|P(A^B)-P(A)P(B)|<=1/4 - Foro fmat.cl

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|P(A^B)-P(A)P(B)|<=1/4, corto y sencillo

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xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 18 2011, 08:25 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	Sean $TEX: $A$$ y $TEX: $B$$ dos eventos. Pruebe que $TEX: $\|P(A\cap B)-P(A)P(B)\|\le \frac{1}{4}$$ Mensaje modificado por xD13G0x el Apr 18 2011, 08:27 PM -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 22 2011, 05:02 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent Notemos que<br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />\mathbb P(A\cap B)-\mathbb P(A)\mathbb P(B)&=\mathbb P(B\|A)\mathbb P(A)-\mathbb P(A)\mathbb P(B)\\<br />&=\mathbb P(A)\left(\mathbb P(B\|A)-\mathbb P(B)\right)\\<br />&=\mathbb P(A)\left(\mathbb P(B\|A)-\mathbb P(B\|A)\mathbb P(A)-\mathbb P(B\|A^c)\mathbb P(A^c)\right)\\<br />&=\mathbb P(A)\left(\mathbb P(B\|A)(1-\mathbb P(A))-\mathbb P(B\|A^c)\mathbb P(A^c)\right)\\<br />&=\mathbb P(A)\mathbb P(A^c)\left(\mathbb P(B\|A)-\mathbb P(B\|A^c)\right).<br />\end{aligned}\end{equation}<br />Pero, como el condicionamiento entrega una nueva medida de probabilidad,<br />$$-1\le \mathbb P(B\|A)-\mathbb P(B\|A^c)\le 1.$$<br />Así, como el máximo de $x(1-x)$ en $[0,1]$ se da en $x=\frac 12$, tenemos que<br />$$<br />\left\|\mathbb P(A\cap B)-\mathbb P(A)\mathbb P(B)\right\|=\mathbb P(A)\mathbb P(A^c)\left\|\mathbb P(B\|A)-\mathbb P(B\|A^c)\right\|\le\frac 14.\quad\square<br />$$<br />$ -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 14 2011, 08:00 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	correcto, perdon por no haber respondido antes -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

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