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![]() Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 558 Registrado: 14-May 05 Desde: Maipú, Stgo, Chile Miembro Nº: 27 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Universidad: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
14ª OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS Prueba de Clasificación, Nivel Mayor Primera Prueba Problema 1: Sergio tiene a su disposición un jarro que contiene dos litro de té y un jarro que contiene dos litros de leche. Sergio toma un vaso gradudado y retira 50 cm³ de té y lo coloca en el jarro con leche. Luego de revolver el contenido, Saca 50 cm³ de la mezcla y lo coloca en el jarro que contiene té. Luego de estas operaciones, ¿Hay más té en el jarro de leche o hay las leche en el jarro de té?. Problema 2: Pruebe que no es posible construir un triángulo de área mayor a ![]() ![]() Problema 3: Pruebe que no existe una sucesión ![]() i) ![]() ![]() ii) ![]() ![]() Segunda Prueba Problema 4: Se organiza una fiesta de matrimonios para el día de los enamorados. Se reúnen ![]() Problema 5: El número 3 tiene las siguientes representaciones como suma de números positivos: ![]() ![]() Problema 6: Consideramos un tablero de ajedrez de ![]() Problema 7: Sea ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() -------------------- El peor defecto del ignorante es que ignora su propia ignorancia................
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#2
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![]() Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
P2=
Bueno existen 2 casos para que el area del triangulo Dentro de un cuadrado de lado ![]() Caso 1) La base es igual a la diagonal, que para que tenga area maxima, la altura debe ser igual a la la mitad de la otra diagonal ( que en el fondo mide lo mismo que la mitad de la otra ). En ese caso, el area sería ![]() Caso 2) La altura es maxima, siendo igual al lado del cuadrado, entonces, la base sera el otro lado del cuadrado. Entonces el area de dicho triangulo será ![]() En ambos casos el area da ![]() Mensaje modificado por pelao_malo el Aug 5 2007, 09:14 PM
Archivo(s) Adjunto(s)
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#3
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![]() Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
P1-
Sergio tomo 0.5 lt de te y los hecho al agua. Dejo el vaso de te con 1,5 lt de te. Dejo el vaso de agua con 2 lt de agua y 0.5 de te Como revolvio y dejo una mezcla, entonces podremos calcular la cantidad de agua y te que tienen los 50 cm de la mezcla extraida de la siguiente manera: En el vaso de agua hay 0.5 lt de agua+0.5 lt de agua+0.5 lt de agua+ 0.5 lt de agua+0.5 lt de te Como esta mezclado toma la misma parte de cada 1, osea : 0.1 lt de agua+0.1 lt de agua+0.1 lt de agua+0.1 lt de agua+0.1 lt de te osea, el vaso de agua queda con 1,6 lt de agua y 0.4 lt de te. Cuando vertimos los 50 cm de mezcla en el te, quedan 1,6 lt de te y 0.4 lt de agua en este. Concluyendo que el agua tiene igual té que el té tiene de agua. ![]() ![]() -------------------- ![]() |
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![]() Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
P2= Bueno existen 2 casos para que el area del triangulo Dentro de un cuadrado de lado ![]() Caso 1) La base es igual a la diagonal, que para que tenga area maxima, la altura debe ser igual a la la mitad de la otra diagonal ( que en el fondo mide lo mismo que la mitad de la otra ). En ese caso, el area sería ![]() Caso 2) La altura es maxima, siendo igual al lado del cuadrado, entonces, la base sera el otro lado del cuadrado. Entonces el area de dicho triangulo será ![]() En ambos casos el area da ![]() Tu solución es válida, siempre y cuando uno de los lados del triángulo coincida con uno de los lados o diagonales del cuadrado. Sin embargo, existen otros casos, que no has cubierto en tu explicación (que ninguno de los tres lados del triángulo, sean lados o diagonales del cuadrado) A completar la solución, entonces... -------------------- |
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#5
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![]() Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
