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> Coloreando regiones del plano, Argentina TST Ibero 2008
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mensaje Feb 7 2011, 09:39 AM
Publicado: #1


Dios Matemático Supremo
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El plano está dividido en regiones mediante TEX: $n\ge 3$ rectas entre las que no hay dos paralelas ni tres concurrentes. Varias regiones se colorean de negro de modo que no haya dos regiones negras que compartan un segmento o una semirrecta de su borde. Demostrar que el número de regiones coloreadas es a lo sumo TEX: $\dfrac{1}{3}n(n+1)$


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Ricardo Vargas Obando
Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años).
Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile.



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Luffy
mensaje Nov 9 2014, 12:57 AM
Publicado: #2


Dios Matemático Supremo
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Es claro que para cada intersección de dos rectas, la cantidad de regiones negras que tienen a ese punto como vértice, son a lo más TEX: $2$, luego como la cantidad total de intersecciones es TEX: ${n \choose 2}$, la suma total de dichos valores es menor o igual a TEX: $n(n-1)$. Por otro lado, podemos calcular ese mismo número, contando sobre cada región, la cantidad de vértices que ella posee. Separamos a las regiones negras entre las regiones acotadas (diremos que hay TEX: $A$) y las no acotadas (que diremos que hay TEX: $B$). Así, como cada región acotada tiene al menos TEX: $3$ vértices, y cada región no acotada al menos TEX: $1$, obtenemos que TEX: $3A+B\le n(n-1)$, lo que implica que TEX: $A+B\le \dfrac{1}{3}(n(n-1)+2B)$. Finalmente es claro que las regiones acotadas son en total TEX: $2n$, y que a lo sumo podemos colorear TEX: $n$ de ellas (de forma intercalada), luego TEX: $A+B\le \dfrac{1}{3}(n(n-1)+2n)=\dfrac{1}{3}n(n+1)$.
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