 I1 Cálculo III, 1S 2011 |
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 Apr 8 2011, 05:56 PM
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 Staff Fmat  Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad:  Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo:   |
![TEX: \noindent \\<br />\begin{center}MAT1630 - Cálculo III\\<br />Interrogación I - Miércoles 06 de Abril de 2011 \end{center}<br />\begin{enumerate}<br />\item <br /><br />\begin{enumerate}<br />\item Analice la continuidad en $(0, 0)$ de la función<br />\[F(x,y)=\begin{cases}<br />\dfrac{\sin(x^2y^6)}{x^4+y^6}&\text{si }(x,y)\neq (0,0)\\<br />0&\text{si }(x,y) = (0,0)\\<br />\end{cases}.\]<br /><br />\item Sea $h:]0, \infty[\rightarrow\mathbb{R}$ una función de clase $C^2$ con $h'(\sqrt{n})=\sqrt{n}$ y $h''(\sqrt{n}) = n$. Se define la función $g:\mathbb{R}^n\backslash\{\vec{0}\}\rightarrow\mathbb{R}$ por $g(\vec{x}) = h(r(\vec{x}))$ con $r(\vec{x})=||\vec{x}||$, $||\vec{x}||$ representa la longitud del vector $\vec{x}$. Calcule<br /><br />\begin{center} $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial^2g}{\partial x_k^2}(\vec{x_0})$, donde $\vec{x_0}=(1, 1, \ldots, 1)$.\end{center}<br /><br />\end{enumerate}<br /><br />\item Sea $f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}$ definida por $f(x,y,z)=x^2+ye^z$.<br />\begin{enumerate}<br />\item Calcule el plano tangente a la superficie de nivel $\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:f(x,y,z) = 3\}$ en el punto $(1, 2, 0)$.<br />\item Determine un punto $(a,b,c)\in\mathbb{R}^3$ de tal modo que todos los vectores tangentes al gráfico de $f$ en el punto $(a,b,c,f(a,b,c))$ se encuentren en el conjunto<br /><br />\begin{center} $\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4:w=f(a,b,c)+2(x-a)+(y-b)+2(z-c)\}$. \end{center}<br />\end{enumerate}<br /><br />\item Se considera la curva que resulta de intersectar el paraboloide de ecuación $z=x^2+y^2$ con el plano de ecuación $x+y+2z=2$. Encontrar el punto que está a mayor altura y el que esté a menor altura de esta curva.<br /><br />\item Considere la función $f$ definida sobre $\mathbb{R}^2$ por: $f(x,y)=(x^2+3y^2)(2-x^2-y^2)$.<br />\begin{enumerate}<br />\item Determine todos sus puntos críticos y explique cuáles son puntos extremos.<br />\item Calcule, si existe, su máximo global. Explique.<br />\end{enumerate}<br />\end{enumerate}<br />](./tex/03a3b3a2c3b6f33f7dfe901d9ae28884.png)
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