Prueba Final (1995) - Foro fmat.cl

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Prueba Final (1995), Sin solución: 1,2,3,4,5,6,7

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juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 19 2015, 09:43 PM Publicado: #11
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	P7 djfidjfidh.png ( 16.05k ) Número de descargas: 0 Primera parte hecha por p.j.t, procederé a hacer las otras. La suma de $TEX: $R_1$$ y $TEX: $R_2$$ será máxima cuando estas sean iguales, en la figura, es fácil ver que la tangencia y los centros de las circunferencias son colineales, luego, $TEX: $R_{1}+R_{1}\sqrt{2}=4\Longrightarrow R_{1}=\dfrac{4}{\sqrt{2}+1}=4(\sqrt{2}-1)$$ por lo que $TEX: $R_2=4(\sqrt{2}-1)$$ , luego, $TEX: $R_1+R_2=8(\sqrt{2}-1)$$ y como es el máximo, siempre se tendrá que $TEX: $R_1+R_2\leq 8(\sqrt{2}-1)$$ $TEX: $\blacksquare$$ Como $TEX: $R_1\leq 4(\sqrt{2}-1)\Longrightarrow \dfrac{1}{R_1}\geq \dfrac{1}{4(\sqrt{2}-1)}\Longrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{R_1}}\geq \dfrac{1}{2\sqrt{\sqrt{2}-1}}$$ , analogamente $TEX: $\dfrac{1}{\sqrt{R_2}}\geq \dfrac{1}{2\sqrt{\sqrt{2}-1}}$$ , sumando y ocupando la primera relación $TEX: $\dfrac{1}{\sqrt{r}}\geq \dfrac{1}{\sqrt{\sqrt{2}-1}}\Longrightarrow r\leq \sqrt{2}-1 \blacksquare$$ --------------------

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 29 2021, 10:17 AM Publicado: #12
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Muy mala mi solución de esa vez, ahora si: $TEX: Sea $O_i$ el punto de intersección de la circunferencia de radio $R_i$ con el diámetro de la semicircunferencia (con $i=1,2$). Si $O$ es el centro de la semicircunferencia, por Pitágoras se tiene que $OO_i^2 + R_i^2 = (4-R_i)^2$ de donde sigue que $OO_i = \sqrt{8(2-R_i)}$. Nuevamente por Pitágoras tenemos que $$ (R_1+R_2)^2 = (R_2-R_1)^2 + (OO_1+OO_2)^2 $$ Reduciendo términos obtenemos que $$ R_1R_2 = 2(\sqrt{2-R_1} + \sqrt{2-R_2})^2 $$ Desarrollando el cuadrado y sacando la raíz que resulta, puede obtenerse que <br />\begin{eqnarray}<br /> \nonumber & &(\frac{R_1R_2}{4} + \frac{R_1+R_2}{2})^2 = 2R_1R_2\\<br />\nonumber &\Rightarrow & R_1 + R_2 = 2\sqrt{2R_1R_2} - \frac{R_1R_2}{2} = 2(2-(\sqrt{2}-\frac{\sqrt{R_1R_2}}{2})^2)<br />\end{eqnarray} Pero sabemos que $2\sqrt{R_1R_2}\leq R_1+R_2$ y por tanto $$(\sqrt{2}-\frac{\sqrt{R_1R_2}}{2})^2\geq (\sqrt{2}-\frac{R_1+R_2}{4})^2$$ De esta forma, obtenemos que<br />\begin{eqnarray}<br /> \nonumber R_1+R_2 &\leq & 2(2-(\sqrt{2}-\frac{R_1+R_2}{4})^2)\\<br /> \nonumber &=& 4 - (4-\sqrt{2}(R_1+R_2) + \frac{(R_1+R_2)^2}{8}) <br />\end{eqnarray}<br />Reduciendo lo último, concluimos que $R_1+R_2 \leq 8(\sqrt{2}-1)$. Por otro lado, en la primera parte se probó que $\frac{1}{\sqrt{r}} = \frac{1}{\sqrt{R_1}} + \frac{1}{\sqrt{R_2}}$ (hecho por p.j.t), de acá sigue que <br />\begin{eqnarray}<br /> \nonumber r &=& \frac{R_1R_2}{(\sqrt{R_1} + \sqrt{R_2})^2}\\<br /> \nonumber &\leq& \frac{R_1R_2}{4\sqrt{R_1R_2}}\\<br /> \nonumber &=& \frac{\sqrt{R_1R_2}}{4}\leq \frac{R_1+R_2}{8}\leq \sqrt{2}-1<br />\end{eqnarray}<br />Donde usé la desigualdad $(a+b)^2\geq 4ab$. Con esto finalizamos.<br />$ --------------------

