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Putnam 1998

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 29 2010, 07:48 PM Publicado: #1
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Putnam_1998.pdf ( 29.98k ) Número de descargas: 121

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 20 2023, 01:18 PM Publicado: #2
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	A2 imagen: img_1.png ( 30.01k ) Número de descargas: 0 solución: $TEX: Supongamos que el arco $s$ está definido por la región $$\{(x,y)\in \mathbb{S}\colon y\geq 0, a\leq x\leq b \}$$ donde $0\leq a\leq b\leq 1$. En la figura, $OF=a$ y $OG=b$. Además, definimos $c = \sqrt{1-a^2}$ y $d = \sqrt{1-b^2}$ entonces<br />\begin{align}<br /> A+B &= \int_a^b \sqrt{1-t^2}dt + \int_d^c \sqrt{1-t^2}dt<br />\end{align}<br />hacemos un cambio de variable en la segunda integral $s = \sqrt{1-t^2} \Rightarrow dt = -\frac{s}{\sqrt{1-s^2}}ds$<br />\begin{align}<br /> A+B &= \int_a^b \sqrt{1-t^2}dt - \int_b^a s\cdot \frac{s}{\sqrt{1-s^2}}ds\\<br />&= \int_a^b \sqrt{1-t^2}+\frac{t^2}{\sqrt{1-t^2}}dt = \int_a^b \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt <br />\end{align} <br />Podemos hacer el cambio $t = \sin(u)$ luego $dt = \cos(u)du$ así $$A+B = \int_{\arcsin(a)}^{\arcsin(b)}\frac{\cos(u)du}{\cos(u)} =\arcsin(b)-\arcsin(a)=\alpha-\beta $$<br />Es decir, $A+B$ es justamente la longitud del arco, por lo que no depende de la posición en que este se ubique.<br />$ -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

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