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En el espiritu de Noether, Buscando las simetrías...

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 27 2011, 03:01 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent Sea $\gamma$ la curva formada por la intersección de $x^2+y^2+z^2=1$ y $x+y+z=0$. Calcule la masa de $\gamma$ si su densidad lineal está dada por $\rho(x,y,z)=x^2$.$ -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

Jordiel Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 10 2011, 06:50 PM Publicado: #2
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 22 Registrado: 17-May 10 Miembro Nº: 70.906 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: \noindent Hola. Si no me equivoco, orientando el eje $z$ del sistema de referencia a la normal del plano $x+y+z=0$ mediante los cambios<br /><br />$x=\dfrac{u-v}{\sqrt{2}}\quad ;\quad y=\dfrac{u+v}{\sqrt{2}}$<br /><br />$u=\dfrac{u'+z'\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\quad ;\quad z=\dfrac{-u'\sqrt{2}+z'}{\sqrt{3}}$<br /><br />queda la curva $\gamma:u'^{2}+v^2=1$ respecto los nuevos ejes $u',v,z'$ .<br />Parametrizando se tiene<br /><br />$m=\displaystyle\int_{\gamma}\rho dr=\int_{0}^{2\pi}\dfrac{\cos ^2t}{6}+\dfrac{\sin ^2t}{2}-\dfrac{\sin 2t}{\sqrt{3}}dt=\dfrac{2\pi}{3}$<br /><br />Un saludo.$

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 10 2011, 07:51 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	@Abu: ¿Emmy o Max? Y en resumen, tell me a Noether one... -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

José Augusto Mol... José Augusto Molina Garay Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 11 2011, 10:27 AM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 238 Registrado: 14-October 10 Desde: Talca Miembro Nº: 78.671 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: \newcommand{\sen}{\operatorname{sen}}Hola, como vemos que es una curva plana, sería mejor que nuestro nuevo plano $X'Y'$ sea justamente el plano dado, con lo que el eje $Z'$ es la normal paralela a $(1,1,1)$.\\<br /><br />Como mencionaste a Emmy Noether, justamente un asunto de simetría ayuda aquí. El grupo de simetrías lineales de la esfera está conformado por las transformaciones ortogonales que pueden ser caracterizadas como aquellas cuyas matrices tienen columnas ortonormales. Si además el determinate positivo se trata de un movimiento rígido, que tiene la forma $[u:v:u\times v]$ donde $u$ y $v$ son unitarios.\\<br /><br />Entonces por ahora supondremos que nuestra transformación es un movimiento rígido y que $e_1'=T(1,0,0)$ y $e_2'=T(0,1,0)$ generan al plano de ecuación $x+y+z=0$, $e_3'$ será por lo tanto paralelo a $(1,1,1)$. Entonces, la curva es la intersección del plano $z'=0$ y la esfera $x'^2+y'^2+z'^2=1$, por lo que resulta que $x'^2+y'^2=1,\, z'=0$, luego la curva es la imagen de la circunferencia unitaria, que puede ser parametrizada como $\overline{\gamma}(\theta)=(\cos(\theta),\sen(\theta))$ de forma clásica. Luego $\gamma=T\circ\overline{\gamma}$.\\<br /><br />Sólo queda encontrar $T$. Tenemos que el plano de ecuación $x+y+z=0$ está generado por lo vectores $(1,0,-1)$ y $(0,1,-1)$. Podemos elegir $e_1':=(1,0,-1)/\sqrt{2}$ y $e_3'=(1,1,1)/\sqrt{3}$. Como $T$ es ortogonal, debemos tener que $e_2'=T(e_2)=T(e_3\times e_1)=T(e_3)\times T(e_1)=(1,1,1)/\sqrt{3}\times (1,0,-1)/\sqrt{2}=(-1,2,1)/\sqrt{6} $. Entonces<br />$$\gamma(\theta)=T\circ\overline{\gamma}(\theta)=\cos(\theta)e_1'+\sen(\theta)e_2'$$<br />Como sólo necesitamos la primera coordenada:<br />$$x(\theta)=\cos(\theta)/\sqrt{2}-\sen(\theta)/\sqrt{6}$$<br />y de allí se obtiene lo que obtuvo Jordiel. Hasta pronto.<br />$ -------------------- Ahora en Talca :) Visiten mi blog sobre mis aventuras en la vida universitaria peruana: http://profemateuni.blogspot.com

