Prueba de Clasificación (1997) - Foro fmat.cl

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Prueba de Clasificación (1997), Sin solución: 1,2,3,4,5,6,7

Gp20 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 25 2007, 08:21 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 558 Registrado: 14-May 05 Desde: Maipú, Stgo, Chile Miembro Nº: 27 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	9ª OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS Prueba de Clasificación Primera Prueba Problema 1: Se realiza una votación entre tres candidatos: $TEX: $A, B$$ y $TEX: $C$$ , con un electorado de 20 personas. Cada elector vota en orden por los tres candidatos, cada combinación posible recibe al menos un voto. De los electores, 11 prefieren a $TEX: $A$$ sobre $TEX: $B$$ y 12 prefieren a $TEX: $C$$ sobre $TEX: $A$$ . Ante esto, la comisión electoral solicita a $TEX: $B$$ que se retire para realizar una elección sólo entre $TEX: $A$$ y $TEX: $C$$ . Frente a esta petición, el candidato $TEX: $B$$ protesta y argumenta que hay 14 electores que lo prefieren sobre $TEX: $C$$ . Dada la confusión, la comisión electoral decide realizar una elección entre las dos primeras mayorías. Determine cuáles de los candidatos son los que obtuvieron las primeras mayorías, y cuántos votos obtuvieron. Problema 2: Para cada entero positivo $TEX: $n$$ , pruebe que $TEX: $n^2+n+1$$ no es cuadrado perfecto. Problema 3: Encuentre todas las soluciones enteras de la ecuación: $TEX: \begin{center}<br />$x^3+2y^3=4z^3$<br />\end{center}$ Segunda Prueba Problema 4: El $TEX: $\Delta ABC$$ tiene circuncírculo $TEX: $K$$ . Las bisectrices interiores del triángulo intersecan nuevamente a $TEX: $K$$ en $TEX: $D, E, F$$ . El $TEX: $\Delta DEF$$ resulta ser equilátero. Pruebe que el $TEX: $\Delta ABC$$ es equilátero. Problema 5: Sea $TEX: $n\ge2$$ un natural. $TEX: $0\le x_1\le x_2<\ldots\le x_n$$ son reales, que suman 1. Si $TEX: $x_n\le\dfrac{2}{3}$$ , pruebe que existe $TEX: $k$$ , con $TEX: $1\le k\le n$$ , tal que: $TEX: \begin{displaymath}<br />\frac{1}{3}\le\sum^k_{j=1}x_j\le\frac{2}{3} <br />\end{displaymath}$ Problema 6: Sean $TEX: $p, q, r$$ números enteros, donde $TEX: $r$$ no es cuadrado perfecto. Suponga que $TEX: \begin{center}<br />$x=\sqrt[3]{p+\sqrt{r}}+\sqrt[3]{q-\sqrt{r}}$ <br />\end{center}$ Es un racional. Pruebe que $TEX: $p=q$$ . Problema 7: Considere una circunferencia $TEX: $C$$ , de centro $TEX: $O$$ y radio $TEX: $r>0$$ . Sea $TEX: $Q$$ un punto en el interior de $TEX: $C$$ . Se localiza un punto $TEX: $P\in C$$ y se forma el $TEX: $\angle OPQ$$ . ¿Dónde debe ubicarse el punto $TEX: $P$$ para que el $TEX: $\angle OPQ$$ tenga medida máxima? -------------------- El peor defecto del ignorante es que ignora su propia ignorancia................ Educación2020 - Registra tu apoyo individual!!!!

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 3 2007, 07:58 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	P2. Tenemos que asumir que $TEX: $(n)^2=n^2$$ y el siguiente cuadrado perfecto más cercano es $TEX: $(n+1)^2=n^2+2n+1$$ . Pero suponiendo que $TEX: $n^2+n+1$$ fuese un cuadrado perfecto, y teniendo en cuenta que $TEX: $n^2+2n+1>n^2+n+1$$ , tenemos que $TEX: $n^2+2n+1>n^2+n+1>n^2$$ ,ya que ambos son positivos. Entonces $TEX: $n^2+n+1$$ sería el cuadrado perfecto más cercano a $TEX: $n^2$$ , lo que contradice lo que hemos asumido. -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

