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Posteando clásicos

kbzoon Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 13 2011, 10:53 AM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Platinum Mensajes: 1.627 Registrado: 11-October 07 Desde: Suburbios de Conchalí Miembro Nº: 11.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Evaluar: $TEX: $$\int_0^{ + \infty } {t^{a - 1} \cos t} dt$$$ $TEX: $$\int_0^{ + \infty } {t^{a - 1} sent} dt$$$ Donde $TEX: $0 < a < 1$$ -------------------- Injeniería de Minas. The best SpaceDream Radio ever

danielomalmsteen Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 13 2011, 12:50 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.413 Registrado: 13-March 08 Desde: Al frente del mundo Magico Miembro Nº: 16.846 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \[I = \int\limits_0^\infty {{t^{a - 1}}\cos \left( { - t} \right)dt} = \operatorname{Re} \left\{ {\int\limits_0^\infty {{t^{a - 1}}{e^{ - it}}dt} } \right\}\underbrace = _{u = it}\operatorname{Re} \left\{ {{i^{ - a}}\int\limits_0^\infty {{u^{a - 1}}{e^{ - u}}dt} } \right\} = \operatorname{Re} \left\{ {{i^{ - a}}\Gamma \left( a \right)} \right\}\]<br />$ Pero, $TEX: \[{i^{ - a}} = \cos \left( {\frac{{\pi a}}<br />{2}} \right) - i\sin \left( {\frac{{\pi a}}<br />{2}} \right)\]<br />$ Luego, $TEX: \[I = \cos \left( {\frac{{\pi a}}<br />{2}} \right)\Gamma \left( a \right)\]<br />$ Analogamente $TEX: \[A = - \int\limits_0^\infty {{t^{a - 1}}\sin \left( { - t} \right)dt} = - \operatorname{Im} \left\{ {\int\limits_0^\infty {{t^{a - 1}}{e^{ - it}}dt} } \right\}\underbrace = _{u = it} - \operatorname{Im} \left\{ {{i^{ - a}}\Gamma \left( a \right)} \right\}\]<br />$ Luego, $TEX: \[A = \sin \left( {\frac{{\pi a}}<br />{2}} \right)\Gamma \left( a \right)\]<br />$ Edit: Un signo ;B Mensaje modificado por danielomalmsteen el Jan 13 2011, 12:56 PM --------------------

kbzoon Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 13 2011, 12:56 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Platinum Mensajes: 1.627 Registrado: 11-October 07 Desde: Suburbios de Conchalí Miembro Nº: 11.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Buena! hay varias soluciones más, por si le quieren seguir dando vueltas ! -------------------- Injeniería de Minas. The best SpaceDream Radio ever

master_c	Jan 10 2013, 05:54 PM Publicado: #4
Invitado	CITA(kbzoon @ Jan 13 2011, 10:53 AM) Evaluar: $TEX: $$\int_0^{ + \infty } {t^{a - 1} \cos t} dt$$$ $TEX: $$\int_0^{ + \infty } {t^{a - 1} sent} dt$$$ Donde $TEX: $0 < a < 1$$ $TEX: $$<br />F\left( n \right) = \int\limits_0^{ + \infty } {x^{n - 1} \cos mxdx} = \frac{1}<br />{2}\int\limits_0^{ + \infty } {x^{n - 1} \left( {e^{imx} + e^{ - imx} } \right)dx} <br />$$$ $TEX: $$<br /> = \frac{1}<br />{2}\int\limits_0^{ + \infty } {x^{n - 1} e^{imx} dx} + \frac{1}<br />{2}\int\limits_0^{ + \infty } {x^{n - 1} e^{ - imx} dx} = \frac{{\Gamma \left( n \right)}}<br />{2}\left( {\frac{1}<br />{{\left( {im} \right)^n }} + \frac{1}<br />{{\left( { - im} \right)^n }}} \right)<br />$$$ $TEX: $$<br /> = \frac{{\Gamma \left( n \right)}}<br />{{2m^n }}\left( {e^{in\arctan \left( {\frac{m}<br />{0}} \right)} + e^{ - in\arctan \left( {\frac{m}<br />{0}} \right)} } \right) = \frac{{\Gamma \left( n \right)}}<br />{{2m^n }}\left( {e^{\frac{{\pi n}}<br />{2}i} + e^{ - \frac{{\pi n}}<br />{2}i} } \right) = \frac{{\Gamma \left( n \right)}}<br />{{m^n }}\cos \frac{{\pi n}}<br />{2}<br />$$$ basta poner m = 1 aqui otra forma, mas general aun http://www.artofproblemsolving.com/Forum/v...96&t=517576 Mensaje modificado por master_c el Mar 18 2013, 02:46 PM

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