Ecuación funcional de los vecinos

Ecuación funcional de los vecinos, Argentina TST IMO 2008

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 7 2011, 09:48 AM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Hallar todas las funciones $TEX: $f:\mathbb {R}^+\to \mathbb {R}^+$$ tales que $TEX: $\forall x,y\in \mathbb {R}^+$$ se cumple que $TEX: $x^2(f(x)+f(y))=(x+y)f(yf(x))$$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

Ferroni.VR Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 8 2011, 12:03 PM Publicado: #2
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 94 Registrado: 26-May 10 Miembro Nº: 71.431 Nacionalidad: Sexo:	Parecía feo, y resultó ser precioso. $TEX: Tomemos $x=1$ y $y=\dfrac{1}{f(1)}$, y reemplacemos en la igualdad original:$ $TEX: $f(1)+f\left( \dfrac{1}{f(1)}\right)=\left(1+\dfrac{1}{f(1)}\right)f(1)$$ $TEX: Entonces:$ $TEX: $f(1)+f\left( \dfrac{1}{f(1)}\right)=f(1)+1$$ $TEX: $f\left( \dfrac{1}{f(1)}\right)=1$$ $TEX: Ahora reemplacemos $x=\dfrac{1}{f(1)}$, $y=1$ en la igualdad original:$ $TEX: $\left(\dfrac{1}{f(1)}\right)^2 \left(1+f(1)\right)=\left(\dfrac{1}{f(1)}+1\right)f(1)$$ $TEX: $\left(\dfrac{1}{f(1)}\right)^2+\dfrac{1}{f(1)}=1+f(1)$$ $TEX: $1+f(1)=f(1)^2+f(1)^3$$ $TEX: $0=f(1)^3+f(1)^2-f(1)-1 \Rightarrow 0=(f(1)-1)(f(1)+1)^2 \Rightarrow f(1)=1$$ $TEX: Finalmente, tomamos $x=1$ en la igualdad original:$ $TEX: $1+f(y)=(1+y)f(y) \Rightarrow 1+f(y)=f(y)+y \cdot f(y)$$ $TEX: $1=y\cdot f(y) \Rightarrow f(y)=\dfrac{1}{y}$$ $TEX: Es fácil ver que esta función cumple lo pedido, y es la única, como vimos.$ Saludos.

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 13 2015, 09:45 PM Publicado: #3
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	Creo que se me ocurrio otra Haciendo $TEX: $x=y$$ se tiene que $TEX: $2x^2f(x)=2xf(xf(x)) \Leftrightarrow xf(x)=f(xf(x))$$ y con $TEX: $x=1$$ se sigue $TEX: $f(1)=f(f(1))$$ . Ahora, si hacemos $TEX: $x=f(1)$$ e $TEX: $y=1$$ en la ecuacion inicial, tenemos: $TEX: $f(1)^2(f(1)+f(1))=(f(1)+1)f(1) \Leftrightarrow 2f(1)^3=f(1)^2+f(1)$$ de aqui no hay problema al dividir por $TEX: $f(1)$$ pues $TEX: $Codom(f) = \mathbb{R^+}$$ , de aqui, entonces dividimos y procedemos a resolver la cuadratica que nos queda: $TEX: $f(1)=\displaystyle \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4} \Rightarrow f(1)=1$$ ó $TEX: $f(1)=-\displaystyle \frac{1}{2}$$ , pero por hipotesis se tiene desprende que $TEX: $f(1)=1$$ Por ultimo, haciendo $TEX: $x=1$$ en la ecuacion inicial, tenemos que $TEX: $1+f(y)=(1+y)f(y)$$ , entonces $TEX: $f(y)=\displaystyle \frac{1}{y}$$ para todo $TEX: $y \in \mathbb{R^+}$$ , verificar que esta funcion cumple es facilito y con esto estamos Saludos!!