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OIMU 2001

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 3 2011, 08:46 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	IV OLIMPIADA IBEROAMERICANA DE MATEMÁTICA UNIVERSITARIA 2001 Tiempo: 5 horas. Problema 1: (4 puntos) Las raíces de un polínomio de grado cuatro con coeficientes complejos están ubicadas en los vértices de un rectángulo con lados de longitud $TEX: $a$$ y $TEX: $b$$ en el plano complejo. Encontrar la distancia entre las raices de la segunda derivada de este polinomio. Problema 2: (5 puntos) Una función derivable $TEX: $g: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$$ satisface la desigualdad $TEX: $\|g(x)\|\ge\|g'(x)\|$$ para todo $TEX: $x\in \mathbb{R}$$ y al menos para un real $TEX: $x_0$$ esta desigualdad es estricta, es decir, $TEX: $\|g(x)\|>\|g'(x)\|$$ . Demostrar que la función $TEX: $g(x)=0$$ no tiene raíces. Problema 3: (5 puntos) La suma o diferencia (simétrica) de dos conjuntos A y B se define como: $TEX: $A\triangle B=(A\cup B)$$ \ $TEX: $(A\cap B)$$ . Inicialmente los $TEX: $1024$$ subconjuntos de un conjunto de $TEX: $10$$ elementos están escritos cíclicamente en una circunferencia. Simultáneamente entre cada dos subconjuntos vecinos se escribe una suma. Después todos los conjuntos anteriores se borran. ¿Cuáles conjuntos estarán escritos en la circunferencia después de repetir esta operación $TEX: $2001$$ veces? Problema 4: (5 puntos) Sea $TEX: $\alpha >0$$ un número real y consideramos $TEX: $x_1<x_2<...$$ las soluciones reales de la ecuación $TEX: $x\sin x^\alpha=\log x$$ . Hallar los valores de $TEX: $\alpha$$ para los cuales la serie $TEX: $\displaystyle \sum_{n\ge 1}\frac{1}{x_n}$$ converge. Problema 5: (6 puntos) Sea $TEX: $f$$ una función del intervalo [0,1] en el conjunto de números reales tal que para cualesquiera $TEX: $x, y \in [0,1]$$ se cumplen las siguientes condiciones: a. Si $TEX: $x\le y$, entonces $f(x)\le f(y)$$ . b. $TEX: $f(0)=0$$ . c. $TEX: $f(1-x)=1-f(x)$$ . d. $TEX: $f(\frac{x}{3})=\dfrac{f(x)}{2}$$ . Demostrar que si $TEX: $x\in \mathbb{Q}$$ , entonces $TEX: $f(x)\in \mathbb{Q}$$ . Problema 6: (7 puntos) Calcular $TEX: $\displaystyle \sum_{n\ge1}\cos\dfrac{\pi}{n}+\cos\dfrac{2\pi}{n}+...+\cos\dfrac{n\pi}{n}$$ . Problema 7: (7 puntos) Sea $TEX: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$$ una función continua y periódica tal que la desigualdad $TEX: $f(x)>0$$ tiene por los menos una solución. a). Demostrar que existe un entero $TEX: $n\ge 2$$ tal que el sistema infinito de desigualdades $TEX: $f(n^kx)>0$, $k=0,1,2,...$$ tiene por lo menos una solución. b). Demostrar que existe un entero $TEX: $m\ge 2$$ tal que la cardinalidad del conjunto de soluciones del siguiente sistema infinito de desigualdades $TEX: $f(m^kx)>0$, $k=0,1,2,...$$ es igual al contínuo, i.e. la cardinalidad del segmento [0,1]. Resumen de soluciones: Problema 1: Pendiente de solución Problema 2: Pendiente de solución Problema 3: Pendiente de solución Problema 4: Pendiente de solución Problema 5: Pendiente de solución Problema 6: Pendiente de solución Problema 7: Pendiente de solución -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

