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Prueba Final (1996), Sin solución: 1,2,3,4,5,6,7

Gp20 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 27 2007, 12:23 AM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 558 Registrado: 14-May 05 Desde: Maipú, Stgo, Chile Miembro Nº: 27 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	8ª OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS Prueba Final Primera Prueba Problema 1: Una marca de zapatos propone: Compre un par de zapatos sin pagar. Se trata de lo siguiente: usted va a la fábrica y paga $20000 por un par de zapatos; recibe los zapatos y diez estampillas, con un costo unitario de $2000. Al vender estas estampillas recuperará su dinero. Quienes compren estas estampillas van a la fábrica, la entregan y por $18000 reciben su par de zapatos y las diez estampillas, continuando así el ciclo. a) ¿Cuánto recibe la fábrica por cada par de zapatos? b) ¿Se puede repetir esta operación cien veces, suponiendo que nadie se repite? Problema 2: Construya el $TEX: $\Delta ABC$$ , con $TEX: $AC<BC$$ , si se conoce el circuncírculo, y los puntos $TEX: $D, E, F$$ en él, donde vuelven a intersecar, respectivamente, la altura, la mediana y la bisectriz que parten desde el vértice $TEX: $C$$ . Problema 3: Sea $TEX: $n>2$$ un natural. Dados $TEX: $2n$$ puntos en el plano, tres a tres no colineales, ¿Cuál es el número máximo de trazos que pueden dibujarse entre ellos, sin formar un triángulo? Segunda Prueba Problema 4: Sean $TEX: $a, b, c$$ naturales. La ecuación $TEX: $ax^2-bx+c=0$$ tiene dos raices en $TEX: $[0,1]$$ . Pruebe que $TEX: $a>5$$ y $TEX: $b>5$$ . Problema 5: Hace un tiempo atrás, en un programa radial, una pastelería anunció una promoción especial en la compra de dos tortas rellenas. Cada torta podía contener hasta cinco rellenos de los que habían en la pastelería. En el programa, una señora decía que habían 1048576 diferentes posibilidades para escoger las dos tortas rellenas. ¿Cuántos rellenos distintos tenía la pastelería?. Problema 6: Dos circunferencias, $TEX: $C$$ y $TEX: $K$$ , son secantes en $TEX: $A$$ y $TEX: $B$$ . Sea $TEX: $P$$ un punto en el arco $TEX: $AB$$ en $TEX: $C$$ . Las rectas $TEX: $PA$$ y $TEX: $PB$$ cortan nuevamente a $TEX: $K$$ en $TEX: $R$$ y $TEX: $S$$ , respectivamente. Sea $TEX: $P_1$$ otro punto en el mismo arco que $TEX: $P$$ , de modo que las rectas $TEX: $P_1A$$ y $TEX: $P_1B$$ vuelven a intersecar a $TEX: $K$$ en $TEX: $R_1$$ y $TEX: $S_1$$ , respectivamente. Pruebe que los arcos $TEX: $RS$$ y $TEX: $R_1S_1$$ tienen igual medida. screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img295.imageshack.us/img295/3747/1996ys7.jpg');}" /> Problema 7: -------------------- El peor defecto del ignorante es que ignora su propia ignorancia................ Educación2020 - Registra tu apoyo individual!!!!

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 1 2008, 07:13 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problema 6: Dos circunferencias, y , son secantes en y . Sea un punto en el arco en . Las rectas y cortan nuevamente a en y , respectivamente. Sea otro punto en el mismo arco que , de modo que las rectas y vuelven a intersecar a en y , respectivamente. Pruebe que los arcos y tienen igual medida. $TEX: Unamos los puntos $AS$ y $AS_{1}$. Notemos que los cuadrilateros $P_{1}PAB$ y $ABSS_{1}$ son ciclicos, asi que los angulos $APB$ y $AP_{1}B$ son iguales, asi como los angulos $BSA$ y $BS_{1}A$. Entonces los triangulos $PAS$ y $P_{1}AS_{1}$ son semejantes por tener sus tres angulos de igual medida. Entonces angulo $PAS$= angulo ($PAP_{1}$+ $P_{1}AS$)= angulo ($P_{1}AS$+$SAS_{1}$)= angulo $P_{1}AS_{1}$, de lo cual podemos deducir que angulo $PAP_{1}$= angulo $SAS_{1}$. Por otra parte, angulo $PAP_{1}$= angulo $RAR_{1}$ (opuestos por el vertice). Esto implica que angulo $R_{1}AS_{1}$= angulo ($R_{1}AR$+$RAS_{1}$)= angulo ($RAS_{1}$+$S_{1}AS$= angulo $RAS$, por lo tanto los arcos $RS$ y $R_{1}S_{1}$ miden lo mismo$ Saludos PD: sorry por no colocar el dibujo PD2: cual es el P7 ? -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 5 2008, 11:43 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Ademãs de no incluir una imagen, tu solución no está ordenada. Debes entender que este problema tiene una solución más corta aún. PD: Intentaremos solucionar rápido la omisión del problema 7... -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 8 2008, 07:46 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	q tal si (a,b,c)=(1,2,1)? las raices serian (1,1) q estan en [0,1] y a,b,c son naturales. -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