JoNy_SaTiE Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 22 2007, 05:30 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 1.118 Registrado: 11-September 05 Desde: Valdivia/Ancud Miembro Nº: 302 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br />Problema 2<br /><br />Supongamos que s\'i es un cuadrado perfecto.<br /><br />$$ n^2+n+1=(m+1)^2$$<br /><br />$$ n^2+n=m^2+2m$$<br /><br />$$ n(n+1)=m(m+2)$$<br /><br />que solo tiene soluci\'on para enteros no negativos (no tiene soluci\'on en los naturales). Por lo que es imposible la primera afirmaci\'on.$ -------------------- Comienza a crear documentos con LaTeX. Ya usas LaTeX y quieres aprender un poco más ... pincha aquí Si eres de la UaCH ... únete a la causa !!! J. Jonathan H. Oberreuter A. Universidad Austral de Chile - RWTH Aachen alumni Est. Magister en Acústica y Vibraciones Ingeniero Civil Acústico (E) Bachiller y Licenciado en Cs. de la Ingeniería

JoNy_SaTiE Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 22 2007, 05:37 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 1.118 Registrado: 11-September 05 Desde: Valdivia/Ancud Miembro Nº: 302 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br />Problema 3<br /><br />$$x^3+2y^3=4z^3$$<br /><br />$x$ debe ser par, luego $x=2p_1$.<br /><br />La ecuaci\'on queda:<br /><br />$$ 4p_1^3+y^3=2z^3$$<br /><br />ahora $y$ es par, luego $y=2p_2$, la ecuaci\'on queda:<br /><br />$$ 2p_1^3+4p_2^3=z^3$$<br /><br />igual que antes $z$ es par, luego $z=2p_3$. La ecuaci\'on queda:<br /><br />$$ p_1^3+2p_2^3=4p_3^3 $$<br /><br />Y se llega nuevamente a una expresi\'on similar a la inicial. Aqu\'i se puede realizar el mismo procedimiento con cada variable de forma infinita.<br /><br />Finalmente no hay soluciones para $x,y,z\neq 0$. Las \'unicas soluciones son:<br /><br />$$ x=y=z=0$$ <br />$ -------------------- Comienza a crear documentos con LaTeX. Ya usas LaTeX y quieres aprender un poco más ... pincha aquí Si eres de la UaCH ... únete a la causa !!! J. Jonathan H. Oberreuter A. Universidad Austral de Chile - RWTH Aachen alumni Est. Magister en Acústica y Vibraciones Ingeniero Civil Acústico (E) Bachiller y Licenciado en Cs. de la Ingeniería

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 28 2007, 08:03 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	La primera solución al P2 es correcta, básicamente por el acotamiento: n²<n²+n+1<(n+1)² (la segunda solución no la leí... estoy pasando rápido para evlauar las soluciones). La solución al problema 3 es correcta, aunque quiero discutir un poco más en detalle un punto... estamos demostrando que x, y, z tienen una cantidad infinita de factores 2 (es decir: 2^n\|x, 2^n\|y, 2^n\|z, para todo n entero positivo). La única manera en que eso es posible, es cuando x=y=z=0 Sólo quería dar otro punto de vista sobre el mismo punto -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 10 2010, 10:39 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Problema 4: Trazamos $FC$,$BE$,$FB$,$EC$, resultando el cuadrilatero ciclico (i) $FBCE$. Tenemos que $\angle{OFE}=30º$, por ser bisectriz de $\angle{DFE}$,homologamente $\angle{OEF}=30º$, por (i) $\angle{CFE}=\angle{EBC}=30º$,$\angle{FEB}=\angle{EBC}=30º$. Pero $2\angle{EBC}=\angle{ABE}$, entonces $\angle{ABC}=60º$, homologamente $\angle{ACB}=2\angle{FCB}=60º$, y por lo tanto $\angle{BAC}=60º$. QED$ -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