OckUC Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 11 2011, 01:29 AM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 288 Registrado: 25-August 09 Desde: Por ahí Miembro Nº: 57.644 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	P6 $TEX: $$\text{Se usaran las siguientes propiedades: }\sum\limits_{k=1}^{n}{r^{k}}=\frac{r\left( 1-r^{n} \right)}{1-r}\text{ y }e^{ix}=\cos \left( x \right)+i\cdot \sin \left( x \right)$$$ $TEX: $$\text{Se pide calcular }\sum\limits_{k=1}^{n}{\cos \left( \frac{k\pi }{n} \right)}$$$ $TEX: $$\sum\limits_{k=1}^{n}{\cos \left( \frac{k\pi }{n} \right)}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\left( \frac{e^{\frac{i\pi k}{n}}+e^{-\frac{i\pi k}{n}}}{2} \right)}=\frac{1}{2}\cdot \sum\limits_{k=1}^{n}{\left( e^{\frac{i\pi }{n}} \right)^{k}}+\frac{1}{2}\cdot \sum\limits_{k=1}^{n}{\left( e^{-\frac{i\pi }{n}} \right)^{k}}$$$ $TEX: $$\sum\limits_{k=1}^{n}{\cos \left( \frac{k\pi }{n} \right)}=\frac{1}{2}\cdot \frac{e^{\frac{i\pi }{n}}\left( 1-\left( e^{\frac{i\pi }{n}} \right)^{n} \right)}{1-e^{\frac{i\pi }{n}}}+\frac{1}{2}\cdot \frac{e^{-\frac{i\pi }{n}}\left( 1-\left( e^{-\frac{i\pi }{n}} \right)^{n} \right)}{1-e^{-\frac{i\pi }{n}}}$$$ $TEX: $$\sum\limits_{k=1}^{n}{\cos \left( \frac{k\pi }{n} \right)}=\frac{1}{2}\cdot \frac{e^{\frac{i\pi }{n}}\left( 1-e^{i\pi } \right)}{1-e^{\frac{i\pi }{n}}}+\frac{1}{2}\cdot \frac{e^{-\frac{i\pi }{n}}\left( 1-e^{-i\pi } \right)}{1-e^{-\frac{i\pi }{n}}}$$$ $TEX: $$\text{Notemos que }e^{i\pi }=\cos \left( \pi \right)+i\cdot \sin \left( \pi \right)=-1=\cos \left( -\pi \right)+i\cdot \sin \left( -\pi \right)=e^{-i\pi }\text{, luego}$$$ $TEX: $$\sum\limits_{k=1}^{n}{\cos \left( \frac{k\pi }{n} \right)}=\frac{1}{2}\cdot \frac{e^{\frac{i\pi }{n}}\cdot 2}{1-e^{\frac{i\pi }{n}}}+\frac{1}{2}\cdot \frac{e^{-\frac{i\pi }{n}}\cdot 2}{1-e^{-\frac{i\pi }{n}}}=\frac{e^{\frac{i\pi }{n}}}{1-e^{\frac{i\pi }{n}}}+\frac{e^{-\frac{i\pi }{n}}}{1-e^{-\frac{i\pi }{n}}}$$$ $TEX: $$\sum\limits_{k=1}^{n}{\cos \left( \frac{k\pi }{n} \right)}=\frac{e^{\frac{i\pi }{n}}}{1-e^{\frac{i\pi }{n}}}+\frac{e^{-\frac{i\pi }{n}}}{1-e^{-\frac{i\pi }{n}}}\cdot \frac{e^{\frac{i\pi }{n}}}{e^{\frac{i\pi }{n}}}=\frac{e^{\frac{i\pi }{n}}}{1-e^{\frac{i\pi }{n}}}+\frac{1}{e^{\frac{i\pi }{n}}-1}=\frac{e^{\frac{i\pi }{n}}-1}{1-e^{\frac{i\pi }{n}}}$$$ $TEX: $$\text{Por lo tanto}\text{, }\sum\limits_{k=1}^{n}{\cos \left( \frac{k\pi }{n} \right)}=-1$$$ -------------------- RECURSIÓN: Si no lo entiende, vea RECURSIÓN $TEX: Conjunto $R$:$ $TEX: <br />$$R=\{X:X\notin X\}$$<br />$ $TEX: <br />$$R\in R\Leftrightarrow R\notin R$$<br />$

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