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 16 2011, 09:15 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Bien! Aparentemente, las respuestas son correctas (en estos momentos no puedo leerlas con detalle por tiempo). Sin embargo, existe una solución mucho más simple y directa así que esperaré hasta que alguien la postee antes de enviarlo a resueltos. -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

Laðeralus Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 17 2011, 09:21 AM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 947 Registrado: 28-September 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 10.639 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Aquí otra solución sin hacer cambios de variables (dudo que sea la más corta y directa, asi que como dices talvez todavía quedaría una solución más) $TEX: <br /><br />Se intenta parametrizar la curva intersección con respecto a la variable $x$ (por simplificación, ya que la densidad depende sólo de ella). Entonces, la primera coordenada de la parametrización de la curva es $x$. De la ecuación del plano, se despeja la variable $y$, de modo que<br />\[y = -x-z\]<br />Reemplazando esta variable $y$ en la ecuación de la esfera, se obtiene<br />\[x^2 + (-x-z)^2+z^2-1=0\]<br />Despejando $z$, se obtiene<br />\[z = \frac{-x \pm \sqrt{2-3x^2}}{2}\]<br />que corresponde a la tercera coordenada de la parametrización de la curva. La segunda coordenada de la parametrización se obtiene al reemplazar la variable $z = z(x)$ en la ecuación del plano donde se despejó $y$. Entonces,<br />\[y = -x-z = -x- \left( \frac{-x \pm \sqrt{2-3x^2}}{2} \right) = \frac{-x \mp \sqrt{2-3x^2}}{2} \]<br />Entonces, la curva intersección queda parametrizada por:<br />\[ r(x) = \left( x ; \frac{-x \mp \sqrt{2-3x^2}}{2} ; \frac{-x \pm \sqrt{2-3x^2}}{2} \right) \]<br />Falta ver cuáles son los valores de x que se deben considerar para recorrer la curva entera. Observe que se debe cumplir que<br />\[ 2-3x^2 \geq 0 \Leftrightarrow \|x\| \leq \sqrt{\frac{2}{3}} \]<br />Asi que la parametrización (cuya proyección o 'sombra' en el plano XY es una elipse),con dichos valores de $x$,representará la parte superior de ella. Para conocer la masa de toda la elipse, se multiplicará el valor de la masa superior del alambre por $2$ (se cumple propiedad, por función par). La parametrización completa es:<br />\[ r(x) = \left( x ; \frac{-x \mp \sqrt{2-3x^2}}{2} ; \frac{-x \pm \sqrt{2-3x^2}}{2} \right) \hspace{2mm} ; \hspace{2mm} x \in \left[ -\sqrt{\frac{2}{3}} ; \sqrt{\frac{2}{3}} \right] \]<br /><br />$ $TEX: <br /><br />Se calcula el valor de $r'(t)$:<br />\[ r'(x) = \left( 1 ; \pm \frac{3x}{2\sqrt{2-3x^2}} -\frac{1}{2} ; \mp \frac{3x}{2\sqrt{2-3x^2}} - \frac{1}{2} \right) \]<br />Se calcula el valor de $\\| r'(x) \\|:$<br />\[ \\|r'(x)\\| = \frac{\sqrt{12}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2-3x^2}} \]<br />Finalmente, la masa de la curva está dada por:<br />\[ M = 2\int_{-\sqrt{\frac{2}{3}}}^{\sqrt{\frac{2}{3}}} \underbrace{\left(x^2\right)}_{\rho(x,y,z)} \underbrace{\left(\frac{\sqrt{12}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2-3x^2}}\right)}_{\\|r'(x)\\|} dx \]<br />\[ M = \sqrt{12}\int_{-\sqrt{\frac{2}{3}}}^{\sqrt{\frac{2}{3}}} \frac{x^2}{\sqrt{2-3x^2}} dx\]<br />\[ M = \frac{2\pi}{3} \]<br /><br />$ Mensaje modificado por Laðeralus el Mar 17 2011, 09:25 AM

