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I1 EDO, 1S 2011

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 18 2011, 08:56 PM Publicado: #1
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent \\<br />\begin{center}MAT1640 - Ecuaciones Diferenciales\\<br />Interrogación 1 - Lunes 4 de Abril de 2011 \end{center}<br />\begin{enumerate}<br />\item Determine la forma general de las soluciones de<br />\begin{enumerate}<br />\item $y' = 3\|x\|+2xy$<br />\item $\displaystyle{y'}=\frac{2\cos^2(x)-y+3}{x+y+1}$<br />\end{enumerate}<br />\item Determine la forma general de la solución de<br /><br />$$y'+y = 3\cos(x)$$<br /><br />Después verifique que, independientemente de la condición inicial, la función $y(x)$ tiende a una función periódica cuando $x\rightarrow\infty$<br /><br />\item Considere el siguiente problema de valores iniciales<br /><br />$$(PVI)\ y'(x) = \displaystyle\frac{\sqrt{1+y}}{1+x^2}, y(a)=b$$<br />\begin{enumerate}<br />\item Encuentre todos los valores $a,b \in\mathbb{R}$ para los cuales el $(PVI)$ no tiene solución.<br />\item Encuentre todos los valores $a,b \in\mathbb{R}$ para los cuales el $(PVI)$ tiene una sola solución. Determínela.<br />\item Encuentre todos los valores $a,b \in\mathbb{R}$ para los cuales el $(PVI)$ tiene más de una solución. Determínelas.<br />\end{enumerate}<br /><br />\item Dada la ecuación autónoma<br /><br />$$ y' = (y^3-2y^2-y+2)\ln(1+y^2)$$<br /><br />determine todos los puntos de equilibrio y clasifíquelos (nodo, fuente, sumidero).<br />\end{enumerate}$ -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Crash! Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 19 2011, 08:44 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 929 Registrado: 22-June 08 Desde: Santiago Miembro Nº: 27.979 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \[\begin{gathered}<br /> {\text{Me entro la duda con este problema asi que lo hare xD}} \hfill \\<br /> y' = \frac{{2{{\cos }^2}\left( x \right) - y + 3}}<br />{{x + y + 1}} \hfill \\<br /> {\text{sea }}z = x + y + 1 \hfill \\<br /> z' - 1 = \frac{{2{{\cos }^2}\left( x \right) - z + x + 4}}<br />{z} \hfill \\<br /> z' = \frac{{2{{\cos }^2}\left( x \right) + x + 4}}<br />{z} \hfill \\<br /> zz' = \cos \left( {2x} \right) + x + 5 \hfill \\<br /> \frac{{{z^2}}}<br />{2} = \frac{1}<br />{2}\sin \left( {2x} \right) + \frac{1}<br />{2}{x^2} + 5x + C \hfill \\<br /> {z^2} = \sin \left( {2x} \right) + {x^2} + 10x + C' \hfill \\<br /> z = \pm \sqrt {\sin \left( {2x} \right) + {x^2} + 10x + C'} \hfill \\<br /> y = \pm \sqrt {\sin \left( {2x} \right) + {x^2} + 10x + C'} - x - 1 \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />$ -------------------- Ex-Electrico Usach 2008 Mechón Injenieria 2009 Tengo Sed.

soulalex Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 26 2011, 07:40 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 243 Registrado: 23-December 08 Miembro Nº: 41.229	$TEX: <br />El problema 1 corresponde a una ecuación lineal, normal de primer orden, as\'i el factor integrante est\'a dado por:<br />$$\mu(x)=e^{\int -2x dx}=e^{-x^{2}}$$<br />Luego multiplicando \'ambos miembros por $\mu(x)$ se tiene:<br />$$\dfrac{d}{dx}\left[ e^{-x^{2}}y \right]=e^{-x^{2}}3\|x\|$$<br />Integrando indefinidamente, considerando que se tiene un valor absoluto en el término forzante y dejando expresado y en función de x, se tienen tres casos: \\<br />\\<br />\textbf{Caso 1: $x>0$}\\<br />$$y(x)=-\frac{3}{2}+ce^{-x^{2}}$$<br />\textbf{Caso 2: $x<0$}\\<br />$$y(x)=\frac{3}{2}+ce^{-x^{2}}$$<br />\textbf{Caso 3: $x=0$}\\<br />\\<br />Las E.D.O no se pueden definir para un solo punto, debido aque el \'unico elemento de este caso es en si mismo aislado. <br />\\<br />\\<br />Teniendose as\'i la forma de las soluciones de la E.D.O co\-rrespondiente.<br />$ Mensaje modificado por soulalex el May 26 2011, 07:57 PM

febomon Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 26 2011, 10:32 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 448 Registrado: 27-January 08 Miembro Nº: 15.045 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Crash! @ Apr 20 2011, 11:14 AM) $TEX: \[\begin{gathered}<br /> {\text{Me entro la duda con este problema asi que lo hare xD}} \hfill \\<br /> y' = \frac{{2{{\cos }^2}\left( x \right) - y + 3}}<br />{{x + y + 1}} \hfill \\<br /> {\text{sea }}z = x + y + 1 \hfill \\<br /> z' - 1 = \frac{{2{{\cos }^2}\left( x \right) - z + x + 4}}<br />{z} \hfill \\<br /> z' = \frac{{2{{\cos }^2}\left( x \right) + x + 4}}<br />{z} \hfill \\<br /> zz' = \cos \left( {2x} \right) + x + 5 \hfill \\<br /> \frac{{{z^2}}}<br />{2} = \frac{1}<br />{2}\sin \left( {2x} \right) + \frac{1}<br />{2}{x^2} + 5x + C \hfill \\<br /> {z^2} = \sin \left( {2x} \right) + {x^2} + 10x + C' \hfill \\<br /> z = \pm \sqrt {\sin \left( {2x} \right) + {x^2} + 10x + C'} \hfill \\<br /> y = \pm \sqrt {\sin \left( {2x} \right) + {x^2} + 10x + C'} - x - 1 \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />$ La otra solución era notar que si se ordenaba la ecuación es exacta

Crash! Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 26 2011, 11:27 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 929 Registrado: 22-June 08 Desde: Santiago Miembro Nº: 27.979 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(febomon @ May 26 2011, 11:32 PM) La otra solución era notar que si se ordenaba la ecuación es exacta how? -------------------- Ex-Electrico Usach 2008 Mechón Injenieria 2009 Tengo Sed.

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 26 2011, 11:39 PM Publicado: #6
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: $(x+y+1)\,dy+\left( y-2{{\cos }^{2}}x-3 \right)\,dx=0,$$ que es exacta.

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