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> Prueba Final (1996), Sin solución: 1,2,3,4,5,6,7
mamboraper
mensaje Nov 16 2019, 08:13 PM
Publicado: #11


Maestro Matemático
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TEX: Asumiendo que las raíces son distintas (si tomamos $(a,b,c) = (4,4,1)$ obtenemos una contradicción) y que están en $(0,1)$ (si tomamos $(a,b,c) = (3,4,1)$ obtenemos una contradicción) tenemos que $(\ast) \ b^2 - 4ac>0\Rightarrow b^2 - 4ac\geq 1$ si $b\leq 4\Rightarrow ac\leq \frac{15}{4}\Rightarrow ac\leq 3$, pero como las raices $x_1 , x_2\in (0,1)$ sigue que $\frac{c}{a} = x_1 x_2 < 1\Rightarrow c< a\Rightarrow c+1\leq a$, luego $(a,c) = (3,1)$ que por $(\ast)$ debe tenerse que $b=4$, pero por otro lado, notemos que una raíz de la ecuación es $\frac{b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\in (0,1)\Rightarrow \sqrt{b^2 - 4ac} < 2a-b\Rightarrow b^2 - 4ac < (2a-b)^2\Rightarrow 4a^2 + 4ac - 4ab\geq 1 \ (\ast \ast)$, luego si $(a,c) = (3,1)$ obtenemos que $b\leq 3$, contradicción, luego $b\geq 5$. Si $a\leq 4$, como $x_1 + x_2 = \frac{b}{a}<2\Rightarrow b+1\leq 2a\Rightarrow a\geq 3$, si $a=3$ entonces $c\leq 2$, por $(\ast \ast)$ se tiene que $b\leq 4$, contradicción, entonces $a=4$, por $(\ast \ast)$ se tiene que $b-c\leq 3$ y por $(\ast)$ tenemos que $b^2-16c\geq 1$ luego $c^2 - 10c +8\geq 0\Rightarrow (5-c)^2\geq 17$ lo que es imposible pues $c\leq 3$, luego $a\geq 5$ $\blacksquare$


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