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Se ve más feo de lo que es..

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 27 2011, 02:58 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent Calcule $$\iint_S\frac{dS}{\sqrt{a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2}}$$<br />cuando $S$ es la superficie del elipsoide $ax^2+by^2+cz^2=1$, con $a,b,c>0$.<br />$ Hint: Teorema de la Divergencia. -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

nmg1302 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 27 2011, 07:56 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 832 Registrado: 11-September 07 Desde: París, Francia Miembro Nº: 10.056 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: <br />\noindent Consideremos el campo vectorial<br />$$ \vec F(x,y,z)=(x,y,z)$$ <br />y $\Omega$ la región interior al elipsoide $a x^2+ b y^2 +c z^2=1$\\<br />Notemos que <br />$$\vec \nabla \cdot \vec F(x,y,z)=3$$<br />por lo que<br />$$\int_{\Omega} \vec \nabla \cdot \vec F \ dV =\frac{4 \pi}{\sqrt{a b c}} $$<br />(donde se uso que el volumen del elipsoide es $\frac{4 \pi}{3\sqrt{a b c}}$)\\<br />Como $\vec F$ es $\mathcal C^1$ y $\partial \Omega =\mathcal S$ regular orientable,\\<br />por el teorema de la divargencia tenemos que<br />$$\int_{\partial \Omega} \vec F \cdot \hat n \ dS=\frac{4 \pi}{\sqrt{a b c}}$$<br />Para calcular $\hat n$ consideramos la funcion<br />$$g(x,y,z)=ax^2+by^2+c z ^2$$<br />$$\nabla g=2(ax,by,cz)$$<br />por lo tanto el vector normal sera<br />$$ \hat n= \frac{\nabla g}{\\| \nabla g \\|}=\frac{(ax,by,cz)}{\sqrt{a^2 x^2+b^2 y^2 +c^2 z^2}}$$<br />reemplazando en la ultima integral tenemos que <br />$$\frac{4 \pi}{\sqrt{a b c}}=\int_{\partial \Omega} \frac{(x,y,z)\cdot (ax,by,cz)}{\sqrt{a^2 x^2+b^2 y^2 +c^2 z^2}}dS<br />=\int_{\partial \Omega} \frac{ax^2+by^2+cz^2}{\sqrt{a^2 x^2+b^2 y^2 +c^2 z^2}}dS$$<br />Pero como estamos integrando en $\mathcal S$ el numerador del integrando de la ultima integral es 1<br />por lo tanto<br />$$\int_{\partial \Omega} \frac{1}{\sqrt{a^2 x^2+b^2 y^2 +c^2 z^2}}dS=\frac{4 \pi}{\sqrt{a b c}} $$<br /><br />$ Mensaje modificado por nmg1302 el Jan 28 2011, 03:34 PM

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2011, 01:30 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Excelente! -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

Naxoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2011, 03:21 PM Publicado: #4
Staff FMAT Grupo: Moderador Mensajes: 2.604 Registrado: 2-March 07 Desde: Somewhere over the rainbow Miembro Nº: 4.244 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	El razonamiento que tuviste para definir esa campo nació solamente porque su divergencia es constante? -------------------- INRIA - Francia, Sophia Antipolis Biocore Team Ingeniero Civil en Biotecnología Ingeniería Civil Químico “(…) los elementos que él (¿o Él?) [Dios] mismo nos ha dado (raciocinio, sensibilidad, intuición) no son en absoluto suficientes como para garantizarnos ni su existencia ni su no existencia. Gracias a una corazonada puedo creer en Dios y acertar o no creer en Dios y también acertar" Mario Benedetti $TEX: \[\iiint\limits_\Omega {\left( {\nabla \cdot \vec F} \right)dV} = \iint\limits_{\partial \Omega } {\left( {\vec F \cdot \hat n} \right)}dS\]<br />$

nmg1302 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2011, 03:36 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 832 Registrado: 11-September 07 Desde: París, Francia Miembro Nº: 10.056 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Naxoo @ Jan 28 2011, 04:21 PM) El razonamiento que tuviste para definir esa campo nació solamente porque su divergencia es constante? nop, primero calcule el vector normal a la superficie y me di cuenta que el denominador quedaba perfecto pero necesitaba deshacerme del numerador y después de pensar un rato se me ocurrió ese campo

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