Propuesto Hatsune Miku - Foro fmat.cl

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Propuesto Hatsune Miku, norma p:

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Laðeralus Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 14 2011, 12:48 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 947 Registrado: 28-September 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 10.639 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	No sé teoría de la medida Pero sé como demostrar el área superficial de una esfera de dimensión n. No es equivalente al problema propuesto, o si?

nmg1302 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 14 2011, 05:15 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 832 Registrado: 11-September 07 Desde: París, Francia Miembro Nº: 10.056 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: <br />el problema es calcular el área de la región dada por<br />$$\|x\|^p+\|y\|^p\leq R^p$$<br />por la simetría del conjunto calcularemos primero el área del primer cuadrante,donde podemos desacernos de los modulos, porlo que el area queda<br />$$A=\int_{0}^{R} \int_{0}^{ (R^p-x^p)^\frac{1}{p}} dy dx=\int_{0}^{R} \ (R^p-x^p)^\frac{1}{p} dx=<br />R\int_{0}^{R} \ (1-(\frac{x}{R})^p)^\frac{1}{p} dx$$<br />haciendo $u=\left ( \frac x R \right ) ^p$ , $x=R u^\frac{1}{p}$,$dx=\frac{R}{p} u^{\frac{1}{p}-1}$<br />$$A=\frac{R^2}{p}\int_{0}^{1}u^{\frac{1}{p}-1} ( 1-u)^{\frac{1}{p}-1+1}du=<br />\frac{R^2}{p} B \left ( \frac{1}{p},\frac 1 p +1 \right ) <br />=\frac{R^2}{p} \frac{\Gamma(\frac 1 p) \Gamma(\frac 1 p +1)}{\Gamma(\frac{2}{p}+1)}<br />=\frac{R^2}{p} \frac{\Gamma(\frac 1 p)^2 (\frac{1}{p})}{\Gamma(\frac{2}{p})\frac{2}{p}}<br />=\frac{R^2}{2p} \frac{\Gamma(\frac 1 p)^2}{\Gamma(\frac{2}{p})}$$<br />Finalmente el resultado se obtiene multiplicando por 4 por la simetria<br />$ Saludos Mensaje modificado por nmg1302 el Mar 14 2011, 10:49 PM

nmg1302 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 14 2011, 09:49 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 832 Registrado: 11-September 07 Desde: París, Francia Miembro Nº: 10.056 Nacionalidad: Sexo:	CITA(2.718281828 @ Mar 14 2011, 10:13 PM) excelente resultado!!! falta ver que sucede cuando p tiende a infinito, (pasa por una desigualdad), pero creo que no es tan necesario ahora, creo que pauenden pasarla a resueltos. cierto , me falto la ultima parte, $TEX: <br />bueno el caso $p=2$ es solo cosa de reemplazar y recordar el conocido valor $\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}$<br /><br />para el caso cuando p tiene infinito(que seria como la norma del supremo por lo que el área debería tender la de un cuadrado de lado $2R$)<br />partamos de<br /><br />$$\mu (B_p (0,R))=\frac{4}{p} \frac{\Gamma(\frac{1}{p}) \Gamma(\frac{1}{p}+1)}{\Gamma(\frac{2}{p}+1)}R^2<br />=4 \frac{\Gamma(\frac{1}{p}+1) \Gamma(\frac{1}{p}+1)}{\Gamma(\frac{2}{p}+1)}R^2$$<br />y como la función Gamma es analítica en x=1, en particular continua tenemos que<br />$$\lim_{p \rightarrow \infty} \mu (B_p (0,R))=4\frac{\Gamma(1)^2}{\Gamma(1)}R^2=4 R^2$$<br />Como era de esperarse<br />$ Saludos PD: interesante propuesto

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