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I1 Teoría de Integración, 1s 2011

RobertZ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 15 2011, 09:22 PM Publicado: #1
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 47 Registrado: 29-September 08 Desde: Chile Miembro Nº: 35.149 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \begin{center}<br />\underline{{\bf Interrogación 1 de Teoría de la Integración}}<br />\end{center}<br />\vspace{0.5cm}<br /><br /><br />\begin{enumerate}<br />\item \textbf{Ejercicio.} Sea $f$ una función dos veces derivable sobre $[0,1]$ y tal que $f^{\prime\prime}$ sea acotada y Riemann-integrable. Probar que $$\lim_{n\to \infty}n^2\left(\int_0^1 f(x)\,dx-\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n f\left(\dfrac{2i-1}{2n}\right)\right)=\dfrac{f^\prime(1)-f^\prime(0)}{24}.$$<br />\item \textbf{Problema.} Probar que para que una función con valores reales $f$ definida sobre un boreliano $A$ sea Lebesgue-medible, es necesario y suficiente que para todo $\epsilon>0$ exista un cerrado $F\subset A$ tal que $\lambda(A\backslash F)<\epsilon$ y que la restricción de $f$ a $F$ sea continua.\\<br /> <br /> [\textbf{Indicación:} Considerar primero el caso en que $f$ es acotada. Para el caso general, se podrá razonar sobre $x\mapsto \arctan(f(x))$].<br />\item \textbf{Problema.} Sea $K$ un conjunto compacto de un espacio métrico y $(U_j)_{j\in J}$ un cubrimiento numerable de $K$ por una familia de abiertos. Se llama \emph{medida exterior de Haussdorff d-dimensional} de $K$ el número $H_d^(K)$ definido por<br /> $$H_d^(K)=\lim_{\epsilon\to 0}\inf_{(U_j)_{j\in J}}\left\{\sum_{j\in J}(\delta(U_j))^d:\,\forall j\in J, \delta(U_j)<\epsilon\right\},$$<br /> donde $\delta(A)$ designa el diámetro de un subconjunto $A$ del espacio métrico.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Probar que si $I$ es un intervalo cerrado y acotado real de medida de Lebesgue no nula, entonces $H_d^(I)=0$ si $d>1$; $H_d^(I)=\infty$ si $d<1$ y sólo $H_1^(I)$ es finita y no nula.<br /> \item Para un conjunto compacto $K$ de un espacio métrico se define su dimensión Haussdorff como $$d_H(K)=\inf\{d:H_d^*(K)=0\}.$$<br /> Calcular la dimensión de Haussdorff del conjunto ternario de Cantor.<br /> \end{enumerate}<br />\end{enumerate}<br />$

