 |P(A^B)-P(A)P(B)|<=1/4, corto y sencillo |
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 Apr 18 2011, 08:25 PM
Publicado:
#1
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad:  Sexo:   |
Sean
 y  dos eventos. Pruebe que  Mensaje modificado por xD13G0x el Apr 18 2011, 08:27 PM -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”
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Jul 22 2011, 05:02 PM
Publicado:
#2
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 Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad:  Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo: |
![TEX: \noindent Notemos que<br />\begin{equation*}\begin{aligned}<br />\mathbb P(A\cap B)-\mathbb P(A)\mathbb P(B)&=\mathbb P(B|A)\mathbb P(A)-\mathbb P(A)\mathbb P(B)\\<br />&=\mathbb P(A)\left(\mathbb P(B|A)-\mathbb P(B)\right)\\<br />&=\mathbb P(A)\left(\mathbb P(B|A)-\mathbb P(B|A)\mathbb P(A)-\mathbb P(B|A^c)\mathbb P(A^c)\right)\\<br />&=\mathbb P(A)\left(\mathbb P(B|A)(1-\mathbb P(A))-\mathbb P(B|A^c)\mathbb P(A^c)\right)\\<br />&=\mathbb P(A)\mathbb P(A^c)\left(\mathbb P(B|A)-\mathbb P(B|A^c)\right).<br />\end{aligned}\end{equation*}<br />Pero, como el condicionamiento entrega una nueva medida de probabilidad,<br />$$-1\le \mathbb P(B|A)-\mathbb P(B|A^c)\le 1.$$<br />Así, como el máximo de $x(1-x)$ en $[0,1]$ se da en $x=\frac 12$, tenemos que<br />$$<br />\left|\mathbb P(A\cap B)-\mathbb P(A)\mathbb P(B)\right|=\mathbb P(A)\mathbb P(A^c)\left|\mathbb P(B|A)-\mathbb P(B|A^c)\right|\le\frac 14.\quad\square<br />$$<br />](/tex-image/1a3145b4921b0840336532dda4ffbef5.png)
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![TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]](./tex/e0e88dba678ca3ead120b088f41191b2.png)
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Aug 14 2011, 08:00 PM
Publicado:
#3
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo: |
correcto, perdon por no haber respondido antes
-------------------- "I've never let my school interfere with my education.”
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