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![]() Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 558 Registrado: 14-May 05 Desde: Maipú, Stgo, Chile Miembro Nº: 27 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Universidad: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
13ª OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS Prueba de Clasificación, Nivel Mayor Primera Prueba Problema 1: Se consideran todas las fracciones positivas menores que uno, cuyo denominador es 2001 y cuyo numerador es un número que no tiene divisores comunes con 2001. Calcule la suma ed estas fracciones. Problema 2: Dado un triángulo rectángulo ![]() ![]() ![]() [Falta figura] Problema 3: Dadas 9 personas, demuestre que existe un valor de ![]() ![]() ![]() ![]() Problema 4: Sea ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() i) Demuestre que los puntos ![]() ![]() ii) Demuestre que la perpendicular a la recta ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Segunda Prueba Problema 5: Considere dos números enteros positivos ![]() ![]() ![]() Pruebe que los números ![]() ![]() ![]() Problema 6: Sea ![]() ![]() ![]() i) Demuestre que si las diagonales son perpendiculares entre sí, entonces se cumple que ![]() ii) Si la relación anterior se cumple, ¿Son las diagonales del cuadrilátero necesariamente perpendiculares entre sí?. Problema 7: En un tablero rectangular de ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() -------------------- El peor defecto del ignorante es que ignora su propia ignorancia................
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![]() Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 1.118 Registrado: 11-September 05 Desde: Valdivia/Ancud Miembro Nº: 302 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Universidad: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
![]() -------------------- Comienza a crear documentos con LaTeX.
Ya usas LaTeX y quieres aprender un poco más ... pincha aquí Si eres de la UaCH ... únete a la causa !!! J. Jonathan H. Oberreuter A. Universidad Austral de Chile - RWTH Aachen alumni Est. Magister en Acústica y Vibraciones Ingeniero Civil Acústico (E) Bachiller y Licenciado en Cs. de la Ingeniería |
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#3
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![]() Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
Solución correcta, a continuar con los otros problemas
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#4
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Dios Matemático ![]() Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 260 Registrado: 6-June 07 Miembro Nº: 6.476 ![]() |
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Puntaje Nacional PSU Matemáticas Admisión 2010 ![]() Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 99 Registrado: 2-March 08 Miembro Nº: 16.121 Nacionalidad: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
![]() Problema 2 Supongo que las areas de los cuadrados ADEF y GHIJ son iguales, lo que implicaria que los lados de ambos cuadrados fuesen iguales. Ahora se tiene una una correspondencia entre CFE y CIJ, y entre GHB y EDB. Por postulado ALA Estos dos pares de triangulos son congruentes y por tanto tienen la misma Area. Por ultimo El Area de ABC se podria dividir en dos formas : 1)Area triangulo CFE + Area triangulo EDB + Area cuadrado ADEF y 2)Area triangulo CIJ + Area triangulo GHB + Area cuadrado GHIJ + Area triangulo AGJ. Como se trata del mismo triangulo ABC 1)=2) . Area triangulo CFE + Area triangulo EDB + Area cuadrado ADEF=Area triangulo CIJ + Area triangulo GHB + Area cuadrado GHIJ + Area triangulo AGJ Pero por Hipotesis y por la congruencia entre dos pares de triangulos... 0=Area triangulo AGJ Que es Falso , por tanto la hipotesis era falsa Suiguiendo el procediminto anterior suponiendo areas ADEF<GHIJ se llegaria a Area del triangulo AGJ<0 que tambien es falso. Por lo tanto solo queda que Area ADEF > Area GHIJ Srry Por la escritura..... Ojala se entienda ...y este wena xD Mensaje modificado por Infinite el Mar 4 2008, 03:12 PM |
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#6
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Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
No puedes suponer nada pq falta la figura. Aunque creo que es asi como lo muestras.
Saludos Mensaje modificado por Felipe_ambuli el Mar 4 2008, 02:19 PM |
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Publicado:
#7
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Puntaje Nacional PSU Matemáticas Admisión 2010 ![]() Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 99 Registrado: 2-March 08 Miembro Nº: 16.121 Nacionalidad: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
![]() ahi ta es q antes me abia mandao una ... ve aora... Mensaje modificado por Infinite el Mar 4 2008, 02:26 PM |
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#8
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Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
Problema 4: Sea ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() i) Demuestre que los puntos ![]() ![]() ii) Demuestre que la perpendicular a la recta ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Iba a postear la ii) pero me di cuanta qe estaba mala ![]() |
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![]() Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
![]() Problema 2 Supongo que las areas de los cuadrados ADEF y GHIJ son iguales, lo que implicaria que los lados de ambos cuadrados fuesen iguales. Ahora se tiene una una correspondencia entre CFE y CIJ, y entre GHB y EDB. Por postulado ALA Estos dos pares de triangulos son congruentes y por tanto tienen la misma Area. Por ultimo El Area de ABC se podria dividir en dos formas : 1)Area triangulo CFE + Area triangulo EDB + Area cuadrado ADEF y 2)Area triangulo CIJ + Area triangulo GHB + Area cuadrado GHIJ + Area triangulo AGJ. Como se trata del mismo triangulo ABC 1)=2) . Area triangulo CFE + Area triangulo EDB + Area cuadrado ADEF=Area triangulo CIJ + Area triangulo GHB + Area cuadrado GHIJ + Area triangulo AGJ Pero por Hipotesis y por la congruencia entre dos pares de triangulos... 0=Area triangulo AGJ Que es Falso , por tanto la hipotesis era falsa Suiguiendo el procediminto anterior suponiendo areas ADEF<GHIJ se llegaria a Area del triangulo AGJ<0 que tambien es falso. Por lo tanto solo queda que Area ADEF > Area GHIJ Srry Por la escritura..... Ojala se entienda ...y este wena xD Es necesario explicar un poco más la solución... en particular, cuando supones que los cuadrados tienen igual área, dices que los triángulos CFE y CIJ tienen igual área, pero eso no está justificado. Más importante aún... el argumento que tienes para demostrar eso, ya no sirve para el caso en que supones que el área del cuadrado ADEF es mayor que el área del otro cuadrado. Así que mi sugerencia es explicar más detalles, antes que la solución pueda ser calificada como correcta o incorrecta. PD: las figuras están correctas... esas son las dos maneras de inscribir un cuadrado... -------------------- |
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Publicado:
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Puntaje Nacional PSU Matemáticas Admisión 2010 ![]() Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 99 Registrado: 2-March 08 Miembro Nº: 16.121 Nacionalidad: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
En torno a justificar que CFE y CIJ tienen la misma area, pienso que esta hecho al mostrar ya que son congruentes por el postulado ALA ( lo mismo para el otro par de triangulos).
Para el segundo caso que mencionas, si un cuadrado como supuse tiene un area mayor, por tanto un lado mayor que es el lado correspondiente a los de los triangulos, al no cambiar el valor de los angulos adyacentes a el, el area sera mayor para el que posea la mayor "base" en este caso IJ>FE( lo mismo para los otros dos triangulos correspondientes). Por ultimo si (AREAS) CIJ>CFE, GHB>EDB y GHIJ>ADEF implicarian que, para que de las areas sumadas se obtengas la del triangulo original ABC, Area AGJ<0 que es falso. Ojala ahora entiendas "mi solucion" , es que recien empeze a caxar cmo usar el latex y no queria estar tres tardes haciendolo xD |
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