Prueba de Clasificación, Nivel Mayor (2003) - Foro fmat.cl

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Prueba de Clasificación, Nivel Mayor (2003), Sin solución: 1,2,3,4,5,6

Gp20 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 26 2007, 02:30 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 558 Registrado: 14-May 05 Desde: Maipú, Stgo, Chile Miembro Nº: 27 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	15ª OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS Prueba de Clasificación, Nivel Mayor Primera Prueba Problema 1: Los puntos $TEX: $E$$ y $TEX: $F$$ dividen los lados $TEX: $BC$$ y $TEX: $CD$$ del cuadrilátero convexo $TEX: $ABCD$$ en dos partes iguales. Además, los segmentos $TEX: $AE$$ , $TEX: $AF$$ y $TEX: $EF$$ dividen el cuadrilátero en 4 triángulos, donde sus áreas coinciden con 4 números enteros consecutivos. Determine la mayor área posible que puede tener el triángulo $TEX: $\Delta ABD$$ . Problema 2: Encuentre todas las soluciones del sistena de inecuaciones: $TEX: \begin{eqnarray}<br />30x_1-2003x_2+1973x_3&\ge&0 \\<br />30x_2-2003x_3+1973x_4&\ge&0 \\<br />&\cdot& \\<br />&\cdot& \\<br />&\cdot& \\<br />30x_{28}-2003x_{29}+1973x_{30}&\ge&0 \\<br />30x_{29}-2003x_{30}+1973x_1&\ge&0 \\<br />30x_{30}-2003x_1+1973x_2&\ge&0 <br />\end{eqnarray}$ Problema 3: Se define una sucesión $TEX: ${a_n}$$ por: $TEX: \begin{eqnarray}<br />a_1&=&8\\ <br />a_2&=&18\\<br />a_{n+2}&=&a_n\cdot a_{n+1} (n\ge 1)<br />\end{eqnarray}$ Determine los valores de $TEX: $n$$ para los cuales $TEX: $a_n$$ es un cuadrado perfecto. Segunda Prueba Problema 4: La familia de Maca tiene 4 personas: el abuelo, la mamá, el papá y ella misma. Si se duplicara el tamaño de la beca mensual que recibe Maca, los ingresos de la familia aumentarían en 5 por ciento. Si en lugar de la beca de Maca, se duplicara el sueldo de su mamá,los ingresos familiares crecen en un 15 por ciento. El mismo procedimiento da 25 por ciento en el caso del papá. ahora, ¿En qué porcentaje crece el ingreso familiar, si sólo se duplica el sueldo del abuelo? Problema 5: Tres números positivos $TEX: $a,b,c$$ satisfacen la igualdad $TEX: \begin{eqnarray}<br />\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}&=&\dfrac{a^2}{c}+\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}<br />\end{eqnarray}$ Pruebe que al menos dos de los valores son iguales. Problema 6: Calcule el área de la región comprendida entre los tres semicírculos, sabiendo que $TEX: $CD$$ es perpendicular a $TEX: $AB$$ y que $TEX: $CD=1$$ . screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img118.imageshack.us/img118/4218/2004meqs5.jpg');}" /> -------------------- El peor defecto del ignorante es que ignora su propia ignorancia................ Educación2020 - Registra tu apoyo individual!!!!

