Prueba de Clasificación, Nivel Mayor (2003) - Foro fmat.cl

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Prueba de Clasificación, Nivel Mayor (2003), Sin solución: 1,2,3,4,5,6

JoNy_SaTiE Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 21 2007, 02:38 PM Publicado: #11
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 1.118 Registrado: 11-September 05 Desde: Valdivia/Ancud Miembro Nº: 302 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	ando salado para factorizar -------------------- Comienza a crear documentos con LaTeX. Ya usas LaTeX y quieres aprender un poco más ... pincha aquí Si eres de la UaCH ... únete a la causa !!! J. Jonathan H. Oberreuter A. Universidad Austral de Chile - RWTH Aachen alumni Est. Magister en Acústica y Vibraciones Ingeniero Civil Acústico (E) Bachiller y Licenciado en Cs. de la Ingeniería

JoNy_SaTiE Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 21 2007, 03:06 PM Publicado: #12
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 1.118 Registrado: 11-September 05 Desde: Valdivia/Ancud Miembro Nº: 302 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br />Problema 3<br /><br />$$ a_1=2^3$$<br />$$ a_2=2\cdot 3^2$$<br /><br />Seg\'un la sucesi\'on definida por recurrencia:<br /><br />$$ a_3=2^4\cdot 3^2$$<br />$$ a_4=2^5\cdot 3^4$$<br />$$ a_5=2^9\cdot 3^6$$<br /><br />$$ a_6=2^{14}\cdot 3^{10}$$<br /><br />$$ a_7=2^{23}\cdot 3^{16}$$<br /><br />$$ a_8=2^{37}\cdot 3^{26}$$<br /><br />$$ a_9=2^{60}\cdot 3^{42}$$<br /><br />Se observa que todo t\'ermino $a_i$ puede escribirse de la forma $a_i=2^p\cdot 3^q$ $p,q \in N$.<br /><br />Adem\'as cada t\'ermino contiene $q$ par. Entonces s\'olo observamos c\'omo var\'ia $p$.<br /><br />$p$ es par siempre que en los dos t\'erminos anteriores $p$ sean impar. Con esto, aparece un $p$ par cada tres t\'erminos. A partir de $a_3$.<br /><br />Por lo tanto $n$ es de la forma $n=3k,\, k\ge 1$ para que $a_n$ sean un cuadrado perfecto.<br />$ -------------------- Comienza a crear documentos con LaTeX. Ya usas LaTeX y quieres aprender un poco más ... pincha aquí Si eres de la UaCH ... únete a la causa !!! J. Jonathan H. Oberreuter A. Universidad Austral de Chile - RWTH Aachen alumni Est. Magister en Acústica y Vibraciones Ingeniero Civil Acústico (E) Bachiller y Licenciado en Cs. de la Ingeniería

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 28 2007, 07:13 PM Publicado: #13
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Si quieres sacar una conclusión general, no basta con verificarla "a mano" con los primeros casos. Eso ayuda mucho para la intuición, en ciertas circunstancias (esta no es la excepción), pero debes acompañar todo con una demostración -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Newtype Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 22 2010, 12:43 AM Publicado: #14
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Gp20 @ Feb 26 2007, 03:30 PM) Problema 1: Los puntos $TEX: $E$$ y $TEX: $F$$ dividen los lados $TEX: $BC$$ y $TEX: $CD$$ del cuadrilátero convexo $TEX: $ABCD$$ en dos partes iguales. Además, los segmentos $TEX: $AE$$ , $TEX: $AF$$ y $TEX: $EF$$ dividen el cuadrilátero en 4 triángulos, donde sus áreas coinciden con 4 números enteros consecutivos. Determine la mayor área posible que puede tener el triángulo $TEX: $\Delta ABD$$ . Bueno, sea A el area del cuadrilatero convexo ABCD. Como E y F so puntos medios de los lados del triangulo BCD, es un hecho conocido que El area del triangulo BCD será el cuadruplo del area de ECF. Vemos que el area del triangulo ABD es igual A restándole el area del triangulo BCD Luego, para maximizar el area del triangulo ABC debemos buscar el valor mínimo del area BCD, que corresponderá a que ECF sea el menor de los 4 enteros consecutivos. Entonces, sean estas areas: n, n+1, n+2, n+3 Vemos que A=n+n+1+n+2+n+3=4n+6 Si (ABD) denota el area del triángulo ABD... Entonces, (ABD)=A-(BCD)= 4n+6+4(ECF)=4n+6-4n = 6 Luego, el valor máximo del área del triángulo ABD será 6. -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos

Newtype Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 22 2010, 12:59 AM Publicado: #15
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Gp20 @ Feb 26 2007, 03:30 PM) Problema 3: Se define una sucesión $TEX: ${a_n}$$ por: $TEX: \begin{eqnarray}<br />a_1&=&8\\ <br />a_2&=&18\\<br />a_{n+2}&=&a_n\cdot a_{n+1} (n\ge 1)<br />\end{eqnarray}$ Determine los valores de $TEX: $n$$ para los cuales $TEX: $a_n$$ es un cuadrado perfecto. Expresemos los primeros términos en su factorización prima. $TEX: <br /> $ a_{1}=8=2^{3}$ \\ <br /> $ a_{2}=18=2^{1}3^{2}$ \\ <br /> $ a_{3}=2^{3+1}3^{2}=2^{4}3^{2}=(2^{2}3)^{2}$ \\ <br /> $ a_{4}=2^{5}3^{4}$ \\ <br /> $ a_{5}=2^{9}3^{6}$ \\ <br /> $ a_{6}=2^{14}3^{10}=(2^{7}3^{5})^{2}$ \\ <br />$ analizando los exponentes, y sabiendo que en la multiplicación los exponentes de igual base se suman, vemos que en todos los términos el expnente de 3 será par, pero el de 2 será par solamente cada 3 términos de la sucesión. Seguirá una ordenación I, I, P (impar, impar, par), que puede justificarse fácilmente sabiendo que I+I=P, y que I+P=I En conclusión, sabiendo que los cuadrados perfectos expresados en su factorización prima, tienen todos los exponentes pares, sabremos que todo término de la sucesión tal que su subíndice sea de la forma 3k, con k entero positivo, cumple con lo pedido. Saludos! Para el problema 4: Mi solución se encuentra en el tema de la categoría menor. Mensaje modificado por Hamon el May 22 2010, 01:00 AM -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos

Newtype Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 22 2010, 01:21 AM Publicado: #16
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Gp20 @ Feb 26 2007, 03:30 PM) Problema 5: Tres números positivos $TEX: $a,b,c$$ satisfacen la igualdad $TEX: \begin{eqnarray}<br />\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}&=&\dfrac{a^2}{c}+\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}<br />\end{eqnarray}$ Pruebe que al menos dos de los valores son iguales. Esperando que esta sea la "otra solución" que mencionaba xsebastian... Si multiplicamos la igualdad por abc, luego, dejamos todos los términos a un lado de la igualdad. Después, factorizamos la expresión resultante, y finalmente, como a,b y c son positivos se sigue que (a+b+c) es positivo, asi que es distinto de cero, luego uno de los otros factores deberá ser igual a cero. $TEX: $a^{3}c+b^{3}a+c^{3}b=a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a$ \\ <br /> $0=a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a-a^{3}c-b^{3}a-c^{3}b$ \\ <br /> $0=a^{3}(b-c)+b^{3}(c-a)+c^{3}(a-b)=-(b-c)(c-a)(a-b)(a+b+c)$ \\ <br /> $0=-(b-c)(c-a)(a-b)(a+b+c)$ \\$ Finalmente, debe cumplirse que b-a=0, a-c=0 o c-b=0, es decir, que a=b, a=c o b=c, demostrando lo pedido. -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 26 2015, 10:56 PM Publicado: #17
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	P5 multiplicando por $TEX: $abc$$ la ecuación mostrada, se tiene: $TEX: $a^{3}c+ab^{3}+bc^{3}=a^{3}b+b^{3}c+ac^{3}$$ $TEX: $a^{3}(c-b)+b^{3}(a-c)+c^{3}(b-a)$$ asumamos, sin perder la generalidad, que: $TEX: $a\geqslant b\geqslant c$$ , y digamos que $TEX: $a-b=x$$ , $TEX: $b-c=y$$ y por tanto $TEX: $a-c=x+y$$ , de aquí se sigue que: $TEX: $-a^{3}y+b^{3}(x+y)-c^{3}x=0\Longrightarrow (b^{3}-c^{3})x=(a^{3}-b^{3})y$$ $TEX: $(b-c)(b^{2}+bc+c^{2})x=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})y$$ $TEX: $\Longrightarrow xy(b^{2}+bc+c^{2})=xy(a^{2}+ab+b^{2})$$ dividiendo por $TEX: $xy$$ (esto mata el problema) $TEX: $b^{2}+bc+c^{2}=a^{2}+ab+b^{2}\Longrightarrow c^{2}-a^{2}=ab-bc\Longrightarrow (c-a)(a+c)=b(a-c)$$ dividiendo por $TEX: $(a-c)$$ (esto también lo mata) $TEX: $a+c=-b$$ contradicción, o sea, algo hicimos mal, y lo hicimos cuando dividimos por $TEX: $xy$$ , o cuando dividimos por $TEX: $(a-c)$$ , ya que bien sabíamos que podían ser 0, y claramente al menos uno de estos tres valores lo es, esto implica que $TEX: $a=b$$ o $TEX: $a=c$$ o $TEX: $b=c$$ $TEX: $\blacksquare$$ --------------------

Glmite Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 21 2015, 06:09 PM Publicado: #18
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1 Registrado: 31-May 15 Miembro Nº: 138.158 Nacionalidad: Sexo:	¿El problema 5 se puede resolver con la desigualdad de reordenamiento?

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 8 2021, 08:38 PM Publicado: #19
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	P2 $TEX: Es claro que la solución $(x_1,..,x_{30}) = (\lambda,...,\lambda), \lambda\in\mathbb{R}$ es solución.\\<br />Sea $(x_1,..,x_{30})$ una solución cualquiera del sistema. Definamos $r_i = x_i-x_{i+1}$ para $1\leq i\leq 29$ y $r_{30} = x_{30}-x_1$. Claramente $\sum_{i=1}^{30} r_i = 0 \ (\ast)$. Por las desigualdades tenemos que $30 r_i - 1973 r_{i+1}\geq 0$ para $1\leq i\leq 29$ $(\ast \ast)$ y $30r_{30}-1973r_1\geq 0$. Supongamos que existe $k$ tal que $r_k\neq 0$, entonces existe $i$ tal que $r_i>0$ pues si ninguno es positivo se tendría que $\sum_{j=1}^{30}r_j<0$ y contradice $(\ast)$.\\<br />Tenemos que $30r_{i-1}-1973r_i\geq 0$ entonces $r_{i-1}>0$ e inductivamente se prueba que si $1\leq j\leq i: \ r_j>0$, pero $30r_{30}-1973r_1\geq 0$ luego $r_{30}>0$ pero por $(\ast\ast)$ inductivamente se prueba que $r_j>0$ para todo $1\leq j\leq 30$ lo que contradice $(\ast)$. Por lo tanto $r_i=0$ para todo $1\leq i\leq 30$. Esto muestra que $x_1=x_2=...=x_{30}$ y así vemos que $\{(\lambda,...,\lambda)\in \mathbb{R}^{30}:\lambda\in\mathbb{R}\}$ son todas las soluciones del sistema.$ -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

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