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nagernager
mensaje Mar 13 2011, 04:40 PM
Publicado: #1


Doctor en Matemáticas
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TEX: Encontrar todos los enteros positivos x,y,z tales que $x! +y!=15(2)^{z!}$
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tochalo
mensaje Mar 13 2011, 08:18 PM
Publicado: #2


Dios Matemático
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Hola nagernager
Primero mostraré que x,y deben ser menores o iguales que 5.

TEX: \noindent<br />Notemos que si $x,y\geq 6$ entonces el lado izquierdo es divisible por $6!$, pero 6! no divide al lado derecho puesto que $9\nmid 15(2^{z!}) \forall z \in \mathbb{N}$.<br />Por otra parte,como $15(2^{z!})$ es múltiplo de 10, entonces $x!+y!$ también lo es. Como $n!$ termina en cero para $n\geq 5$, se sigue que si $y\geq5$ y $x<5$ entonces tampoco existen soluciones, pues en tal caso $x!+y!$ no es múltiplo de 10. Nos falta ver el caso en que una de las variables es 5 y la otra es mayor que 5. Supongamos que $x=5$ e $y>5$, digamos $y=5+k$ luego<br />$$x!+y!=5!(1+6\cdot 7\cdots k)=15(2^{z!})\Longrightarrow 2^3(1+6\cdot 7\cdots k)=2^{z!}$$ <br />claramente la expresión en paréntesis nunca es una potencia de 2, por tanto tampoco existen soluciones. Una vez descartados todos estos casos tenemos que $x,y\leq 5$, de aquí es sencillo concluir que las soluciones son (4,3,1) y (3,4,1)<br />

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nagernager
mensaje Mar 16 2011, 09:16 PM
Publicado: #3


Doctor en Matemáticas
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Que buena tochalo.


Mensaje modificado por nagernager el Mar 16 2011, 09:16 PM
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