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 30 2011, 10:02 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	P1 $TEX: \noindent Notemos que en este problema se ha hecho una partición del intervalo $[0,1]$ en $2n$ subintervalos de largo uniforme y las evaluaciones de la suma se realizan justo en el punto medio de cada subintervalo. Con esto en mente, escribimos<br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />\int_0^1 f(x)dx-\frac 1n\sum_{i=1}^nf\left(\frac{2i-1}{2n}\right)<br />&=\sum_{i=1}^n\int_{\frac {i-1}n}^{\frac in}f(x)dx-\frac 1n\sum_{i=1}^nf\left(\frac{2i-1}{2n}\right)\\<br />&=\sum_{i=1}^n\int_{\frac {i-1}n}^{\frac in}f(x)dx-\sum_{i=1}^n\int_{\frac {i-1}n}^{\frac in}f\left(\frac{2i-1}{2n}\right)\\<br />&=\sum_{i=1}^n\int_{\frac {i-1}n}^{\frac in}f(x)-f\left(\frac{2i-1}{2n}\right)dx.<br />\end{aligned}\end{equation}<br />Si para cada $i$, usamos la expansión de segundo orden de Taylor:<br />$$f(x)-f\left(\frac{2i-1}{2n}\right)=f'\left(\frac{2i-1}{2n}\right)\left(x-\frac{2i-1}{2n}\right)+\frac 12f''(\xi_i)\left(x-\frac{2i-1}{2n}\right)^2,$$<br />con $\xi_i\in[\frac{i-1}n,\frac in]$, tenemos que<br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />\int_0^1 f(x)dx-\frac 1n\sum_{i=1}^nf\left(\frac{2i-1}n\right)<br />&=\sum_{i=1}^n\int_{\frac {i-1}n}^{\frac in}f'\left(\frac{2i-1}n\right)\left(x-\frac{2i-1}n\right)+\frac 12f''(\xi_i)\left(x-\frac{2i-1}n\right)^2dx\\<br />&=\frac 12\sum_{i=1}^nf''(\xi_i)\int_{\frac {i-1}n}^{\frac in}\left(x-\frac{2i-1}{2n}\right)^2dx\\<br />&=\frac 16\sum_{i=1}^nf''(\xi_i)\left.\left(x-\frac{2i-1}{2n}\right)^3\right\|_{\frac {i-1}n}^{\frac in}\\<br />&=\frac 1{24}\sum_{i=1}^n f''(\xi_i)\frac 1{n^3},<br />\end{aligned}\end{equation}<br />puesto que la primera integral desaparece por culpa de su imparidad. De esta forma, como $f''$ es acotada e integrable en el sentido de Riemann,<br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />\lim_{n\to\infty}n^2\left(\int_0^1 f(x)dx-\frac 1n\sum_{i=1}^nf\left(\frac{2i-1}{2n}\right)\right)<br />&=\lim_{n\to\infty}\frac 1{24}\sum_{i=1}^n f''(\xi_i)\frac 1n\\<br />&=\frac 1{24}\int_0^1 f''(x)dx\\<br />&=\frac{f'(1)-f'(0)}{24}.\quad\square<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 16 2012, 12:02 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	P3a $TEX: \noindent Sea $I\subseteq\mathbb R$ un intervalo cerrado y acotado. Notemos que $\delta(I)$ coincide con el largo del intervalo y definamos <br />$$H_d^\epsilon(I):=\inf_{(U_j)_{j\in J}}\left\{\sum_{j\in J}\delta(U_j)^d:\forall j\in J,\delta(U_j)<\epsilon\right\},\quad\forall \epsilon>0.$$<br />Supongamos que $d>1$. Dado $\epsilon>0$, definamos $N_\epsilon\in\mathbb N$ como el menor natural tal que $\delta(I)<\epsilon N_\epsilon$. Dividiendo el intervalo $I$ en $N_\epsilon$ subintervalos del mismo diámetro, obtenemos un cubrimiento $(U_j)_{j=1}^{N_\epsilon}$ de $I$ tal que $\delta(U_j)<\epsilon,\forall j$. De esta forma,<br />$$H_d^\epsilon(I)\le \sum_{j=1}^{N_\epsilon}\delta(U_j)^d\le \epsilon^dN_\epsilon\le \epsilon^d\left(\frac{\delta(I)}\epsilon+1\right).$$ <br />Luego, <br />$$H_d^(I)=\lim_{\epsilon\to 0}H_d^\epsilon(I)\le\lim_{\epsilon\to 0}\epsilon^d\left(\frac{\delta(I)}\epsilon+1\right)=\lim_{\epsilon\to 0}\epsilon^{d-1}\delta(I)+\epsilon=0.$$<br />Ahora, supongamos que $d<1$. Sea $\epsilon<1$ y $(U_j)_{j\in J}$ un cubrimiento disjunto y finito, entonces<br />$$\sum_{j\in J}\delta(U_j)^d>\sum_{j\in J}\delta(U_j)\ge \|J\|\delta(I)\ge \frac{\delta(I)^2}{\epsilon}.$$<br />En general, si $(U_j)_{j\in J}$ es un cubrimiento cualquiera, por Heine-Borel, es posible extraer un subcubrimiento finito y además, de este es posible extraer un cubrimiento finito disjunto tal que la suma en la definición de $H_d^\epsilon(I)$, sea menor. De esta forma, la desigualdad <br />$$\sum_{j\in J}\delta(U_j)^d>\frac{\delta(I)^2}{\epsilon}$$<br />es válida para cualquier cubrimiento de $I$ tal que $\delta(U_j)<\epsilon$. Finalmente, tomando ínfimo y haciendo $\epsilon\to 0$, se concluye que $H_d^(I)=\infty$.$ $TEX: \noindent<br />Finalmente, tomemos $d=1$. Sea $\epsilon>0$ fijo y $(U_j)_{j\in J}$ un cubrimiento de $I$ tal que $\delta(U_j)<\epsilon$. Tenemos que <br />$$\sum_{j\in J}\delta(U_j)^d=\sum_{j\in J}\delta(U_j)\ge \delta(I)$$<br />y por ende, $H_1^\epsilon(I)\ge \delta(I)$. Además, si $(U_j)_{j\in J}$ es un cubrimiento finito y disjunto, es claro que<br />$$\sum_{j\in J}\delta(U_j)^d=\sum_{j\in J}\delta(U_j)\le \delta(I)+2\epsilon.$$<br />Mediante un razonamiento análogo al caso cuando $d<1$, es posible extender esta última desigualdad a cualquier cubrimiento. De aquí sigue que<br />$$\delta(I)+2\epsilon\ge H_1^\epsilon(I)\ge \delta(I)$$<br />y haciendo $\epsilon\to 0$, se concluye que $H_1^(I)=\delta(I)$. $\quad\square$<br />$ -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation*}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

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