hermite Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 29 2021, 07:29 PM Publicado: #14
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 128 Registrado: 27-November 15 Miembro Nº: 142.558	CITA(2.718281828 @ Nov 29 2021, 02:44 PM) Pregunta 1: Lema 1: Si a,b y c son tres enteros diferentes, entonces, al menos una de sus diferencias es par, en otras palabras, tiene que haber un par de números con la misma paridad. Esto es fácil de verificar ya que se tienen dos casos. Si tenemos a y b cuya diferencia es par, entonces no hay nada que mostrar. Si la diferencia entre a y b fuese impar, ello implica que tienen diferente paridad y por lo tanto, independiente de la paridad de c, debe al menos tener igual paridad con alguno de ellos, implicando que la diferencia de c con cualquier numero, dígase a o b, es par. Lema 2: Si a,b,c y d son cuatro números diferentes, entonces al menos una de las diferencias entre ellos debe ser divisible por 3, es decir, hay al menos un par de números que tienen misma congruencia modulo 3. . La demostración sigue la misma lógica que el lema 1. Si tomamos a,b o c, si al menos una de sus diferencias es divisible por 3, no hay nada que probar, por lo que el único caso interesante es si a,b o c no tienen diferencias divisibles por 3 (o en modo clases de equivalencia, a,b o c, pertenecen a diferentes clases de equivalencia). Spg supongamos que $TEX: $a=0\mod 3,b=1\mod 3, c=2\mod 3$$ , pero sabemos que $TEX: $d=k \mod 3$$ donde k=0,1,2, donde independiente del valor de k, se deduce que d debe compartir igual congruencia modulo 3 con alguno de los números a,b o c, es decir, una de sus diferencias con esos números es divisible por 3. De los lemas anteriores es fácil desprender de aquí que el producto $P=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)$ es al menos divisible por 6. Lema 3: Si a,b,c y d son cuatro números diferentes, entonces al menos dos de las diferencias entre ellos debe ser divisible por 2. Dem: Consideremos las 4 posibles tripletas de números que se pueden formar: (a,b,c), (a,b,d), (a,c,d) y (b,c,d) Es claro, por el lema 1, que al menos una de ellas debe contener una diferencia divisible por 2. Sin perdida de generalidad, consideremos el trio (a,b,c) y supongamos que a-b es divisible por 2. Si el trio (a,b,c) contiene al menos dos diferencias, no hay nada que demostrar, por lo que el caso interesante es cuando el trio (a,b,c) tiene solo una diferencia, que en este caso hemos dicho que es a-b. el trio (a,b,d) contiene dicha diferencia así que esta fuera del análisis. Los tríos interesantes son entonces (a,c,d) y (b,c,d), los cuales no contienen la diferencia a-b, pero que por el lema 1, debe haber al menos una diferencia en esos tríos divisible por 2, por lo que en efecto deben haber al menos dos diferencias que lo sean, demostrando lo pedido. Mas aun, en realidad deben haber al menos tres!. Se deduce de los lemas 2 y 3, que el producto P debe ser divisible por 3 y por 4 y por ende, por 12. (De hecho es incluso divisible por 24). La pregunta interesante es, ¿Cómo sería el resultado si consideramos 5 números, a,b,c,d,y e enteros y P, el producto de sus diferencias?... se puede generalizar a n números?. Es 24 el mayor numero para el cual puede ser divisible el producto de las diferencias?, ¿Se puede construir una sucesión de numeros $TEX: $d_n,n \in \mathbb{N}$$ definidos como el máximo numero divisor del producto de todas las diferencias entre dos números posibles para un conjunto de n números enteros? Saludos Claudio. Cómo demuestras que ese divisible por 24? según yo para 1,2,3,4 el producto de las diferencias es (4 - 1)(4 - 2)(4 - 3)(3 - 2)(3 - 1)(2 - 1) = 12

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