Matriz simpléctica simpática

Matriz simpléctica simpática

Opciones

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 3 2011, 02:39 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent Sea $\mathrm J$ la matriz simpléctica dada por <br />$$\mathrm J=\begin{bmatrix}<br />0&1\\<br />-1&0<br />\end{bmatrix}.$$<br />\begin{enumerate}<br />\item Calcule $\mathrm J^2,\mathrm J^3,\mathrm J^4$.<br />\item Determine una recursión para $\mathrm J^{2k},\mathrm J^{2k+1}$ para $k\in\mathbb N_0$.<br />\item Calcule $e^{t\mathrm J}$ para $t\in\mathbb R$.<br />\end{enumerate}<br />$ --- Comentario: Esta matriz me apareció estudiando la Ecuación de sistema cerrado de Hamilton $TEX: $$x(t)=x_0+\int_0^t\mathrm J\nabla H(x(s))ds$$$ donde $TEX: $x=(q,p)$$ es el típico estado del sistema. -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

nmg1302 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 17 2011, 09:03 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 832 Registrado: 11-September 07 Desde: París, Francia Miembro Nº: 10.056 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: <br />1.Notemos que<br />$$J^2=-I_2$$<br />con $I_2$ la identidad en $\mathcal M_{nn}(\mathbb R)$ \\<br />entonces<br />$$J^3=J J^2=-J$$<br />$$J^4=J J^3=-J^2=I_2$$<br />2.veamos que<br />$$J^{2k+1}=J (J^2)^k=(-I_2)^k J=(-1)^k J$$<br />$$J^{2k}=(-I_2)^k=(-1)^k I_2$$<br />3.<br />$$\exp(tJ)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(t J)^k}{k!}<br />=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(t J)^{2k+1}}{(2k+1)!}+\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(t J)^{2k}}{(2k)!}<br />=J \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k t ^{2k+1}}{(2k+1)!}+I_2\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k t ^{2k}}{(2k)!}<br />=J \sin t +I_2\cos t$$<br />$$\exp(tJ)=\left ( \begin{array}{r l}<br />\cos t & \sin t\\<br />-\sin t & \cos t <br />\end{array} \right )$$ <br />$ Mensaje modificado por nmg1302 el Mar 17 2011, 09:06 PM

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 17 2011, 11:07 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Correcto! Cabe destacar que $TEX: $\mathrm J$$ es como la unidad imaginaria de las matrices y satisface $TEX: $e^{\mathrm Jt}=I_2\cos t+\mathrm J\sin t$$ lo cual vendría a ser la Identidad de Euler pero con matrices. -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

1 usuario(s) está(n) leyendo esta discusión (1 invitado(s) y 0 usuario(s) anónimo(s))

0 miembro(s):

Modo de Ver: Estándar · Cambiar a: Lineal+ · Cambiar a: Outline

Fecha y Hora actual: 23rd November 2024 - 08:35 PM