iMPuRe Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 19 2010, 10:00 PM Publicado: #7
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 193 Registrado: 22-March 07 Desde: San Miguel, Santiago Miembro Nº: 4.651 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(JoNy_SaTiE @ Sep 22 2007, 06:30 PM) $TEX: <br />Problema 2<br /><br />Supongamos que s\'i es un cuadrado perfecto.<br /><br />$$ n^2+n+1=(m+1)^2$$<br /><br />$$ n^2+n=m^2+2m$$<br /><br />$$ n(n+1)=m(m+2)$$<br /><br />que solo tiene soluci\'on para enteros no negativos (no tiene soluci\'on en los naturales). Por lo que es imposible la primera afirmaci\'on.$ alguna justificacion de lo ultimo? (por directo que sea), propongo otra solucion. Consideremos que si es un cuadrado, es decir $TEX: $n^2+n+1=(n+1)^2-n=j^2$$ , luego $TEX: $(n+1-j)(n+1+j)=n$$ , lo cual es contradictorio pues $TEX: $n+1+j>n$$ y por tanto no puede dividirlo. -------------------- 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069 1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 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luis_fz Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 3 2011, 07:58 PM Publicado: #8
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 270 Registrado: 31-May 10 Desde: San antonio Miembro Nº: 71.730 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	P6 (no estoy muy seguro de la solución pero haber si la pueden corregir) $TEX: $\sqrt[3]{p+\sqrt{r}}+\sqrt[3]{q-\sqrt{r}}=x$$ Hagamos un cambio de variable sea $TEX: $a=p+\sqrt{r}$$ y $TEX: $b=q-\sqrt{r}$$ $TEX: $\Rightarrow \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}=x$$ $TEX: $\displaystyle \Rightarrow x=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\frac{\left( \sqrt[3]{a^{2}}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}} \right)}{\left( \sqrt[3]{a^{2}}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}} \right)}$$ $TEX: $\displaystyle \Rightarrow x=\frac{a+b}{\left( \sqrt[3]{a^{2}}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}} \right)}$$ $TEX: $\displaystyle \Rightarrow \left( \sqrt[3]{ab^{2}}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{ab^{2}} \right)=\frac{a+b}{x}$$ $TEX: $\displaystyle \Rightarrow \frac{a+b}{x}=\left( \sqrt[3]{a^{2}}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}}+3\sqrt[3]{ab}-3\sqrt[3]{ab} \right)$$ pero $TEX: $\sqrt[3]{a^{2}}+2\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}}=x^{2}$$ reemplazando en la expresión (es importante notar que x es racional por condición de enunciado) $TEX: $\displaystyle \Rightarrow \frac{a+b}{x}=\left( x^{2}-3\sqrt[3]{ab} \right)$$ $TEX: $\displaystyle \Rightarrow x^{2}-\frac{a+b}{x}=3\sqrt[3]{ab}$$ $TEX: $\displaystyle \frac{x^{3}-a+b}{3x}=\sqrt[3]{ab}$$ $TEX: $\displaystyle \left( \frac{x^{3}-a+b}{3x} \right)^{3}=ab$$ reemplazando por los valores de a y b se sigue que $TEX: $\displaystyle \left( \frac{x^{3}-\left( p+\sqrt{r}+q-\sqrt{r} \right)}{3x} \right)^{3}=\left( p+\sqrt{r} \right)\left( q-\sqrt{r} \right)$$ $TEX: $\displaystyle \Rightarrow \left( \frac{x^{3}-\left( p+q \right)}{3x} \right)^{3}=pq+q\sqrt{r}-p\sqrt{r}$$ luego el lado izquierdo es racional y la única forma que el derecho lo sea es que p=q pues r no es un cuadrado perfecto Saludos

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 11 2011, 01:10 AM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	Problema 5: Supongamos lo contrario. Sea $TEX: $k$$ el menor entero posible tal que $TEX: $a_1+...+a_k\ge 1/3$$ , si $TEX: $k=1$$ entonces $TEX: $a_1\le a_n\le 2/3$$ , contradiccion, osea $TEX: $k>1$$ , luego tenemos que $TEX: $a_1+...+a_{k-1}<1/3$$ por la definicion de $TEX: $k$$ y que $TEX: $a_1+...+a_k\ge 2/3$$ , luego de las dos ultimas desigualdades obtenemos $TEX: $a_k>1/3$$ de donde $TEX: $1/3<a_n\le 2/3$$ , osea $TEX: $2/3>1-a_n\ge 1/3$$ contradiccion. -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

finfante Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 16 2011, 12:10 AM Publicado: #10
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.908 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Buenas, mi primer aporte a esta comunidad. Yo fui seleccionado el año 1994, por ahí debo tener los problemas antiguos. Preg 7. Se tienen dos puntos (O y Q), cuando buscamos el arco capaz, mientras mas pequeños sea el arco (de menor radio) el ángulo que forman es mayor. Entonces hay que buscar el menor arco que cruce la circunferencia C en al menos un punto. Este arco es el que es tangente a la circunferencia. Saludos.

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