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 8 2007, 04:52 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Sol al P6. Sean $TEX: $x,y$$ , los radios del $TEX: $C_1$$ y el $TEX: $C_2$$ , respectivamente. Por el enunciado se sabe que $TEX: $Z=1$$ Como el triangulo $TEX: $ABC$$ es rectángulo en $TEX: $B$$ y $TEX: $Z$$ es perpendicular a $TEX: $AB$$ podemos usar el teorema de euclides y decir: $TEX: $1^2=xy$$ de donde se saca que $TEX: $y=\frac{1}{x}$$ . El Área del semicírculo grande $TEX: $A_1=\dfrac{(\frac{x+y}{2})^2\pi}{2}=\dfrac{(x+y)^2\pi}{8}$$ , pero como $TEX: $y=\frac{1}{x}$$ , entonces reemplazando tenemos que $TEX: $A_1=\dfrac{(x+\frac{1}{x})^2\pi}{8}=\dfrac{(x^2+2+\frac{1}{x^2})\pi}{8}$$ . La suma de las Áreas de los circulos mas pequeños $TEX: $C_1+C_2=\dfrac{(\frac{x}{2})^2\pi}{2}+\dfrac{(\dfrac{1}{2x})^2\pi}{2}=\dfrac{\pi}{8}(x^2+\frac{1}{x^2})$$ Ahora podemos calcular el área buscada, restandole las áreas de los círculos pequeños al círculo grande. $TEX: $\dfrac{(x^2+2+\frac{1}{x^2})\pi}{8}-(\dfrac{\pi}{8}(x^2+\frac{1}{x^2}))=\dfrac{\pi}{4}$$ Archivo(s) Adjunto(s) semicirculo.PNG ( 4.85k ) Número de descargas: 3 -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 8 2007, 04:59 PM Publicado: #3
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Hola La región comprendida entre los tres semicírculos también es denominada "Arbelos" ó "Cuchillo del zapatero", y ésta en efecto tiene su área equivalente a la del círculo cuyo diámetro es CD. Así $TEX: $\mathcal{A}_{\,\text{ARBELOS}}=\pi\left(\dfrac12\right)^2=\dfrac\pi4$$ Lo que acabaste de hacer fue practicamente demostrar esa formulita

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 15 2007, 11:41 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Mirando con cuidado, uno ve que la definición de "x" e "y" son como los diámetros de dichas circunferencias (así lo usaste en tu argumento). Ese pequeño comentario, junto con el hecho que podías trabajar con "y" en vez de "1/x" (fíjate que la escritura del código LateX y la presentación de la solución, mejoran con esta observación) Saludos -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 16 2007, 05:33 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	tienes toda la razon sebastian, ahi $TEX: $x$$ e $TEX: $y$$ deben ser diametros, gracias por la observacion. Bueno tengo la respuesta al P5. $TEX: $\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}=\dfrac{a^2}{c}+\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}$$ / todo por abc. $TEX: $a^3c+b^3a+c^3b=a^3b+b^3c+c^3a$$ $TEX: $c(a^3-b^3)+b(c^3-a^3)+a(b^3-c^3)$$ / claramente si $TEX: $a=b=c$$ esto se cumple, pero si solo $TEX: $a=b$$ ... $TEX: $c(a^3-a^3)+a(c^3-a^3)+a(a^3-c^3)$$ $TEX: $0 + a(c^3-a^3+a^3-c^3)$$ $TEX: $0+0=0$$ Analogamente se puede hacer con los 3 valores y siempre dara 0. salu2! -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 17 2007, 11:11 AM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(pelao_malo @ Aug 16 2007, 05:33 PM) tienes toda la razon sebastian, ahi $TEX: $x$$ e $TEX: $y$$ deben ser diametros, gracias por la observacion. Bueno tengo la respuesta al P5. $TEX: $\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}=\dfrac{a^2}{c}+\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}$$ / todo por abc. $TEX: $a^3c+b^3a+c^3b=a^3b+b^3c+c^3a$$ $TEX: $c(a^3-b^3)+b(c^3-a^3)+a(b^3-c^3)$$ / claramente si $TEX: $a=b=c$$ esto se cumple, pero si solo $TEX: $a=b$$ ... $TEX: $c(a^3-a^3)+a(c^3-a^3)+a(a^3-c^3)$$ $TEX: $0 + a(c^3-a^3+a^3-c^3)$$ $TEX: $0+0=0$$ Analogamente se puede hacer con los 3 valores y siempre dara 0. salu2! Estás demostrando cosas del siguiente tipo (análogamente, para una de las igualdades a=c, b=c de hipótesis): $TEX: $a=b\Rightarrow\dfrac{a^2}b+\dfrac{b^2}c+\dfrac{c^2}a=\dfrac{a^2}c+\dfrac{b^2}a+\dfrac{c^2}b$$ Lo que debes hacer, es lo contrario: $TEX: $\dfrac{a^2}b+\dfrac{b^2}c+\dfrac{c^2}a=\dfrac{a^2}c+\dfrac{b^2}a+\dfrac{c^2}b\Rightarrow(a=b\vee a=c\vee b=c)$$ El problema tuyo es, antes de terminar la demostración, asumiste la "tesis", y ese es un error fatal, que debes evitar en adelante -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