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 17 2011, 07:39 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	En efecto, no la es. Seguimos esperando -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

José Augusto Mol... José Augusto Molina Garay Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 18 2011, 09:36 AM Publicado: #8
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 238 Registrado: 14-October 10 Desde: Talca Miembro Nº: 78.671 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: Si $(x,y,y)$ está en la intersección, entonces $x+y+z=0$ y $x^2+y^2+z^2=1$, hagamos una rotación de un ángulo $\pi/4$, con eso:\\<br />$\xi=(x-y)/\sqrt{2}$, $\eta=(x+y)/\sqrt{2}$, al reemplazar: $z=\sqrt{2}\eta$ y en la otra ecuación: $\xi^2+\eta^2+2\eta^2=1$ que es equivalente a \newcommand{\sen}{\operatorname{sen}}<br />$$\xi^2+\frac{\eta^2}{(1/\sqrt{3})^2}=1$$<br />con eso tenemos que las dos primeras componentes describen una elipse y reemplazando en $z$: $(\cos(\theta),\sqrt{1/3}\sen(\theta),\sqrt{2/3}\sen(\theta))$<br />Luego la masa es:<br />$$\int_0^{2\pi}<br />\left(<br /> \frac{\sqrt{2}}{2}<br /> \left(\cos(\theta)+\frac{1}{\sqrt{3}}\sen(\theta)\right)<br />\right)^2 d\theta=\frac{2\pi}{3}$$<br />$ Mensaje modificado por José Augusto Molina Garay el Mar 18 2011, 09:37 AM -------------------- Ahora en Talca :) Visiten mi blog sobre mis aventuras en la vida universitaria peruana: http://profemateuni.blogspot.com

nmg1302 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 24 2011, 07:55 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 832 Registrado: 11-September 07 Desde: París, Francia Miembro Nº: 10.056 Nacionalidad: Sexo:	al final era mas fácil de lo que parecía $TEX: <br />notemos primero que $\gamma$ es invariante ante permutacion de las coordenas<br />por lo que<br />$$I=\int_\gamma x^2 dr=\int_\gamma y^2 dr=\int_\gamma z^2 dr$$<br />pero ademas en $\gamma $ se cumple $x^2=1-y^2-z^2$<br />$$I=\int_\gamma 1-y^2-z^2 dr=L(\gamma)-I-I$$<br />$$I=\frac{L(\gamma)}{3}$$<br />donde $L(\gamma)$ es el largo de la curva que fácilmente se puede comprobar que vale $2\pi$<br />demostrando lo pedido<br />$ saludos Mensaje modificado por nmg1302 el Mar 24 2011, 07:59 PM

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 24 2011, 09:37 PM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(nmg1302 @ Mar 24 2011, 09:55 PM) al final era mas fácil de lo que parecía $TEX: <br />notemos primero que $\gamma$ es invariante ante permutacion de las coordenas<br />por lo que<br />$$I=\int_\gamma x^2 dr=\int_\gamma y^2 dr=\int_\gamma z^2 dr$$<br />pero ademas en $\gamma $ se cumple $x^2=1-y^2-z^2$<br />$$I=\int_\gamma 1-y^2-z^2 dr=L(\gamma)-I-I$$<br />$$I=\frac{L(\gamma)}{3}$$<br />donde $L(\gamma)$ es el largo de la curva que fácilmente se puede comprobar que vale $2\pi$<br />demostrando lo pedido<br />$ saludos Bien, eso era ! -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

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