$\\<br />\\<br />$\Longrightarrow (b+a)(b-a)-(b+a)=3996$\\<br />\\<br />$\Longrightarrow (b+a)(b-a-1)=3996$\\<br />\\<br />Luego $(b+a)$ y $(b-a-1)$ son factores de 3996. Pero observemos lo siguiente, supongamos que dichos factores son $m$ y $n$ respectivamente:\\<br />\\<br />$\begin{array}{c} b+a=m \\ b-a-1=n \end{array} \Longrightarrow 2b-1=m+n \Longrightarrow 2b=m+n+1$ \ \ ()\\<br />\\<br />Tenemos que $m+n+1$ es par, o tambi\'en, que $m+n$ es impar. Luego $m$ y $n$ deben ser un par y un impar, o al rev\'es. As\'i nos facilita la b\'usqueda.\\<br />\\<br />Tenemos que $3996= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 37$. De aquí sacamos los factores par-impar que buscamos. El impar simplemente no incluye al 2 en la multiplicaci\'on, lo obtenemos con combinaciones de los dem\'as. Luego los impares pueden ser $3$, $3 \cdot 3$, $3\cdot 3\cdot 3$, $37$, $37 \cdot 3$, $37 \cdot 3 \cdot 3$ y $37 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$.\\<br />\\<br />As\'i tenemos $3996 \cdot 1=1332 \cdot 3=444 \cdot 9=148 \cdot 27=108 \cdot 37=36 \cdot 111=12 \cdot 333=4 \cdot 999$ todos iguales a 3996. Aqu\'i obtuvimos posibles valores de $m$ y $n$, con $m>n$ debido a que $(a+b)>(b-a-1)$.\\<br />$ $TEX: \noindent<br />Luego, como ten\'iamos anteriormente en (), nos queda:\\<br />\\<br />$2b=m+n+1 \Longrightarrow b=\dfrac{m+n+1}{2}$\\<br />Y tambi\'en $a=m-b$\\<br />\\<br />Entonces los valores de $b$ son $\dfrac{3996+1+1}{2}=1999$, $\dfrac{1332+3+1}{2}=668$, $\dfrac{444+9+1}{2}=227$, $\dfrac{148+27+1}{2}=88$, $\dfrac{108+37+1}{2}=73$, $\dfrac{111+36+1}{2}=74$, $\dfrac{333+12+1}{2}=173$, $\dfrac{999+4+1}{2}=502$\\<br />\\<br />Y sus respectivos valores de $a$ son $3996-1999=1997$, $1332-668=664$, $444-227=217$, $148-88=60$, $108-73=35$, $111-74=37$, $333-173=160$, $999-502=497$\\<br />\\<br />Resumen: $\begin{array}{c c} a & b \\ 1997 & 1999 \\ 664 & 668 \\ 217 & 227 \\ 60 & 88 \\ 35 & 73 \\ 37 & 74 \\ 160 & 173 \\ 497 & 502 \end{array}$<br />$ Qué solución más espantosa. Por lo menos no me dio vergüenza postear. Todo iba bien hasta que me enteré que tenía que hacer tanto cálculo al final. Si hago un método más simple lo posteo.

