 Sumemos senos, Hay varias demostraciones |
|
|
|
|
|
|
Foro fmat.cl > Programa Enseñanza Universitaria > Consultas > Banco de Problemas Resueltos > Álgebra > Sumatorias  |
 Feb 2 2011, 09:48 PM
Publicado:
#1
|
|
 Dios Matemático Supremo  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 947 Registrado: 28-September 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 10.639 Nacionalidad:  Universidad:  Sexo:   |
|
 |
 
|
|
Feb 2 2011, 10:05 PM
Publicado:
#2
|
|
 Staff FMAT  Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo: |
QUOTE(Krizalid @ May 7 2009, 11:15 PM)   además es  también  y finalmente, |
|
|
|
|
Feb 3 2011, 05:11 PM
Publicado:
#3
|
|
|
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 947 Registrado: 28-September 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 10.639 Nacionalidad: Universidad: Sexo: |
Muy bien, el resultado final es equivalente al que se pedía.
No sabía que ese ejercicio lo habían respondido en otro ejercicio (lo supuse, porque está en quote). ¿A alguien se le ocurren más soluciones? Yo conocía 2: la de Krizalid y otra más 
Mensaje modificado por Laðeralus el Feb 3 2011, 05:12 PM |
|
|
|
|
Feb 3 2011, 05:22 PM
Publicado:
#4
|
|
|
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo: |
La otra que se me ocurre es hacer
 el resto es lidiar con una suma geométrica y usar Euler.
|
|
|
|
|
Feb 3 2011, 05:31 PM
Publicado:
#5
|
|
|
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 832 Registrado: 11-September 07 Desde: París, Francia Miembro Nº: 10.056 Nacionalidad: Sexo: |
CITA(Laðeralus @ Feb 3 2011, 06:11 PM) Muy bien, el resultado final es equivalente al que se pedía. No sabía que ese ejercicio lo habían respondido en otro ejercicio (lo supuse, porque está en quote). ¿A alguien se le ocurren más soluciones? Yo conocía 2: la de Krizalid y otra más Apostaría a que la otra es con complejos aqui va 
Mensaje modificado por nmg1302 el Feb 4 2011, 10:06 AM |
|
|
|
|
Feb 3 2011, 06:46 PM
Publicado:
#6
|
|
 Dios Matemático Supremo  Grupo: Colaborador Platinum Mensajes: 1.627 Registrado: 11-October 07 Desde: Suburbios de Conchalí Miembro Nº: 11.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo: |
Yep, la suma ya estaba en el foro. Apostaría mi vida a que era un propuesto de Jorgeston... pero por lo menos, en los sectores de resueltos y ejercicios de variable compleja, no lo encontré. (solución por exponencial compleja)
Eventualmente la otra solución es inducción. 
-------------------- |
|
|
|
|
Feb 3 2011, 07:51 PM
Publicado:
#7
|
|
|
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo: |
No perdiste la vida pero habrás perdido otra cosa porque era la del coseno.
 
|
|
|
|
|
Feb 4 2011, 06:51 AM
Publicado:
#8
|
|
|
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 947 Registrado: 28-September 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 10.639 Nacionalidad: Universidad: Sexo: |
Efectivamente, la otra solución que conozco es mediante variable compleja.
Con este método, se puede deducir tantola identidad de la suma de senos como la de la suma de cosenos. La resolución es similar a la descrita por nmg1302. Aquí va. ![TEX: <br /><br /> Sean $\displaystyle B = \sum_{k=1}^{n} \sin(kx) $, y $\displaystyle A = \sum_{k=1}^{n}\cos(kx)$. Sea $\alpha = \cos\left(\frac{x}{2}\right) + i\sin\left(\frac{x}{2}\right)$. Entonces, $\displaystyle \alpha^{2k} = \cos(kx)+i\sin(kx), \forall k \in \mathbb{N}$. Por otro lado, note que<br /> \begin{align*}<br /> A + iB &= \sum_{k=1}^{n} \cos(kx) + i\sum_{k=1}^{n}\sin(kx) \\<br /> &= \sum_{k=1}^{n} \Big[ \cos(kx) + i\sin(kx) \Big] \\<br /> &= \sum_{k=1}^{n} \alpha^{2k} \\<br /> &= \frac{\alpha^{2(n+1)}-\alpha^2}{\alpha^2-1} = \alpha^{2} \cdot \frac{\alpha^{2n}-1}{\alpha^2-1} = \alpha^2 \cdot \frac{ \alpha^{n}\left( \alpha^{n}-\frac{1}{\alpha^{n}} \right) }{ \alpha \left( \alpha - \frac{1}{\alpha} \right) }\\<br /> &= \alpha^{n+1}\left[ \frac{\alpha^{n}-\alpha^{-n}}{\alpha-\alpha^{-1}} \right]<br /> \end{align*}<br /><br /> Note que<br /> \begin{align*}<br /> \alpha^{n+1} &= \cos\left( \frac{(n+1)x}{2} \right) + i\sin \left( \frac{(n+1)x}{2} \right) \\<br /> \alpha^{n} &= \cos\left( \frac{nx}{2} \right) + i\sin \left( \frac{nx}{2} \right) \\<br /> \alpha^{-n} &= \cos\left( \frac{nx}{2} \right) - i\sin \left( \frac{nx}{2} \right) \\<br /> \alpha^{-1} &= \cos\left( \frac{x}{2} \right) - i\sin \left( \frac{x}{2} \right)<br /> \end{align*}<br /><br /> Reemplazando, se tiene que<br /> \begin{align*}<br /> A + iB &= \left[ \cos\left( \frac{(n+1)x}{2} \right) + i\sin \left( \frac{(n+1)x}{2} \right) \right] \cdot \left[ \frac{2i\sin \left(\frac{nx}{2}\right)}{2i\sin \left(\frac{x}{2}\right)} \right] \\<br /> A + iB&= \frac{ \cos\left(\frac{n+1}{2}x\right) \sin\left(\frac{nx}{2}\right) }{ \sin\left(\frac{x}{2}\right) } + i \frac{ \sin\left(\frac{n+1}{2}x\right) \sin\left(\frac{nx}{2}\right) }{ \sin\left(\frac{x}{2}\right) }<br /> \end{align*}<br />](./tex/593abcefe87f4800009ae79879e7c647.png) 
Mensaje modificado por Laðeralus el Feb 4 2011, 01:06 PM |
|
|
|
|
Feb 4 2011, 01:10 PM
Publicado:
#9
|
|
|
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 947 Registrado: 28-September 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 10.639 Nacionalidad: Universidad: Sexo: |
No se me ocurre otra forma para resolver el ejercicio.
Si a nadie más se le ocurre, entonces creo que...  
|
|
|
|
|
Apr 5 2014, 03:28 PM
Publicado:
#10
|
|
|
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1 Registrado: 5-April 14 Miembro Nº: 128.312 Nacionalidad:  Sexo: |
muchas gracias ya tenia tiempo buscando la sumatoria de un función seno, podrias ayudarme a resolverla pero multiplicando la funcion seno por k.
 gracias por su ayuda. |
|
|
|
|
1 usuario(s) está(n) leyendo esta discusión (1 invitado(s) y 0 usuario(s) anónimo(s))
0 miembro(s):
| Versión Lo-Fi | Fecha y Hora actual: 23rd November 2024 - 08:42 PM |
