Prueba de Clasificación, Nivel Mayor (2001)

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Prueba de Clasificación, Nivel Mayor (2001), Sin solución: 1,2,3,4,5,6,7

caf_tito Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 7 2008, 06:01 PM Publicado: #11
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.605 Registrado: 25-June 05 Miembro Nº: 123 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problema 6 I) $TEX: \noindent Sea $\sum {a^2 } = AE^2 + BE^2 + CE^2 + DE^2$ por pitágoras se tiene $AE^2 = AD^2 - DE^2$ y $CE^2 = BC^2 - BE^2$, $\implies \sum {a^2 } = AD^2 + BC^2$ análogamente $\sum {a^2 } = AB^2 + DC^2$. Recordando la identidad $h=\dfrac{ab}{2r}$ se tiene\\ $\begin{gathered}<br /> \sum {a^2 } = \frac{{AD^2 \cdot DC^2 + DC^2 \cdot BC^2 + BC^2 \cdot AB^2 + AB^2 \cdot AD^2 }}<br />{{4r^2 }} \hfill \\<br /> \sum {a^2 } = \frac{{\left( {AD^2 + BC^2 } \right)\left( {AB^2 + DC^2 } \right)}}<br />{{4r^2 }} \hfill \\<br /> \sum {a^2 } = \frac{{\sum {a^2 } \cdot \sum {a^2 } }}<br />{{4r^2 }} \Rightarrow \sum {a^2 } = 4r^2 \hfill \\ <br />\end{gathered}$$ --------------------

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 13 2015, 11:05 PM Publicado: #12
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	P4 i) Sea <BCE=<BEC=x, <DCF=<DFC=y, por ángulo exterior tenemos que <ABC=2x y <ADC=2y, como estos son opuestos y ABCD es paralelogramo, entonces x=y, también tenemos que <DCB=180-2x se sigue que <FCD+<DCB+<BCE=y+180-2x+x=180-x+y=180°, por lo que concluimos que F, C y E están alineados. ii) Demostraremos que AG es bisectriz del <FAE. Notemos que <AFG=<AEG=90°, por tanto AEGF es cíclico. Luego <FAG=<FEG y <GFE=<GAE, pero <FEG=90-x y <GFE=90-y, por lo que <FEG=<GFE, se sigue que <FAG=<GAE, demostrando lo pedido. --------------------

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 9 2017, 10:45 AM Publicado: #13
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	P2 $TEX: Sea $x=AC$ e $y=AB$. Para el primer caso, sea $a$ el lado del cuadrado, por thales se tiene que $\dfrac{x-a}{a}=\dfrac{x}{y}\Rightarrow a=\dfrac{xy}{x+y}$. En el segundo caso, sea $b$ el lado del cuadrado, por semejanzas se tiene que $IC=\dfrac{bx}{y}$ y $BH=\dfrac{by}{x}$, sigue que $\left(\dfrac{bx}{y}+b+\dfrac{by}{x}\right)^2 = x^2+y^2\Rightarrow b=\dfrac{xy\sqrt{x^2+y^2}}{x^2+y^2+xy}$.\\<br />Por otro lado, veamos que $(\sqrt{x^2+y^2}-x)(\sqrt{x^2+y^2}-y)>0\Rightarrow x^2+y^2+xy>(x+y)\sqrt{x^2+y^2}\Rightarrow \dfrac{1}{x+y}>\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{x^2+y^2+xy}\Rightarrow \dfrac{xy}{x+y}>\dfrac{xy\sqrt{x^2+y^2}}{x^2+y^2+xy}\Rightarrow a>b$ que es lo que quería $\blacksquare$$ -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

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