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 7 2008, 06:20 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Otra solución correcta (suponiendo que las cuentas están bien hechas. Al menos, parecen bien hechas a primera vista). Si todavía recuerdas cómo era tu otra idea de solución, por favor compartirla en este foro. Un saludo. -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

p.j.t Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 17 2008, 10:06 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 766 Registrado: 6-May 07 Desde: San Pedro de la Paz, Concepción Miembro Nº: 5.639 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Gp20 @ Feb 27 2007, 11:48 AM) Problema 4: a) Demuestre que, para cualquier real no negativo $TEX: $x$$ , se cumple $TEX: $x^{\frac{3}{2}}+6x^{\frac{5}{4}}+8x^{\frac{3}{4}}\ge15x$$ b) Determine todos los $TEX: $x$$ para los cuales se cumple la igualdad. $TEX: \noindent$a)$ Es sabido que todo numero al cuadrado es mayor o igual a 0 $\implies (\sqrt[4]{x}-1)^2 \geqslant 0$. Como $x \geqslant 0 \implies \sqrt[4]{x} \geqslant 0 \implies \sqrt[4]{x}+8 > 0$. Como $(\sqrt[4]{x}-1)^2$ y $\sqrt[4]{x}+8$ son positivos, podemos multiplicar: \\<br />$\begin{aligned} (\sqrt[4]{x}-1)^2(\sqrt[4]{x}+8) &\geqslant 0 \Big/ \text{sea } \sqrt[4]{x}=u \\ (u-1)^2(u+8) &\geqslant 0 \\ (u^2-2u+1)(u+8) &\geqslant 0 \\ u^3+8u^2-2u^2-16u+u+8 &\geqslant 0 \\ u^3+6u^2-15u^2+8 &\geqslant 0 \\ u^3+6u^2+8 &\geqslant 15u \Big/ \times u^3 \\ u^6+6u^5+8u^3 &\geqslant 15u^4 \Big/ \text{reemplazando } u=\sqrt[4]{x} \\ \underbrace{\sqrt[4]{x^6}}_{\sqrt{x^3}}+6\sqrt[4]{x^5}+8\sqrt[4]{x^3} &\geqslant 15\sqrt[4]{x}^4 \\ x^{\frac32}+ 6x^{\frac54}+8x^{\frac34} \geqslant 15x \end{aligned}$ \\ Como se queria demostrar. $\spadesuit$ \\<br />$b)$ Esto equivale a resolver la ecuacion $x^{\frac{3}{2}}+6x^{\frac{5}{4}}+8x^{\frac{3}{4}}=15x$. Nuevamente haciendo cambio de variable, sea $\sqrt[4]{x}=u$, luego: \\ $\begin{aligned} u^6+6u^5+8u^3&=15u^4 \\ u^6+6u^5-15u^4+8u^3&=0 \\ u^3(u^3+6u^2-15u+8)&=0 \\ u^3 \left[(u^3-2u^2+u)+(8u^2-16u+8) \right]&=0 \\ u^3\left[(u(u^2-2u+1)+8(u^2-2u+1) \right]&=0 \\ u^3(u+8)(u^2-2u+1)&=0 \\ u^3(u+8)(u-1)^2&=0 \end{aligned}$ \\ Luego las soluciones son:\\<br />$u_1^3=0 \implies u_1=0 \implies \sqrt[4]{x_1}=0 \implies$ \boxed{x_1=0} \\ $(u_2-1)^2=0 \implies u_2=1 \implies \sqrt[4]{x_2}=1 \implies$ \boxed{x_2=1} \\ $u_3+8=0 \implies u_3=-8 \implies \sqrt[4]{x}=-8$, pero esta raiz siempre es positiva, por lo tanto, se descarta esta solucion. \\ Los $x$ que cumplen la igualdad son $x=0,x=1$$ Saludos Mensaje modificado por p.j.t el Apr 20 2008, 10:58 PM -------------------- asdf