P1- Sergio tomo 0.5 lt de te y los hecho al agua. Dejo el vaso de te con 1,5 lt de te. Dejo el vaso de agua con 2 lt de agua y 0.5 de te Como revolvio y dejo una mezcla, entonces podremos calcular la cantidad de agua y te que tienen los 50 cm de la mezcla extraida de la siguiente manera: En el vaso de agua hay 0.5 lt de agua+0.5 lt de agua+0.5 lt de agua+ 0.5 lt de agua+0.5 lt de te Como esta mezclado toma la misma parte de cada 1, osea : 0.1 lt de agua+0.1 lt de agua+0.1 lt de agua+0.1 lt de agua+0.1 lt de te osea, el vaso de agua queda con 1,6 lt de agua y 0.4 lt de te. Cuando vertimos los 50 cm de mezcla en el te, quedan 1,6 lt de te y 0.4 lt de agua en este. Concluyendo que el agua tiene igual té que el té tiene de agua. ![]() ![]() En esta solución, asumiste que 50 cc = 0,5 lts, lo que está errado (50 cc = 0,05 lts). Esto complica un poco más la manera de expresar tu solución. Por cierto, la idea no está mal, y ya fue preguntado en el sector principiante (problemas de ingenio). Todavía esperamos la solución ingeniosa -------------------- |
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#6
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![]() Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
Problema 5: El número 3 tiene las siguientes representaciones como suma de números positivos: ![]() ![]() Veamos para los valores más pequeños de n.. 1=1 2=1+1=2 3= 1+1+1 = 1+2 = 2+1 = 3 4=1+1+1+1= 2+(1+2) = (1+2)+1 = 1+(2+1)=(2+1)+2= 3+1 = 1+3 etc... Bueno, luego de cierta observacion y análisis, ayudando al lector con las agrupaciones que realicé con paréntesis para que entienda mejor mis ideas, para n=1,2,3,4,5 , decidi que procedería inductivamente. Para n=1, vemos que 1 sólo se expresa como la suma siguiente: 1, es decir, hay solo 1 manera de expresarlo, que equivale a ![]() Luego, digamos inductivamente que esta proposición se cumple para un natural n. Ahora, buscaremos la manera de demostrar que si se cumple para n, se cumplirá para (n+1) Vemos que n se puede expresar de ![]() Observándolas, y comparándolas con las de (n+1), veremos luego que n+1 se puede expresar de las siguientes maneras: n+1. 1+1+...+1 (donde estos son (n+1) 1s) , y las restantes corresponden a 1+k, o k+1 donde k es una de las representaciones de n, excepto la de la forma 1+1+...+1 (con n 1s) Generalizando, vemos que n+1 se puede expresar de ![]() Esta ultima expresión puede desarrollarse de la siguiente manera: ![]() Luego, queda demostrado inductivamente que todo entero positivo n puede representarse de ![]() Saludos!! -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos
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Publicado:
#7
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![]() Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Universidad: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
![]() Mensaje modificado por Pedantic Anarchy el Jul 9 2010, 10:50 PM -------------------- yo no soy especial
a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso |
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Publicado:
#8
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![]() Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Universidad: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
El problema 2 me causo un Deja vu
![]() -------------------- yo no soy especial
a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso |
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Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Universidad: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
Super off topic... siempre que me pongo a leer las soluciones, quedo loco @.@
-------------------- Me voy, me jui.
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![]() Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
Tomemos 3 puntos al interior del cuadrado ABCD de lado a, P,Q,R.
Luego, es fácil ver que el área del triángulo se maximizará cunado tenga máxma base y altura, por lo que P y Q deben coincidir con 2 vértices del cuadrado, y R estar en el lado opuesto a estos. Finalmente, este triángulo tendrá área correspondiente a la mitad del área del cuadrado. Luego, queda demostrado que no pueden tomarse 3 puntos al interior de un cuadrado tal que formen un triángulo de área mayor a la mitad del área del cuadrado. (Más formalmente hay un método con desigualdades que demuestra los lugares de P,Q y R tales que el área del triángulo mencionado se maximice, queda a cargo del lector, ya que es bastante intuitivo) Saludos! -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos
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