CyedqD Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 8 2008, 08:29 PM Publicado: #5
Coordinador General Gran Maraton PSU Final 2008 Grupo: Moderador Mensajes: 1.607 Registrado: 11-June 07 Desde: Peñalolen, Stgo Miembro Nº: 6.641 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	P6 $TEX: \noindent Notemos que por angulo inscrito en la circunferencia $C$, $\angle RPB= \angle R_1P_1B_1 $. Luego , en la circunferencia K tracemos RB. Por angulo exterior en el triangulo RPB:$ $TEX: <br />\[<br />\angle RBS = \angle RPB + \angle PRB \Rightarrow \angle RBS - \angle PRB = \angle RPB<br />\]<br /><br />$ $TEX: <br />\noindent Luego reemplazando angulos por sus arcos respectivos en la circunferencia K$ $TEX: \[<br />\frac{\stackrel{\displaystyle\frown}{RS} - \stackrel{\displaystyle\frown}{AB}}<br />{2} = \angle RPB<br />\]<br />$ $TEX: De la misma forma para $\angle R_1 P_1 B_1 $$ $TEX: \[<br />\frac{\stackrel{\displaystyle\frown}{R_1S_1} - \stackrel{\displaystyle\frown}{AB}}<br />{2} = \angle R_1P_1B_1<br />\]<br />$ $TEX: Pero $\angle RPB= \angle R_1P_1B_1 $ , lo que lleva a concluir que $\stackrel{\displaystyle\frown}{R_1S_1}=\stackrel{\displaystyle\frown}{RS}$$ Mensaje modificado por CyedqD el May 8 2008, 08:29 PM --------------------

manuel 4c Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 12 2008, 09:48 PM Publicado: #6
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 153 Registrado: 27-March 08 Desde: calle santa maria 221 Miembro Nº: 18.096 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	bueno los intentare hacer chaoxxxxxxxxxxx -------------------- manuxxx

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 15 2009, 07:11 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Gp20 @ Feb 27 2007, 02:23 AM) Problema 2: Construya el $TEX: $\triangle ABC$$ , con $TEX: $AC<BC$$ , si se conoce el circuncírculo, y los puntos $TEX: $D, E, F$$ en él, donde vuelven a intersecar, respectivamente, la altura, la mediana y la bisectriz que parten desde el vértice $TEX: $C$$ . Olimpiada_nacional_1996.png ( 88.79k ) Número de descargas: 6 Llamemos $TEX: $O$$ al circumcentro del $TEX: $\triangle DEF$$ . Como $TEX: $\stackrel{\displaystyle \frown}{AF}=\stackrel{\displaystyle \frown}{FB}$$ (por ser $TEX: $CF$$ bisectriz del $TEX: $\angle ACB$$ ); se sigue que $TEX: $F$$ pertenece a la mediatriz de $TEX: $AB$$ . Por otra parte, como $TEX: $O$$ tambien pertenece a la mediatriz de $TEX: $AB$$ ; obtenemos que $TEX: $OF$$ es perpendicular a $TEX: $AB$$ . Ademas, sabemos que $TEX: $CD$$ tambien es perpendicular a $TEX: $AB$$ . Esto implica que $TEX: $CD//OF$$ . Como conocemos los puntos $TEX: $D, F, O$$ ; podemos determinar la ubicacion de $TEX: $C$$ trazando la paralela a $TEX: $OF$$ que pasa por $TEX: $D$$ . El punto donde esta paralela interseca a la circunferencia (distinto de $TEX: $D$$ ) sera el vertice $TEX: $C$$ Llamemos $TEX: $M$$ al punto medio de $TEX: $AB$$ . Notemos que $TEX: $M\in CE$$ ; y $TEX: $M\in OF$$ (por ser $TEX: $OF$$ la mediatriz de $TEX: $AB$$ ); luego $TEX: $M=CE\cap OF$$ . Como $TEX: $AB$$ es perpendicular a $TEX: $OF$$ , para determinar $TEX: $A, B$$ debemos trazar una recta perpendicular a $TEX: $OF$$ que pase por $TEX: $M$$ . Los puntos donde esta recta interseca a la circunferencia seran $TEX: $A$$ y $TEX: $B$$ . Ahora, el punto que este a menor distancia de $TEX: $C$$ sera $TEX: $A$$ , y el otro sera $TEX: $B$$ , finalizando la construccion $TEX: $\blacksquare$$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

Cristóbaal Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 19 2012, 01:11 PM Publicado: #8
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 100 Registrado: 17-April 11 Miembro Nº: 87.227 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Una solución un poco mas corta al P6 $TEX: Notamos que el$ $TEX: $$\sphericalangle PAP'$$$ $TEX: Tiene igual medida que$ $TEX: $$\sphericalangle PBP'$$$ $TEX: Luego vemos que son ángulos opuestos por el vértice al$ $TEX: $$\sphericalangle R'AR$$$ $TEX: y$ $TEX: $$\sphericalangle SBS'$$$ $TEX: respetivamente.$ $TEX: Ahora bien, como los angulos nombrado anteriormente son inscritos entonces el arco RR' tiene igual medida que el arco S'S, con esto se desprende que los arcos R'S' y RS son iguales$ --------------------

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 19 2012, 01:21 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Buena solución cristóbal! de hecho así se demuestra de manera corta que en ese mismo diagrama, la longitud del segmento R'S' no depende de la posición del punto P'. (problema bien conocido de ese apunte mexicano que una vez linkeó el kenshin) -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Cristóbaal Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 19 2012, 01:33 PM Publicado: #10
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 100 Registrado: 17-April 11 Miembro Nº: 87.227 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Kaissa @ Aug 19 2012, 02:21 PM) Buena solución cristóbal! de hecho así se demuestra de manera corta que en ese mismo diagrama, la longitud del segmento R'S' no depende de la posición del punto P'. (problema bien conocido de ese apunte mexicano que una vez linkeó el kenshin) Gracias!, tendré que ver ese apunte, ahora que se aproxima la Nacional jajaja, no me había dado cuenta lo que pronunciaste --------------------

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