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 17 2008, 10:52 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	que se hace en el problema 3 xD!!!!!!!!!!!!! no lo entiendo -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 19 2008, 11:02 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(p.j.t @ Apr 18 2008, 01:00 AM) $TEX: \noindent$a)$ Es sabido que todo numero al cuadrado es mayor o igual a 0 $\implies (\sqrt[4]{x}-1)^2 \geqslant 0$. Como $x \geqslant 0 \implies \sqrt[4]{x} \geqslant 0 \implies \sqrt[4]{x}+8 > 0$. Como $(\sqrt[4]{x}-1)^2$ y $\sqrt[4]{x}+8$ son positivos, podemos multiplicar: \\<br />$\begin{aligned} (\sqrt[4]{x}-1)^2(\sqrt[4]{x}+8) &\geqslant 0 \Big/ \text{sea } \sqrt[4]{x}=u \\ (u-1)^2(u+8) &\geqslant 0 \\ (u^2-2u+1)(u+8) &\geqslant 0 \\ u^3+8u^2-2u^2-16u+u+8 &\geqslant 0 \\ u^3+6u^2-15u^2+8 &\geqslant 0 \\ u^3+6u^2+8 &\geqslant 15u \Big/ \times u^3 \\ u^6+6u^5+8u^3 &\geqslant 15u^4 \Big/ \text{reemplazando } u=\sqrt[4]{x} \\ \underbrace{\sqrt[4]{x^6}}_{\sqrt{x^3}}+6\sqrt[4]{x^5}+8\sqrt[4]{x^3} &\geqslant 15\sqrt[4]{x}^4 \\ x^{\frac32}+ 6x^{\frac54}+8x^{\frac34} \geqslant 15x \end{aligned}$ \\ Como se queria demostrar. $\spadesuit$ \\<br />$b)$ Esto equivale a resolver la ecuacion $x^{\frac{3}{2}}+6x^{\frac{5}{4}}+8x^{\frac{3}{4}}=15x$. Nuevamente haciendo cambio de variable, sea $\sqrt[4]{x}=u$, luego: \\ $\begin{aligned} u^6+6u^5+8u^3&=15u^4 \\ u^6+6u^5-15u^4+8u^3&=0 \\ u^3(u^3+6u^2-15u+8)&=0 \\ u^3 \left[(u^3-2u^2+u)+(8u^2-16u+8) \right]&=0 \\ u^3\left[(u(u^2-2u+1)+8(u^2-2u+1) \right]&=0 \\ u^3(u+8)(u^2-2u+1)&=0 \\ u^3(u+8)(u-1)^2&=0 \end{aligned}$ \\ Luego las soluciones son:\\<br />$u_1^3=0 \implies u_1=0 \implies \sqrt[4]{x_1}=0 \implies$ \boxed{x_1=0} \\ $(u_2-1)^2=0 \implies u_2=1 \implies \sqrt[4]{x_2}=1 \implies$ \boxed{x_2=1} \\ $u_3+8=0 \implies u_3=-8 \implies \sqrt[4]{x}=-8$, pero esta raiz siempre es positiva, por lo tanto, se descarta esta solucion. \\ Los $x$ que cumplen la igualdad son $x=(0,1)$$ Saludos Esta solución está correcta , aunque preferiría concluir diciendo que los x que cumplen la igualdad son 0 y 1 (porque, en realidad, se puede entender que estás hablando de pares ordenados y este no es el caso) En cuanto al problema 3, acabo de percibir un error de tipeo de Gp20, intentaré arreglarlo. En cualquier caso, es una de las preguntas más difíciles de ese examen (claro, eso depende del punto de vista...) -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 29 2008, 11:19 AM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Gp20 @ Feb 27 2007, 12:54 PM) Problema 2: Dada una semicircunferencia de diámetro $TEX: $AB$$ con $TEX: $AB=2r$$ , sea $TEX: $CD$$ una cuerda variable, pero de longitud fija $TEX: $c$$ . Sea $TEX: $E$$ el punto de intersección de las rectas $TEX: $AC$$ y $TEX: $BD$$ , y sea $TEX: $F$$ el punto de intersección de las rectas $TEX: $AD$$ y $TEX: $BC$$ . a) Pruebe que las rectas $TEX: $EF$$ y $TEX: $AB$$ son perpendiculares. b) Determine el LG del punto $TEX: $E$$ . c) Pruebe que $TEX: $EF$$ tiene medida constante, y determínela en función de $TEX: $c$$ y $TEX: $r$$ . a) Como $TEX: $AB$$ es diametro, las rectas $TEX: $AD$$ y $TEX: $BC$$ son perpendiculares a $TEX: $EB$$ y $TEX: $EA$$ , respectivamente. Luego su punto de interseccion, $TEX: $F$$ , es el ortocentro del $TEX: $\triangle AEB$$ . Por lo tanto $TEX: $EF$$ vive en la altura desde $TEX: $E$$ sobre $TEX: $AB$$ , que es equivalente a lo pedido. b) Notemos que la medida del arco $TEX: $CD$$ (que no contiene $TEX: $A$$ ) es constante debido a que la longitud de la cuerda $TEX: $CD$$ es constante. Entonces $TEX: $\measuredangle AEB$$ es constante, pues depende de las medidas de los arcos $TEX: $AB$$ (que no contiene $TEX: $C$$ ) y $TEX: $CD$$ (que no contiene $TEX: $A$$ ), y ambos arcos poseen medidas constantes. Llamemos $TEX: $D_{1}$$ y $TEX: $C_{1}$$ sobre la semicircunferencia tal que $TEX: $AD_{1}=BC_{1}=c$$ . Sean $TEX: $E_{1}$$ y $TEX: $E_{2}$$ las intersecciones de $TEX: $BD_{1}$$ y $TEX: $AC_{1}$$ con $TEX: $L_{1}$$ y $TEX: $L_{2}$$ , respectivamente, donde $TEX: $L_{1}$$ y $TEX: $L_{2}$$ son las tangentes a la semicircunferencia que pasan por $TEX: $A$$ y $TEX: $B$$ , respectivamente. Como $TEX: $\measuredangle AE_{1}B=\measuredangle AE_{2}B $$ , el $TEX: $ABE_{2}E_{1}$$ es ciclico, y deducimos que el L.G de $TEX: $E$$ es el arco $TEX: $E_{1}E_{2}$$ de la circunferencia circunscrita al $TEX: $ABE_{2}E_{1}$$ . c) Veamos que $TEX: $\measuredangle DCB=\measuredangle DEF$$ , entonces $TEX: $\triangle DCB$$ y $TEX: $\triangle FEB$$ son semejantes, luego: $TEX: $\displaystyle \frac{CD}{EF}=\displaystyle \frac{BC}{BE}=sen\measuredangle CEB$$ Se sigue que $TEX: $EF=\displaystyle \frac{CD}{sen\measuredangle CEB}$$ , y como $TEX: $\measuredangle CEB$$ es constante, obtenemos que la longitud de $TEX: $EF$$ tambien lo es. Para calcular la medida de $TEX: $EF$$ , basta calcular la medida de $TEX: $E_{1}A$$ . Por el Teorema de Pitagoras, $TEX: $BD_{1}=\sqrt{4r^2-c^2}$$ . Ahora, como $TEX: $\triangle AD_{1}B$$ y $TEX: $\triangle E_{1}AB$$ son semejantes, se sigue que: $TEX: $\displaystyle \frac{E_{1}A}{c}=\displaystyle \frac{2r}{\sqrt{4r^2-c^2}}$$ Por lo tanto $TEX: $EF=E_{1}A=\displaystyle \frac{2rc}{\sqrt{4r^2-c^2}}$$ Espero que este bien . Saludos (espero poder adjuntar un monito pronto) -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 29 2008, 04:37 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Gp20 @ Feb 27 2007, 12:54 PM) Problema 4: a) Demuestre que, para cualquier real no negativo $TEX: $x$$ , se cumple que $TEX: $x^{\frac{3}{2}}+6x^{\frac{5}{4}}+8x^{\frac{3}{4}}\ge x$$ b) Determine todos los $TEX: $x$$ para los cuales se cumple la igualdad. a) Por $TEX: $MA\ge MG$$ : $TEX: $x^{\frac{3}{2}}+6x^{\frac{5}{4}}+8x^{\frac{3}{4}}=x^{\frac{3}{2}}+x^{\frac{5}{4}}+x^{\frac{5}{4}}+..+x^{\frac{5}{4}}+x^{\frac{3}{4}}+...+x^{\frac{3}{4}}\ge 15x$$ b) La igualdad se alcanza si y solo si $TEX: $x^{\frac{5}{4}}=x^{\frac{3}{2}}=x^{\frac{3}{4}}$$ , o sea, si $TEX: $x=0$$ o $TEX: $x=1$$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 29 2008, 04:58 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Vargüitas DSLU @ Dec 29 2008, 05:37 PM) a) Por $TEX: $MA\ge MG$$ : $TEX: $x^{\frac{3}{2}}+6x^{\frac{5}{4}}+8x^{\frac{3}{4}}=x^{\frac{3}{2}}+x^{\frac{5}{4}}+x^{\frac{5}{4}}+..+x^{\frac{5}{4}}+x^{\frac{3}{4}}+...