JoNy_SaTiE Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 20 2007, 11:54 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 1.118 Registrado: 11-September 05 Desde: Valdivia/Ancud Miembro Nº: 302 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br />Problema 5<br /><br />Se considera $b=k_1a,c=k_2a$. con $k_1k_2\neq 0$<br /><br />Reemplazando en la igualdad:<br /><br />$$ \frac{1}{k_1}+\frac{k_1^2}{k_2}+k_2^2=\frac{1}{k_2}+k_1^2+\frac{k_2^2}{k_1}$$<br /><br />multiplicando por $k_1k_2$ se obtiene:<br /><br />$$ k_2+k_1^3+k_1k_2^3=k_1+k_2k_1^3+k_2^3$$<br /><br />Ordenando un poco se llega a:<br />$$ (k_2-k_1)+(k_1^3-k_2^3)+(k_1k_2^3-k_2k_1^3)=0$$<br />$$ (k_2-k_1)-(k_2-k_1)(k_1^2+k_1k_2+k_2^2)+k_1k_2(k_2-k_1)(k_2+k_1)=0$$<br /><br />$$ (k_1-k_2)(1-k_1^2-k_1k_2-k_2^2+k_1k_2^2+k_1^2k_2)=0$$<br /><br />Luego hay dos casos:<br /><br />Primero, $k_1-k_2=0 \Rightarrow k_1=k_2$ por lo que $k_1a=k_2a=b=c$.<br /><br />Segundo, $$1-k_1^2-k_1k_2-k_2^2+k_1k_2^2+k_1^2k_2=0 \Rightarrow k_1^2(k_2-1)+k_2^2(k_1-1)+(1-k_1k_2)=0$$ que, como $k_1,k_2$ son positivos, ocurre s\'olo si $k_1=1$ \'o $k_2=1$. <br /><br />En esos casos, $a=b$, \'o $a=c$$ Mensaje modificado por JoNy_SaTiE el Sep 21 2007, 02:38 PM -------------------- Comienza a crear documentos con LaTeX. Ya usas LaTeX y quieres aprender un poco más ... pincha aquí Si eres de la UaCH ... únete a la causa !!! J. Jonathan H. Oberreuter A. Universidad Austral de Chile - RWTH Aachen alumni Est. Magister en Acústica y Vibraciones Ingeniero Civil Acústico (E) Bachiller y Licenciado en Cs. de la Ingeniería

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 21 2007, 11:56 AM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Tienes que corregir un error de tipeo en la primera línea (c=k₂a, en vez de c=k₂c). El error más importante para corregir, está después del "ordenando un poco" (las agrupaciones no las hiciste muy bien, porque si desarrollas la factorización, aparecen términos de grado 4). Finalmente, si el producto de dos números es igual a 0, no puedes deducir que el primer factor sea nulo, a menos que compruebes que el otro factor no lo es -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

JoNy_SaTiE Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 21 2007, 01:07 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 1.118 Registrado: 11-September 05 Desde: Valdivia/Ancud Miembro Nº: 302 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Sí, evidentemente había un error en la factorización que ya está rreglado, lo mismo con lo del principio. Ahora creo que falta argumentar más el segunda caso final. -------------------- Comienza a crear documentos con LaTeX. Ya usas LaTeX y quieres aprender un poco más ... pincha aquí Si eres de la UaCH ... únete a la causa !!! J. Jonathan H. Oberreuter A. Universidad Austral de Chile - RWTH Aachen alumni Est. Magister en Acústica y Vibraciones Ingeniero Civil Acústico (E) Bachiller y Licenciado en Cs. de la Ingeniería

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 21 2007, 01:28 PM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Ahora, el error se encuentra en la última factorización (cuando trabajas con el segundo caso)... por otro lado, no veo por qué puedes concluir tan rápido que k₁=1 o k₂=1... tal vez sí, si trabajásemos con números naturales, pero este no es el caso PD: existe otra solución... -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

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