+x^{\frac{3}{4}}\ge 15x$$ b) La igualdad se alcanza si y solo si $TEX: $x^{\frac{5}{4}}=x^{\frac{3}{2}}=x^{\frac{3}{4}}$$ , o sea, si $TEX: $x=0$$ o $TEX: $x=1$$ Otra solución correcta para el problema 4. No está de más decir que la desigualdad $TEX: $MA\ge MG$$ (incluyendo la cláusula para tener igualdad) se mantiene válida para números reales no negativos. -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 16 2009, 01:55 PM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problema 7: $TEX: Dado dos dados $A$ y $B$, sean $a_1,a_2,...,a_6; b_1, b_2,...,b_6$ los numeros que aparecen en las caras (las repeticiones son posibles). Sean<br /> <br />$A(x)=\displaystyle \sum_{k=1}^6 x^{a_k}$ y $B(x)=\displaystyle \sum_{k=1}^6 x^{b_k}$. <br /><br />Notemos que:<br /><br />$A(x)\cdot B(x)=\displaystyle \sum_{1\leq i,j\leq 6} x^{a_i+b_j}$<br /><br />Veamos que el coeficiente que acompaña a $x^{a_i+b_j}$ indica la cantidad de veces que es posible formar la suma $a_i+b_j$ sumando dos numeros de los dados. Por otra parte, si expresamos <br /><br />$A(x)=\displaystyle \sum_{r=1}^{max \{a_1, a_2,...,a_6\}} u_rx^r$<br /><br />podemos ver que $u_r$ indica la cantidad de veces que aparece el termino $r$ en el dado, y claramente $A(1)=6$. Esto significa que la suma de los coeficientes de un polinomio asociado a un dado es 6. <br /><br />Sea $T(x)=x+x^2+x^3+...+x^6=x(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)$ el polinomio asociado a un dado normal. Debemos hallar dos polinomios $P(x)$, $Q(x)$ con coeficientes enteros, tales que $P(x)\cdot Q(x)=T(x)^2$, y $P(1)=Q(1)=6$.<br />Sea $T_1(x)=x$, $T_2(x)=x+1$, $T_3(x)=x^2-x+1$, $T_4(x)=x^2+x+1$. Claramente $T_k(x)$ divide a $T(x)$ para $k\in \{1,2,3,4\}$. Sea:<br /> <br />$S=\{T_1(x), T_1(x), T_2(x), T_2(x), T_3(x), T_3(x), T_4(x). T_4(x)\}$<br /><br />Debemos particionar $S$ en dos subconjuntos disjuntos $P, Q$, y de ahi definir $P(x)$ y $Q(x)$ como el producto de los elementos de $P,Q$, respectivamente. Notemos que $T_1(1)=1$, $T_2(1)=2$, $T_3(1)=1$, $T_4(1)=3$. Como $P(1)=\displaystyle \prod_{p\in P} p(1)=6$, veamos que $P$ contiene un factor $T_2$ y un factor $T_4$, y $Q$ tambien. Solo nos resta distribuir los factores $T_1$ y $T_3$. Supongamos que a $P$ no le asignamos ningun factor $T_1$. Se tiene que $P(x)$ posee un termino independiente 1, es decir, una de las caras de los dados tiene un numero equivalente al exponente de $1=x^0$, es decir, posee un cero. Por lo tanto $P$ debe tener un factor $T_1$. Analogamente $Q$ debe poseer un factor $T_1$. Para finalizar con la reparticion, los factores $T_3$ los asignaremos a $Q$. Por lo tanto:<br /><br />$P(x)=x(x+1)(x^2+x+1)=x^4+2x^3+2x^2+x$<br /><br />$Q(x)=x(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)^2= x^8+x^6+x^5+x^4+x^3+x$<br /><br />O sea, consideremos los dados $P=\{1,2,2,3,3,4\}$ y $Q=\{1,3,4,5,6,8\}$. Es posible corroborar sin inconvenientes que estos dados locos cumplen con lo pedido.$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

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